Тема 2. Растяжение и сжатие
Растяжением или сжатиемназывается такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает один ВСФ — продольная сила N. Величина последней равна алгебраической сумме проекций на продольную ось внешних сил, действующих на отсеченную часть бруса:
Так как величина продольных сил в разных сечениях бруса неодинакова, то строится эпюра продольных сил, т.е. график, показывающий изменения величины продольных сил в сечении бруса по его длине.
Последовательность построения эпюр продольных сил:
1.Разбиваем брус на участки, ограниченные точками приложения сил
(нумерацию участков ведем от незакрепленного конца).
2. Используя метод сечений, определяем величину продольных сил в сечении каждого участка:
3. Выбираем масштаб и строим эпюру продольных сил, т.е. под изображением бруса (или рядом) проводим прямую, параллельную его оси, и от этой
прямой проводим перпендикулярные отрезки, соответствующие в выбран
ном масштабе продольным силам (положительное значение откладываем
вверх (или вправо), отрицательное — вниз (или влево)).
Под действием продольных сил в поперечном сечении бруса возникает нормальное напряжение, которое определяется по формуле:
где А — площадь поперечного сечения участка.
Нормальное напряжение в сечении бруса распределяется равномерное тех случаях, когда сечение значительно удалено от точки приложения сил, и неравномерно в сечениях, расположенных вблизи точки приложения силы (принцип Сен-Венана)(рис. 7).
Рис. 7 |
Гипотеза плоских сечений устанавливает, что при растяжении (сжатии) сечение бруса остается плоским и перпендикулярным линии действия силы. Закон Гука при растяженииустанавливает, что нормальное напряжение, возникающее в поперечных сечениях при растяжении в пределах упругости, прямо пропорционально продольной деформации:
где Е - коэффициент пропорциональности, который называется модулем упругости первого рода или модулем Юнга. Он характеризует жесткость материала, из которого изготовлен элемент конструкции. Для различных материалов его значения определены экспериментально.
Закон Гука можно изобразить графически (рис. 8).
рис. 8 |
Видоизмененное выражение закона Гука:
где Δl— абсолютное изменение продольных размеров;
l0— первоначальные размеры элемента;
ЕА — величина, характеризующая жесткость сечения бруса.
Задача 1.Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений для нагруженного стального бруса (рис. 9). Определить удлинение (укорочение) бруса, если Ест = 2- 105МПа.
Рис. 9 |
Дано: F1= 2кН F2= 5кН F3= 2кН А1=2см2=2· 102 мм2 А2=4см2=4· 102 мм2 Ест=2· 105 МПа l01=100мм l02 =50мм l03 =200мм l04 =150мм | Решение. Определяем продольные силы и строим их эпюру: N1 = -F1 = - 2kH N2 = -F1+ F2 = - 2 +5 =3kH N3 = -F1+ F2 = 3kH N4 = -F1+ F2 + F3 = -2+5+2=5kH Определяем величину нормальных напряжений и строим их эпюру: Используя видоизмененный закон Гука, определяем удлинение бруса: |
Определить Δl |
Ответ: Δl=0,015625 мм.
Условие прочности при растяжении:рабочее напряжение должно быть меньше или равно допускаемому напряжению, т.е.
Используя это условие, можно выполнить три вида расчетов на прочность при растяжении.
1. Проверочный — проверка прочности: по заданной рабочей нагрузке и заданному размеру сечения определяем рабочее напряжение и сравниваем его с допускаемым напряжением.
Если σр < [σр], значит, элемент конструкции удовлетворяет условию прочности и будет работать в нормальном режиме.
Если σр> [σр], то условие прочности не выполняется. Значит, нужно или уменьшить рабочую нагрузку, или увеличить размер сечения.
Дано: F, d, [σр] | Решение: (2.1) |
Определить σр и сравнить с [σр] |
где N=F,
A=πd2/4 (рис.10)
Рис.10
2. Проектный — подбор размера сечения по заданной рабочей нагрузке и допускаемому напряжению.
Дано: F, [σр] | Решение: Согласно формуле (2.1) |
Определить d |
3. проверочно-уточненный – определение допускаемого значения рабочей нагрузки по заданному разрезу сечения и допускаемому напряжению.
Дано: d, [σр] | Решение: Согласно формуле (2.1) |
Определить F |
Задача 2.Стальной образец растягивается силой 28 кН. Удлинение участка длиной 100 мм составило 5,12 мм. Определить площадь поперечного сечения образца и величину нормального напряжения.
Дано: F = 28кН =28· 103 Н l=100 мм Δl =0,12 мм Ест = 2· 105 МПа | Решение: |
Определить А, σ |
Ответ: А =116,6 мм2, σ =239 МПа.
Задача 3.Удлинение стального стержня диаметром 4 см и длиной 1,2м равно 2 мм. Определить величину силы, вызывающей это удлинение.
Дано: Ест = 2· 105 МПа Δl =2 мм D=4см=40мм l0=1,2 м = 1200мм | Решение: Согласно формуле (2.1) |
Определить N |
Ответ: N=418,6кН
Задача 4.Фундамент стены здания несет вертикальную равномерно распределенную нагрузку q (рис. 11). Определить ширину подошвы фундамента b, не учитывая его массу, если допускаемое напряжение для грунта [σс] = 0,25 МПа.
Рис.11 |
Дано: q= 400 кН/м l= 1м [σс] = 0,25МПа | Решение: |
Определить b |
Ответ: b≥1,6м
Тема 3. Срез и смятие
Многие элементы конструкции, служащие для соединения деталей (болты, винты, заклепки, шпонки, швы сварных, клеевых соединений и т.д.), испытывают в процессе работы деформацию среза и смятия.
Рассмотрим практические расчеты на прочность при срезе и смятии на примере соединения заклепками.
Под действием внешней силы F, действующей на соединенные листы, заклепка испытывает деформацию среза по поперечному сечению аb (рис.1). В этом сечении возникает один ВСФ — поперечная сила Q = F.
Рис.1 |
Под действием поперечной силы Q в сечении заклепки ab возникает касательное напряжение
где аср — площадь среза.
Боковая поверхность заклепки под действием внешних сил испытывает деформацию смятия.
Смятие— это местная деформация сжатия на участках передачи давления одним элементом другому. На боковой поверхности заклепки возникает нормальное напряжение смятия
Аcм — площадь смятия
Условие прочности на срез:рабочее напряжение на срез должно быть меньше или равно допускаемому напряжению на срез, т.е.
где п — количество срезов данного элемента;
т — количество элементов в данном соединении.