Углы эйлера. уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной точки

Три степени свободы, которые имеет тело при вращении вокруг неподвижной точки, требуют для задания положения тела относительно какой-либо системы координат трех независимых величин. Эти три величины, или параметра, можно задать различными способами. В теоретической механике наибольшее применение получили так называемые углы Эйлера, рассмотренные ниже.

Через неподвижную точку твердого тела проведем неподвижную систему координат , относительно которой будем рассматривать движение тела (рис. 52). Другую систему координат скрепим с телом, вращающимся вокруг неподвижной точки . Для определения положения движущегося тела относительно системы координат следует задать относительно этой системы координат положение другой, подвижной, системы координат , скрепленной с движущимся телом. Для этой цели Эйлер предложил три независимых параметра – углы Эйлера.

Первый из этих углов – угол прецессии – определяет положение линии узлов , которая является линией пересечения координатных плоскостей и относительно неподвижной координатной оси . Для изменения этого угла тело должно вращаться вокруг координатной оси , которую называют осью прецессии. Положение линии узлов при движении тела изменяется как относительно неподвижной системы координат , так и относительно движущегося тела, т.е. подвижной системы координат . Угол от положительной части оси до положительного направления линии узлов считается положительным, когда он отсчитывается против часовой стрелки, если смотреть с положительного направления оси . За положительное направление на линии узлов выбираем то ее направление, с которого поворот оси к оси , на наименьший угол виден происходящим против часовой стрелки.

Вторым углом Эйлера является угол между координатными плоскостями и . Его измеряют углом между перпендикулярами к этим координатным плоскостям, которыми являются оси и . Угол отсчитывают от оси к оси в положительном направлении, если направление поворота оси с положительного направления линии узлов происходит против часовой стрелки.

Угол называют углом нутации, а ось , вокруг которой вращается тело при изменении угла , соответственно называют осью нутации или линией узлов.

Для полного определения положения рассматриваемого тела относительно системы координат нужно задать угол между подвижной осью координат и положительным направлением линии узлов – угол собственного вращения . Угол от линии узлов до оси считается положительным, если вокруг оси поворот оси от линии виден происходящим против часовой стрелки.

При изменении угла тело вращается вокруг так называемой оси собственного вращения , перпендикулярной плоскости, в которой лежат прямые и , образующие этот угол. Таким образом, угол определяет положение подвижной координатной оси относительно линии узлов .

Углы Эйлера широко применяются в теории гироскопов. Движение гироскопа, т.е. симметричного тела, имеющего неподвижную точку на оси симметрии и быстро вращающегося вокруг этой оси, в общем случае можно представить состоящим из трех движений (рис. 53): вращения с большой угловой скоростью вокруг оси симметрии, или оси собственного вращения, при котором изменяется угол собственного вращения ; вращения гироскопа вместе со своей осью симметрии вокруг неподвижной оси , при котором изменяется угол прецессии . Третье движение совершает ось симметрии, которая, участвуя в прецессионном движении, описывает коническую поверхность с вершиной в неподвижной точке, а вследствие изменения угла нутации описывает в общем случае волнистую поверхность.

Если угол не изменяется, то коническая поверхность является круговым конусом. Если коническую поверхность пересечь плоскостью, перпендикулярной оси прецессии, то получится кривая линия, на которой возможны узловые точки, или точки возврата. Известно, например, что земной шар кроме собственного вращения вокруг своей оси еще прецессирует и совершает нутационное движение.

В технике особенно важное значение имеет так называемая регулярная прецессия, когда угловые скорости вращения вокруг оси собственного вращения и вокруг неподвижной оси прецессии постоянны и угол между этими осями (угол нутации) остается тоже постоянным.

При вращении тела вокруг неподвижной точки в общем случае изменяются все три угла Эйлера: , и . Углы Эйлера являются независимыми параметрами, или обобщенными координатами, характеризующими положение тела с одной неподвижной точкой относительно неподвижной системы координат. Задание трех углов Эйлера для тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, как функций времени является необходимым и достаточным для полного описания такого движения тела.

Итак, для определения положения тела с одной неподвижной точкой в любой момент времени надо задать углы Эйлера как однозначные функции времени, т. е.

, , . (96)

Уравнения (96) являются уравнениями вращения твердого тела вокруг неподвижной точки. Если эти уравнения заданы, то в любой момент времени известно положение твердого тела относительно системы координат .

Отметим, что углы Эйлера не являются единственной комбинацией трех независимых углов для тела, имеющего одну неподвижную точку. Существуют и другие комбинации углов, определяющих положение одной системы координат относительно другой.