Уравнения равновесия сходящейся системы сил

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

СТАТИКА

Основы теории и контрольные работы для студентов

Очной и заочной форм обучения

Специальностей 150406, 151001, 260701

Методические указания

Кострома

УДК 531 (575)

Разин С.Н. Теоретическая механика. Статика. Основы теории и контрольные работы для студентов очной и заочной форм обучения: методические указания / С.Н.Разин, Д.А.Янушевский, – Кострома: Изд-во КГТУ, 2007. - 43 с.

В методических указаниях дано краткое изложение основных теоретических положений статики. Приведены варианты индивидуальных контрольных работ с подробными примерами решения каждой типовой задачи.

Предназначены для студентов специальностей 150406, 151001 и 260701.

Рецензент: д.т.н., проф. кафедры ТММ и Пр ТМ С.Н.Титов

Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом КГТУ

© Костромской государственный технологический университет, 2007

Оглавление

Указания к решению задач. Список литературы
1.Аксиомы статики.
2.Проекция силы на ось.
3.Связи и их реакции.
4.Уравнения равновесия сходящейся системы сил.
5.Теорема о трех силах.
6.Пара сил. Свойства пары сил.
7.Момент силы относительно точки (центра).
8.Теорема Вариньона.
9.Теорема о параллельном переносе силы.
10.Основная теорема статики.
11.Случаи приведения.
12.Момент силы относительно оси.
13.Уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил.
14.Уравнения равновесия плоской произвольной системы сил.
15.Равновесие системы тел.
16.Расчет ферм.
17.Центр параллельных сил. Центр тяжести.
18.Аналитические и экспериментальные методы определения положения центра тяжести.
19.Трение скольжения.
20.Трение качения.
Задача С1
Задача С2
Задача С3
Задача С4
Задача С5

Указания к решению задач. Литература

Решение каждой из задач необходимо начинать наразвороте тетради(на четной странице, начиная со второй). Сверху указывается номер задачи и выполняется чертеж в соответствующем масштабе и записывается условие задачи. Текст задачи не переписывается. Чертеж должен быть аккуратным и наглядным, с нанесением всех размеров и обозначений. Решение задачи необходимо сопровождать краткими пояснениями. На каждой странице следует оставлять поля для замечаний рецензента.

Работы, не отвечающие перечисленным требованиям, не проверяются и будут возвращены для переделки.

При выполнении контрольных работ следуетномер рисунка выбирать попоследней цифре шифра, аусловие задачив соответствующей таблицепо предпоследней цифре шифра.

Пример: если шифр 892341, то при решении задачи С1 следует взять рисунок С1.1, а условие №4.

Список литературы

1. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики/Н.Н.Никитин. - М.: Наука, 1971.
2. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч1/А.А.Яблонский. - М.: Наука, 1986.
3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики/С.М.Тарг. – М.: Физматгиз,1963.
4. Бать М.И. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т.1/М.И.Бать,

Г.Ю.Джанелидзе, А.С.Кельзон. - М.: Наука, 1990.

Аксиомы статики

Аксиома 1:

Две силы можно приложить к телу (материальному объекту) или отбросить, если они равны по величине, направлены в противоположные стороны и имеют общую линию действия, т.е. образуют уравновешенную систему сил.

Линией действия силы называется прямая, на которой лежит вектор силы.

Следствие:силу можно переносить вдоль линии ее действия.

Доказательство: пусть в точке А (рис.1) приложена сила . Приложим в точке В, лежащей на линии действия силы , две силы, равные по величине силе и направленные в противоположные стороны , линии действия которых совпадают с линией действия силы . Тогда по первой аксиоме сила эквивалентна системе сил , ^/, ^//. По той же аксиоме силы ^/ и можно отбросить. В результате будем иметь одну силу ^//, приложенную в точке В и равную . Что и требовалось доказать.

Таким образом, сила – скользящий вектор.

Аксиома 2 (аксиома параллелограмма сил):

Две силы, приложенные в одной точке, можно заменить одной силой, равной их геометрической сумме и приложенной в той же точке (рис.2).

Сила , эквивалентная данной системе сил ( ), называется равнодействующей. Две системы называются эквивалентными (~), если одну из них можно получить из другой с помощью 1-й и 2-й аксиомы.

Аксиома 3 (аксиома равенства действия и противодействия):

При всяком взаимодействии силы действия и противодействия равны по величине, имеют общую линию действия и направлены в противоположные стороны.

Аксиома 4 (принципзатвердевания):

Равновесие деформируемого тела не нарушится, если представить тело абсолютно твердым.

Проекция силы на ось

Сила – вектор. Действие силы на тело определяется точкой приложения, направлением и величиной силы. Силу можно переносить вдоль линии ее действия (следует из аксиомы 1).

Силы бывают: сосредоточенные, распределенные; активные (задаваемые) и пассивные (силы реакций связей).

Распределеннаясила (рис. 3) задается ее интенсивностью (q). Интенсивность –сила, отнесенная к соответствующей геометрической единице (м; м ;м ).

Сила может быть распределена по линии (рис.3), площади или объему (Н/м, Н/м², Н/ м³). Распределеннуюсилу заменяют сосредоточенной, равной по модулю площади эпюры нагрузки и приложенной в центре тяжести этой площади. Так, например, если: L = 2 м, q = 5 кН/м, то Q = q×L = 10 кН.

Проекцией силына ось называется алгебраическая величина, равная длине отрезка, заключенного между проекциями начала и конца вектора на эту ось (рис.4). Проекция положительна, если проход от проекции начала к проекции конца совпадает с положительным направлением оси. Проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси:

F_x =F ∙ соsα, R_x = R ∙ cosβ = - R ∙ cos γ.

Связи и их реакции

Тела, ограничивающие перемещение рассматриваемого тела в том или ином направлении, называются связями.Силы, с которыми связи действуют на тело, называются реакциями. Эти силы пассивны, они возникают только при наличии активных (задаваемых) сил. Для определения сил реакций пользуются принципом освобождаемости от связей:всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если мысленно отбросить связи, наложенные на него, и заменить их действие соответствующими силами реакций связей.

Виды связей

Гладкая поверхность(рис.5). Ее реакция (N, R₁, R₂, R₃) направлена по общей нормали к телу и поверхности.

Гибкая нить(рис.6). Ее реакция (T) направлена по касательной к нити в точке ее соединения с телом, у прямолинейной нити – вдоль нити (рис.7). В теоретической механике нити полагают нерастяжимыми.

Невесомый стержень.Его реакция направлена вдоль линии, соединяющей концы стержня (рис.8). Принято вначале реакцию направлять внутрь стержня, т.е. условно считать его растянутым. Знак «минус» реакции, полученный при решении задачи, укажет на сжатие стержня.

Подвижный шарнир.Реакция подвижного шарнира направлена перпендикулярно к поверхности, на которой он находится (рис.9, в точке В).

Неподвижный шарнир.Его реакция состоит из двух составляющих, направленных вдоль осей координат (рис. 9, в точке А).

Жесткая заделка.Ее реакция состоит из двух составляющих, направленных вдоль осей координат и момента сил реакций (рис. 10).

Скользящая заделка(с одной степенью свободы). Ее реакция состоит из силы, перпендикулярной направляющим, и моментасил реакций (рис.11).

Скользящая заделка(с двумя степенями свободы). Ее реакция состоит из момента сил реакций (рис.12).

Уравнения равновесия сходящейся системы сил

Система сил называется сходящейся, если линии действия всех сил системы

пересекаются в одной точке. Сходящаяся система эквивалентна одной силе, равной их геометрической сумме. Эта сила называется равнодействующей.

Так как , то для того чтобы модуль равнодействующей был равен нулю, необходимо одновременное выполнение трех равенств (1):

или или (1)

Равенства (1) называются уравнениями равновесия пространственной сходящейся системы сил.

Это уравнения равновесия плоской сходящейся системы сил.

Если система сил плоская сходящаяся, т.е. все силы лежат в плоскости xy, то последнее уравнение системы (1) выполняется тождественно, и уравнения равновесия примут вид:

Теорема о трех силах

Если тело под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, находится в равновесии, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.

Доказательство: пусть на тело действуют три силы (рис. 13), две из которых пересекаются, тогда

~

по следствию из первой аксиомы, а ~ ─ по второй аксиоме. Знак ~ обозначает эквивалентность систем. Но по условию система ~ 0, следовательно, по третьей аксиоме силы и равны по величине и имеют общую линию действия. Что и требовалось доказать.