Определение перемещений в упругих системах и некоторые основные теоремы строительной механики

1.1 Основные понятия

Перемещением произвольной точки системы называют изменение ее координат, вызванное деформацией элементов этой системы Различают линейные перемещения (прогибы, перемещения опор и т.п.) и угловые (повороты узлов и отдельных сечений системы).

Уметь определять перемещения важно само по себе: СН и П ы накладывают весьма жесткие ограничения на деформативность возводимых сооружений. Кроме того это умение необходимо для расчета статически неопределимых систем.

Общие методы нахождения перемещений базируются на энергетических представлениях в процессе деформирования (при нагружении).

Назовем любую комбинацию силовых воздействий на систему обобщенной силой. Изображенные на рис. 7.1 сосредоточенная сила и распределенная нагрузка, которым придан индекс к,составляют обобщенную силу, которую можно обозначить одной буквой Р_к.

Рис.7.1

Перемещение от заданной обобщенной силы Р_к по некоторому направлению i обозначают . Если сила ( или силы) с индексом к равны единице, то перемещение по направлению i обозначают .

При рассмотрении малых перемещений ( а в классической механике только такие перемещения и рассматриваются) можно применить принцип суперпозиции и считать перемещения линейными функциями внешних сил

( 1.7)

Выполнение этого условия служит определением линейно деформируемой системы.

Различают действительные перемещения, вызванные какими либо силовыми непосредственными воздействиями на систему, и возможные (виртуальные) перемещения, которые не зависят от заданных внешних воздействий и удовлетворяют заданным граничным условиям (условиям закрепления). Возможными являются, например, перемещения системы, нагруженной какой-либо обобщенной силой Р_m, вызванные другой обобщенной силой Р_n .

В дальнейшем нам придется неоднократно определять работу внешних сил V, действующих на систему, и работу внутренних сил W, возникающих в элементах системы.

Известное представление о работе, как произведении силы на путь (перемещение), обобщается с введением понятий обобщенной силы и обобщенного перемещения. Пусть, например, на балку действует обобщенная сила, образуемая совокупностью трех сил , и (рис.7.2). Каждая из этих сил совершает работу на своем возможном перемещении w₁, w₂ и w₃ . Тогда суммарная работа Рис.7.2

будет равна :

(2.7)

Здесь - обобщенная сила, - обобщенное перемещение.

Другой пример обобщенной силы и перемещения легко получить, вычисляя работу момента М как работу пары сил на линейных возможных перемещениях от угла поворота (рис.7.3) : Рис.7.3

(3.7)

1.2. Работа внешних и внутренних сил

1. Работа внешних сил.

Следует различать работу сил на возможных перемещениях ( виртуальную работу) и на перемещениях, вызываемых самими силами (действительную работу).

1.1.Виртуальная работа внешних сил.

Рис.7.4

Пусть на какую – то систему действует обобщеннаz сила . Тело деформируется. После этого тело нагружается другой обобщенной силой . Перемещения, вызванные этой силой, можно принять за возможные для силы . Сила совершит работу на возможном перемещении, равную произведению силы на проекцию полного перемещения на направление силы (рис.7.4)

(4.7)

1.2.Действительная работа внешних сил.

Рассмотрим работу статических внешних сил. Статические силы в процессе нагружения изменяются от нуля до своего расчетного значения плавно и достаточно медленно так, что можно не учитывать возникающие при изменении нагрузки силы инерции.

Рассмотрим действительную работу внешней статической силы , на перемещении вызываемой этой же силой (рис.7.5 а). На основании закона Гука нагрузка и перемещение связаны линейной зависимостью, изображенной на графике (рис. 7.5b)

, (5.7) Рис.7.5

где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств материала, размеров и формы поперечного сечения

Элементарная работа силы на “своем” перемещении равна

. (6.7)

Полная работа статически приложенной силы, следовательно, будет равна

(7.7)

Таким образом, работа статически приложенной силы Р_i равна половине произведения этой силы на перемещение, вызванное этой же силой.

2. Работа внутренних сил.

2.1. Виртуальная работа внутренних сил.

В общем случае в каждом сечении стержневой системы под действием внешней нагрузки возникают деформации и связные с ними внутренние силовые факторы :продольные силы N , изгибающие моменты М и поперечные силы Q.

Рассмотрим последовательно возможную работу каждой из этих внутренних сил состояния i на перемещениях, вызванных системой сил, которым придадим индекс k.

Пусть стержень растянут ( или сжат) центрально приложенной силой N_i . Если мысленно выделить бесконечно малый элемент длиной ds, то на плоскостях разрезов будут действовать нормальные напряжения и статически им эквивалентные нормальные силы N_i. Для элемента эти силы будут внешними. Они уравновешиваются равными им, но направленными в противоположную сторону внутренними силами (рис.7.6). Предположим, что на стержень начала действовать новая сила N_k и элемент ds получает удлинение . Элементарная работа внутренних сил N_i на перемещениях, вызванных силами N_k, равна

. (8.7)

Знак минус взят потому, что при удлинении внутренние силы N_i переместятся Рис.7.6

в сторону, противоположную своему действию, и совершат отрицательную работу

Работа внутренних сил N_i на всей длине стержня будет равна

. (9.7)

Так как удлинение определяется по известной из курса сопротивления материалов формуле

, (10.7)

то . (11.7)

Здесь Е –модуль упругости, А – площадь сечения стержня.

Рассматривая в такой же последовательности работу внутренних изгибающих моментов M_i на поворотах, вызванных моментами M_k, (рис.7.7), Рис.7.7

можно записать

(12.7)

С учетом известного соотношения

(13.7)

получаем (14.7)

Здесь I - момент инерции поперечного сечения стержня

Внутренние поперечные силы Q_i совершают виртуальную работу на сдвигах, вызванных силами Q_k (рис. 7.8) .

Элементарная виртуальная работа внутренних поперечных сил Q_i определяется по формуле

(15.7)

С учетом известного для чистого сдвига бруса соотношения

, (16.7)

можно записать .(17.7)

Здесь G – модуль сдвига, К – коэффициент ,зависящий от формы поперечного сечения Рис.7.8

(например, для круглого сечения коэффициент равен 32/27 , для прямоугольного сечения 6/5).

Работа всех внутренних сил на возможных перемещениях системы, состоящей из n стержней равна

(18.7)

2.2. Действительная работа внутренних сил

Если внешние силы P_i, вызывающие в каждом сечении внутренние усилия N_i, M_i и Q_i , действуют статически, то и внутренние усилия возрастают от нуля до номинального значения и, поэтому, выражение для действительной работы внутренних сил на “своих” перемещениях должны иметь двойку в знаменателе:

(19.7)

13. Некоторые основные теоремы о работе внешних и внутренних сил.

3.1.Теорема о взаимности работ

Виртуальная (возможная) работа внешних сил обладает свойством взаимности.

Рассмотрим балку, на которую в определенной последовательности действуют две обобщенные силы P_i и P_л.

Пусть сначала к балке приложена сила P_i, а затем к деформированной балке – сила P_k (Рис.7.9а) Первая сила совершит работу на действительном перемещении а затем на возможных перемещениях , вызванном силой P_k. Сила P_k совершит работу на “своем”

перемещении . Полная работа обеих сил равна Рис.7.9

(20.7)

Изменим порядок приложения сил (Рис. 7.9b). Сначала к балке прикладывается сила P_k , а затем к деформированной балке – сила P_i . Тогда сила P_k совершит работу на “своем” перемещении и виртуальном , вызванном силой P_i . Сила же P_i совершит действительную работу на перемещении . Полная работа будет равна

(21.7)

В обоих случаях нагружения исходное и конечное состояние балки одинаковы. Поэтому и полные работы , произведенные силами P_i и P_k ,будут одинаковы. Приравнивая работы и сокращая подобные члены, получаем

(22.7)

Отсюда следует, что

В линейно деформируемой системе работа сил i-ого состояния на перемещениях, вызванных силами k-ого состояния, равна работе сил k-ого состояния на перемещениях, вызванных силами i – ого состояния.

Можно показать, что свойством взаимности обладает и работа внутренних сил.

3.2.Теорема о взаимности перемещений.

Перемещения обладают свойством взаимности.

Предположим , что в зависимости (22.7) обобщенная сила P_i равна обобщенной силе P_k. Тогда

(23.7)

Теорему о взаимности перемещений можно сформулировать и так:

Если обобщенные силы P_i и P_k численно равны, то перемещение точки приложения силы P_i в k-ом состоянии численно равно обобщенному перемещению точки приложения силы P_k в i – том состоянии.

Если P_i = P_k = 1, то как следствие из теоремы о взаимности перемещений получаем взаимность единичных перемещений:

. (24.7)

Буквой (дельта) обозначаются перемещения от сил, равных единице.

Это соотношение используется, в частности, при расчете статически неопределимых систем методом сил.

3.3.Потенциальная энергия деформаций.

Потенциальная энергия деформаций U выражает запас работы, накопленной в системе, который она (система) может вернуть после разгрузки, то есть по абсолютной величине она равна действительной работе внутренних сил:

. (25.7)

Но в линейно деформируемой системе работа внутренних сил принимается равной работе внешних сил, так как в процессе деформации (нагружения) пренебрегают тепловой, электромагнитной и прочими видами энергии, накапливаемые в деформируемом теле. Поэтому можно записать

(26.7)

Здесь - суммарное перемещение точки приложения силы P_i по направлению этой силы. В свою очередь, выражая перемещение через единичные перемещения, как это было показано ранее

, (27.7)

можно представить потенциальную энергию деформаций квадратичным по отношению внешних сил выражением

(28.7)

3.4.Теорема Кастильяно

Частная производная от потенциальной энергии деформаций системы по одной из сил равна перемещению точки приложения этой силы по ее направлению.

Действительно, поскольку

, (29.7)

то (30.7)

3.5.Теорема Лагранжа.

Приведем без доказательства теорему Лагранжа:

Частная производная от потенциальной энергии деформаций по любому независимому перемещению равна соответствующей силе

(31.7)

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение перемещению точки?

2. Для чего нужно уметь определять перемещения?

3.Что называют обобщенной силой и обобщенным перемещением?

4.Что понимается под возможным (виртуальным) перемещением?

5.Как определяется возможная работа внешних сил?

6.Какая нагрузка называется статической?

7.Как определяется действительная работа внешних сил?

8.Как определяется виртуальная работа изгибающих моментов, поперечных и продольных сил?

9.По какой формуле вычисляется действительная работа внутренних сил?

10.Сформулируйте основные теоремы строительной механики.

11.Как определяется потенциальная энергия деформаций системы?

Глава 8