Скорости точек тела при вращательном движении вокруг неподвижной точки

При рассмотрении вращательного движения тела вокруг неподвижной оси получена векторная формула Эйлера, по которой скорости точек тела полностью характеризуются общей для всех точек тела угловой скоростью вращения и расположением точек тела относительно оси вращения.

Формула Эйлера справедлива и для случая вращения твердого тела вокруг неподвижной точки.

В этом случае в каждый момент времени тело вращается вокруг мгновенной оси, проходящей через неподвижную точку, с угловой скоростью , направленной по мгновенной оси. Точки тела, лежащие на мгновенной оси, имеют скорости, равные нулю, как и в случае неподвижной оси вращения.

Следовательно, линейные скорости точек тела при вращении вокруг неподвижной точки можно вычислять также по векторной формуле Эйлера, как и в случае вращения вокруг неподвижной оси, только радиус-вектор каждой точки удобно проводить из неподвижной точки тела.

Итак, скорость какой-либо точки тела (рис. 55), по векторной формуле Эйлера,

. (97)

Модуль скорости

, (98)

где – кратчайшее расстояние от рассматриваемой точки до мгновенной оси.

Таким образом, скорости точек тела пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенной оси. Направление скорости какой-либо точки тела перпендикулярно плоскости, в которой находятся векторы и , а следовательно, перпендикулярно отрезку .

Если требуется найти модуль угловой скорости тела в определенный момент времени, то для этого, согласно (98), достаточно разделить скорость какой-либо точки в этот же момент времени на кратчайшее расстояние от этой точки до мгновенной оси.

Мгновенную ось в конкретных задачах часто находят из механических условий задачи, т.е. в рассматриваемый момент времени она всегда проходит через две неподвижные точки тела. Так, если движущееся тело касается в какой-либо точке неподвижной поверхности другого тела и при этом нет скольжения, то мгновенная ось проходит через эту неподвижную в данный момент времени точку.

В случае качения без скольжения одного конуса по другому, неподвижному, конусу (рис. 56) мгновенной осью является та общая образующая этих конусов , вдоль которой в данный момент времени они касаются друг друга. Если, например, скорость , точки известна, то угловая скорость подвижного конуса

где и – угол полураствора подвижного конуса.

Проекции угловой скорости тела как на подвижные, так и неподвижные оси координат можно определить также через углы Эйлера как функции времени, характеризующие положение тела относительно неподвижной системы координат.

Если спроецировать правую и левую части (97) на координатные оси, то получим формулы Эйлера для проекций скоростей , и :

, , , (99)

где – координаты точек тела, скорости которых определяются.

Если взять точки тела, лежащие на мгновенной оси в рассматриваемый момент времени, то для них скорости равны нулю, а следовательно, приняв равными нулю , и из (99) получим следующие уравнения для координат этих точек:

, , .

Эти уравнения можно представить в виде

. (100)

Для определенного момента времени формула (100) является уравнением мгновенной оси. Если же величины, входящие в (100), рассматривать как функции времени, то она будет представлять собой уравнения подвижного или неподвижного аксоида (в параметрической форме) в зависимости от того, в какой системе координат она составлена.

Если являются текущими координатами точки мгновенной оси относительно подвижных осей, скрепленных с движущимся телом, а , и – проекции угловой скорости тела на эти оси, то формула (100) является уравнением подвижного аксоида.

Если вместо подвижных осей координат взять неподвижные оси, относительно которых рассматривается движение тела, и проекции угловой скорости тоже взять на эти оси, то тогда формула (100) будет уравнением неподвижного аксоида.

Скорость какой-либо точки можно вычислить как первую производную по времени от радиуса-вектора этой точки, проведенного из неподвижной точки. С другой стороны, скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, можно вычислить по векторной формуле Эйлера (97). Следовательно, производная по времени от радиуса-вектора любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, определится по формуле

. (101)

Длина радиуса-вектора как расстояние между двумя точками твердого тела является постоянной величиной при движении этого тела. То есть, (101) можно рассматривать как формулу для вычисления производной по времени от вектора, модуль которого постоянен, и изменение этого вектора происходит только вследствие вращения его с угловой скоростью вместе с телом вокруг неподвижной точки.

Если взять подвижную систему координат , скрепленную с телом, которое вращается вокруг неподвижной точки с угловой скоростью , то для единичных векторов , направленных по этим осям координат, как для векторов, модули которых постоянны, на основании (101) имеем:

, , . (102)

Формулы (102) называют формулами Пуассона.