Приведение произвольной системы сил к заданному центру

Приведем систему трех произвольно расположенных сил F₁, F₂ и F₃, приложенных к твердому телу в точках А₁, А₂ и А₃, к заданному центру О.

Получим три силы F₁'', F₂" и F₃'', приложенные в центре О, и три присоединенные пары сил F₁, F₁', F_2, F₂'и F₃, F '₃ (рис. 32). Складывая силы F₁'', F₂" и F₃'' по правилу многоугольника, получим их равнодействующую R*, равную геометрической сумме заданных сил и приложенную в центре приведения О:

R^* = F₁''+F₂''+F₃'' = F₁+F₂+F₃

Геометрическая сумма всех сил системы называется главным вектором системы сил и в отличие от равнодействующей R обозначается R^*.

Рис. 32

Складывая пары F₁ F₁ ', F₂, F '₂; F₃, F '₃, получим эквивалентную им пару сил. Момент каждой присоединенной пары сил равен моменту соответствующей силы относительно центра приведения:

M₁ = M₁₀ = r₁×F₁; M₂ = M₂₀ = r₂×F₂; M₃ = M₃₀ = r₃×F₃.

Момент пары сил, эквивалентной трем присоединенным парам сил, равен геометрической сумме моментов этих пар.

Строя многоугольник моментов присоединенных пар, находим

M = M₁+M₂+M₃ = M₁₀+M₂₀+M₃₀ = M₀

т. е. момент пары сил, эквивалентной трем присоединенным парам, равен главному моменту этих трех сил относительно центра приведения.

Распространяя полученные результаты на любое число сил, произвольно расположенных в пространстве, имеем

R^*=

Этот результат можно сформулировать следующим образом: силы, произвольно расположенные в пространстве, можно привести к одной силе, равной их главному вектору и приложенной в центре приведения, и к паре сил с моментом, равным главному моменту всех сил относительно центра приведения.

Выбор центра приведения не отражается на модуле и направлении главного вектора R*, но влияет на модуль и направление главного момента М_о

Пользуясь методом приведения произвольной системы сил к заданному центру, рассмотрим вопросы, связанные с системами сил, произвольно расположенных на плоскости.

Рис. 33

Для вычисления главного вектора R.* системы сил, произвольно расположенных на плоскости, воспользуемся методом проекций. На рис. 33 показано приведение к центру О трех сил F₁ F₂, F₃. Известно, что

R^*=F₁+F₂+…+F_n

Обозначив –R_x, R_y проекции главного вектора на оси координат, получим

R_x =F_1x+F_2x+…+F_nx

R_y =F_1y+F_2y+…+F_ny

где F_1x, F_2x, ..., F_nx; F_1y, F_2y, F_ny – проекции сил F₁, F₂, …, F_n соответственно на оси x и y.

Модуль и направление главного вектора R* определяются по формулам

Все присоединенные пары сил лежат в одной плоскости.

Момент эквивалентной им пары сил, равный главному моменту системы сил относительно центра приведения, определяется согласно как алгебраическая сумма моментов сил относительно этого центра.

М = М₀=

Пример решения задачи

Дано: Силы F₁ =10 кН, F₂ =20 кН, F₃ =30 кН, F₄ =40 кН, расположенные параллельно оси Y как показано на рис 34. Привести заданную систему сил к точке O. Определить главный вектор и главный момент системы сил, который получается в результате приведения.

Рис. 34

Составим уравнение проекций на ось Y и определим суммарный момент сил относительно точки О.

Варианты для самостоятельной работы

Привести силы заданные в таблице 1и изображенные на рисунке 35 к центру О, определить главный вектор и главный момент приведенной системы сил. Главный вектор определить по формуле:

Рис. 35

Таблица 1