Общие теоремы строительной механики

Теорема Бетти (о взаимности работ). Рассмотрим два состояния упругой системы (рис. 3.6). Соответствующие им силы назовем силами первой и второй группы. Представим два варианта загружения балки.

Вначале статически приложим силы первой группы, затем их зафиксируем и добавим – также статически – силы второй группы. Очевидно, что процедура, показанная на рис. 3.5, является частным случаем рассматриваемой, поэтому по аналогии с формулами (3.6) и (3.7) суммарную работу нагрузки можно представить в следующем виде:

A_I = A₁₁ + A₁₂ + A₂₂,

где A₁₁ – работа первой группы сил на вызванных ими перемещениях;

A₁₂ – работа первой группы сил на перемещениях, вызванных силами второй группы;

A₂₂ – работа второй группы сил на вызванных ими перемещениях.

Рис. 3.6

Во втором варианте загружения вначале статически приложим силы второй группы, затем их зафиксируем и добавим силы первой группы. В этом случае суммарная работа сил будет равна:

A_II = A₂₂ + A₂₁ + A_11.

Работа сил, приложенных к идеально упругому телу, не зависит от истории загружения и определяется только начальным и конечным состоянием системы, поэтому, приравнивая A_I и A_II, получим:

A₁₂ = A₂₁ . (3.8)

Итак, теорема Бетти утверждает, что работа первой группы сил на перемещениях, вызванных силами второй группы, равна работе второй группы сил на перемещениях, вызванных силами первой группы.

Поскольку работа внешних сил равна и противоположна по знаку работе внутренних сил: A = - W, теорема Бетти справедлива и для них:

W₁₂ = W₂₁ .

Отметим, что эта теорема является основной среди общих теорем строительной механики – две другие можно рассматривать как следствия теоремы Бетти.

Теорема Максвелла (о взаимности удельных перемещений). Рассмотрим два состояния упругой системы. Пусть первое из них представлено силой P_i = 1, приложенной в точке i , а второе – силой P_j = 1, приложенной в точке j (рис. 3.7).

Pj =1

Pi =1

δji

δjj

δij

δii

Рис. 3.7

Здесь и в дальнейшем удельные перемещения мы будем обозначать не заглавными буквами D_i, а строчными – d_i .

Поскольку перемещение всякой точки упругой системы пропорционально приложенной силе, между D_ji на рис. 3.5, а и d_ji на рис. 3.7 существует зависимость: D_ji = P_id_ji или, сменив последовательность индексов на более привычную:

D_ij = P_j d_ij. (3.9)

Воспользуемся теоремой Бетти, записав формулу (3.8) в виде:

P_i d_ij = P_jd_ji .

Учитывая, что в последнем выражении P_i = P_j = 1, получим:

d_ji = d_ij.(3.10)

Итак, теорема Максвелла утверждает, что перемещение точки i от единичной силы, приложенной в точке j , равно перемещению точки j от единичной силы, приложенной в точке i.

Теорема Релея (о взаимности удельных реакций). Для СНС в качестве внешних сил, фигурирующих в теореме Бетти, могут выступать реакции, вызванные кинематическими воздействиями.

Рассмотрим два состояния упругой системы, где первое соответствует единичному смещению i-й моментной связи на левом конце балки, а второе – единичному смещению j-й линейной связи на ее правом конце. Обозначим через δ_ij и q_ij линейное перемещение и угол поворота i-й связи от единичного смещения j-й связи (рис. 3.8).

1 состояние

2 состояние

rii

rji

rij

rjj

а)

б)

δjj=1

θii=1

Рис. 3.8

Работа первой группы сил на перемещениях второго состояния системы будет равна:

A₁₂= r_ii × q_ij + r_ji × δ_jj = r_ii × 0 + r_ji × 1 = r_ji.

Аналогично находим работу второй группы сил на перемещениях первого состояния:

A₂₁= r_ij × q_ii + r_jj × δ_ji = r_ij × 1 + r_jj × 0 = r_ij.

Подставляя полученные выражения в (3.8), получим:

r_ij = r_ji . (3.11)

Таким образом, теорема Релея утверждает, что реакция i-й связи от единичного смещения j-й связи равна реакции j-й связи от единичного смещения i-й связи.

Примечания

1. Если вместо единичной силы в точке i приложить единичный момент, зависимость (3.10) примет вид:

d_ij = q_ij .

Как видим, удельные перемещения d_ij могут иметь различную размерность. Проще всего ее найти из (3.9), принимая в этом выражении D_ij за обобщенное перемещение, а P_j - за обобщенную силу. Тогда [d_ij] = [ D_ij ] / [ P_j ] и мы получим:

а) для силы, приложенной в точке j:

– [d_ij] = м/Н, если D_ij - линейное перемещение;

– [d_ij] = 1/Н, если D_ij - угловое перемещение.

б) для момента, приложенного в точке j:

– [d_ij] = м/(Нм) = 1/Н, если D_ij - линейное перемещение;

– [d_ij] = 1/(Нм), если D_ij - угловое перемещение.

2. Приведенное доказательство теоремы Релея может показаться неубедительным. В самом деле, мы ссылаемся в нем на теорему Бетти, в которой рассматриваются два состояния одной и той же системы, загруженной различной нагрузкой. Можно ли это утверждать в отношении двух балок, изображенных на рис. 3.8, а и 3.8, б? Ответ на этот вопрос будет положительным, если учесть следующее:

а) принцип освобождаемости от связей справедлив в отношении как СОС, так и СНС;

б) если реакции связей СОС вторичны, то есть появляются только в ответ на действие активных сил и образуют с ними уравновешенную систему, то реакции связей СНС, вызванные кинематическими воздействиями, образуют самоуравновешенную систему сил;

в) напряженно-деформированное состояние заданной СНС, вызванное смещением i-й связи, тождественно НДС в эквивалентной упругой системе, полученной из заданной путем устранения этой i-й связи и загруженной активной силой, равной ее реакции.

Поскольку в нашем примере на рис. 3.8 речь идет о двух связях, для получения одной и той же системы нужно удалить обе. Если при этом число лишних связей заданной СНС будет меньше или равно двум, полученная система будет, очевидно, статически определимой или даже подвижной.

rji

θ =1

rii

δ =1

rij

rjj

б)

а)

Рис. 3.9

Итак, действительно две балки на рис. 3.8, а и 3.8, б можно рассматривать как два состояния одной и той же системы (рис. 3.9, а, б).