Операторы физических величин

Операторы можно складывать и умножать на число и друг на друга. Если для любой функции u выполняются соотношения

тогда оператор Sˆ– есть сумма операторов Aˆ и Bˆ :

оператор Fˆ – есть произведение оператора Aˆ на число k:

а оператор Pˆ – есть произведение операторов Aˆ и Bˆ :

Сумма операторов и умножение оператора на число ведут себя аналогично сумме и произведению обычных чисел – выполняются свойства коммутативности, дистрибутивности и т.д. Произведение операторов, напротив, в общем случае не коммутативно, то есть существуют операторы Aˆ и Bˆ, для которых:

Операторы Aˆи Bˆназываются коммутирующими, если их произведение не зависит от порядка сомножителей:

Если для операторов Aˆ и Bˆ выполняется равенство:

то такие операторы называют антикоммутирующими.

Коммутатор [ Aˆ, Bˆ ] двух операторов Aˆ и Bˆ определяется следующим выражением:

Приведем повторно вид основных операторов квантовой механики:

Оператор координаты x:

который является оператором умножения на число x. Соответственно оператор радиус-вектора:

Оператор проекции импульса

Оператор вектора импульса:

Оператор квадрата импульса:

7. Принцип суперпозиции Ψ-функций. Разложение по собственным функциям. (физический смысл коэффициентов разложения)

Суперпозиция состояний

Рассмотрим теперь простой мысленный опыт, который позволит нам устано- вить одно важное свойство волновых функций. Представим себе, что пучок частиц (например, электронов) с одинаковой энергией и, следовательно, с одинаковым им-

пульсом p˙ падает на пластинку с двумя узкими щелями (см. Рис. 2.1.). Частицы

регистрируются датчиками, расположенными в различных точках экрана.

Из курса оптики известно, что в случае, когда на пластинку падает монохро- матический свет с частотой ω, на экране наблюдается характерное чередование максимумов и минимумов интенсивности из-за интерференции световых волн, по- павших на экран от двух щелей. Согласно гипотезе де-Бройля, пучок микроча- стиц в данной ситуации будет вести себя аналогичным образом, т. е. на экране получится такое же распределение частиц, зарегистрированных датчиками. Для наблюдения этого распределения в качестве экрана можно взять фотопластинку. Тогда каждое зерно фотопластинки будет играть роль датчика частиц. Итак, на экране должно получиться распределение частиц, показанное на Рис. 2.1. Как объяснить это, исходя из представления о волнах де-Бройля?

Будем рассуждать по аналогии с оптикой, где интенсивность света в каждой точке экрана пропорциональна квадрату амплитуды напряженности электриче- ского поля приходящей волны. При этом напряженность поля в данной точке находится как сумма напряженностей в волнах, пришедших от первой и второй щелей (принцип суперпозиции световых волн).

Чтобы получить аналогичную картину для микрочастиц, мы должны допустить, что для волн де-Бройля справедлив принцип суперпо- зиции, т. е. волновая функция Ψ(P, t) в точке P на экране есть сумма

где Ψ1 и Ψ2 соответствуют волнам де-Бройля, пришедшим в точку P от первой и второй ще- лей. Квадрат амплитуды суммарной волны Ψ и будет пропорционален числу частиц, по- павших в окрестность точки P на экране. К

Рис. 2.1.

сожалению, мы пока не знаем, как записать выражения для Ψ1 и Ψ2, так как от щелей

распространяются расходящиеся волны де-Бройля. Если, однако, экран распо- ложен достаточно далеко от пластинки, то можно приближенно считать Ψ1 и Ψ2 плоскими волнами и воспользоваться формулой (2.16). Тогда

где r1 и r2 — расстояния от щелей до точки P . Строго говоря, амплитуды A1 и A2 отличаются друг от друга, так как в общем случае щели находятся на разных расстояниях от точки P . Впрочем, если точка P расположена недалеко от центра интерференционной картины, этим различием можно пренебречь. Именно так мы поступим и для простоты положим A1 ≈ A2 = a. Будем также считать, что ампли-туда a — действительное число. Для вычисления квадрата амплитуды суммарнойволны (2.19) мы используем прием, который в дальнейшем будет часто встречать- ся. Так как Ψ — комплексное число, его можно записать в виде , где A амплитуда волны, которая нас интересует.

Далее заметим, что

|

, где — величина, комплексно сопряженная Ψ; она получается из Ψ заменой i на

−i. Используя (2.20) с A1 = A2 = a, пишем

.

Раскрывая скобки, находим, что

где мы воспользовались известным из математики выражением для косинуса через мнимые экспоненты:

Формула (2.21) описывает распределение интенсивности пучка частиц на экране. Аргумент косинуса в этой формуле можно записать в виде 2π

Таким образом, в зависимости от “разности хода” (r2 − r1) волн де-Бройля до различных точек экрана, в них будут наблюдаться максимумы интенсивности (там, где косинус равен единице) и минимумы интенсивности (там, где косинус равен −1). Мы имеем типичную картину дифракции волн на двух щелях, хорошо известную из оптики.

Ключевым моментом нашего вывода является выражение (2.19) для волновой функции частиц на экране. Из него следует неожиданный вывод, который еще раз демонстрирует необычность квантового поведения микрочастиц. В самом деле, Ψ1 и Ψ2 описывают два состояния движения частицы. Волновая функция Ψ1 соответствует частице, которая попала на экран, пройдя через щель 1 (назовем это состоянием 1), а Ψ2 — частице, которая прошла через щель 2 (состояние 2). Поэтому Ψ описывает состояние частицы, которое является “смесью”, или, как принято говорить в квантовой теории, — суперпозицией состояний 1 и 2. Ясно, что мы должны допустить возможность суперпозиции не только двух состояний частицы, но и произвольного числа состояний1. По современным представлениям, принцип суперпозиции состоянийсправедлив для произвольной квантовой системы и является одним из фундаментальных принципов природы. В применении к одной частице, этот принцип гласит:

• Если частица может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ1, Ψ2,... Ψk, то она может находиться и в состоянии, которое описывается волновой функцией

где ai— любые комплексные числа.

Суперпозиция состояний — типично квантовое явление. Напомним, что в классической механике состояние движения частицы описывается некоторой траекторией

Ясно, что частица не может двигаться одновременно по двум различным траекториям. Отсюда следует, кстати, что само понятие траектории частицы в квантовой механике теряет физический смысл, поскольку оно противоречит принципу суперпозиции состояний.

Отсутствие траекторий у микрочастиц и возможность суперпозиции их кванто- вых состояний трудно себе представить, так как ничего похожего нет в макроско- пическом мире, доступном нашему непосредственному наблюдению. В 1920-е годы принцип суперпозиции квантовых состояний вызвал бурную дискуссию. Многие физики и, в частности, Эйнштейн, который сам внес важный вклад в развитие

1Иначе невозможно объяснить дифракцию пучка частиц на пластинке с нескольки- ми щелями или, скажем, дифракцию электронов на кристаллах, которая наблюдается в эксперименте.

Рис. 2.2. Регистрация n частиц на экране при дифракции на двух щелях: а) n = 10, б) n = 100, в) n = 1000.

квантовых идей, отказывались признавать этот принцип. Однако дальнейшая ис- тория физики (прежде всего — эксперименты и технические достижения, основан- ные на квантовой механике) подтвердили справедливость принципа суперпозиции состояний.

8. Формула для среднего значения физической величины в состоянии с волновой функцией Ψ.

9. Уравнение Шредингера- общее, стационарное и одномерное для одной частицы.

Частица в одномерной потенциальной яме. Математический аппарат квантовой механики изучается в курсах теоретической физики. Число задач, в которых уравнение Шрёдингера решается точно, невелико. В большинстве случаев решения приближённые.

Самая простая задача о движении частицы в одномерной потенциальной яме рассматривается здесь для того, чтобы познакомиться с основами квантовой механики и убедиться в том, что условия квантования энергии заложены в самом уравнении Шрёдингера.

Потенциальной ямой называется область пространства, где потенциальная энергия частицы U существенно меньше, чем вне этого пространства. Наиболее простой является модель бесконечно глубокой потенциальной ямы. Она может задаваться двумя способами. В одном случае энергия частицы U за пределами ямы принимается равной нулю, U_вне = 0, внутри – принимается равной минус бесконечности, U_внутри = -∞. У такой ямы нет дна.

В другом случае у потенциальной ямы есть дно. Потенциальная энергия частицы U внутри ямы принимается равной нулю, U_внутри = 0, а за пределами ямы стремится к плюс бесконечности, U_вне = + ∞. Здесь мы ограничимся этим вторым представлением, поскольку уравнение Шредингера получается проще, и поставленная задача решается быстрее.

Рассмотрим состояние частицы в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме (Рис.15). Это значит, что потенциальная энергия U частицы удовлетворяет условиям:

(4.4)

Здесь l – ширина потенциальной ямы вдоль оси ОХ. Так как в задаче нет изменяющихся во времени силовых полей, то она соответствует уравнению Шрёдингера для стационарных состояний (4.2). В декартовых координатах, в которых составлена задача, выражение ∆y имеет вид:

. (4.5)

Задача одномерная, члены, содержащие переменные y и z, выпадают. Уравнение (4.2 уравнение Шреденгера для стационарного состояния ) упрощается. (Напомним, что в яме U = 0).

. или . (4.6)

Стенки ямы непроницаемы для частицы. Выйти за пределы ямы она не может. Отсюда следуют граничные условия для волновой функции y :

(4.7)

Обозначим коэффициент Тогда (4.8)

Это уравнение напоминает уравнение движения незатухающего гармонического осциллятора. Разница в том, что в осцилляторе независимая переменная – время t, а здесь– координата x. Решение уравнения (4.8) имеет вид:

10. Что такое «стационарное состояние»?

Стационарным состоянием (от лат. stationarius — стоящий на месте, неподвижный) называется состояние квантовой системы, при котором её энергия и другие динамические величины, характеризующие квантовое состояние, не изменяются. ( В квантовой физике стационарным состоянием атома называют состояние, при котором оно имеет постоянную энергию.)

11. Коммутатор двух операторов

В квантовой механике важную роль играет коммутатор двух операторов динамических переменных, который обозначается символов

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

.

[A, B] ≡ AB

− BA

Коммутатор обладает свойствами:

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

[A, A] = 0,

[A, B] = − [B, A]

ˆ ˆ ˆ

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

[A, B+ C] = [A, B] + [A, C]

ˆ ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

[A, BC] = [A, B] C+ B[A, C]

\ ˆ ˆ ˆ ˆ Если [A, B] = 0, т. е. для любой функции Ψ выполняется равенство [A, B]Ψ = 0
то говорят, что операторы A	и B коммутируют друг с другом.

Операторы координат частицы xˆ=x, yˆ=y, zˆ=z коммутируют друг с другом. Очевидно, что любой оператор проекции импульса коммутирует с любым другим оператором проекции импульса, так как вычисление частных производных можно проводить в любом порядке. Кроме того, каждый из операторов координат коммутирует с оператором «чужой» проекции импульса, т. е.

[ˆx, pˆy] = [ˆx, pˆz ] = 0, [ˆy, pˆx] = [ˆy, pˆz ] = 0, [ˆz, pˆx] = [ˆz, pˆy] = 0

Если взять пары операторов xˆ и pˆx, yˆ и pˆy, zˆ иpˆz , то обнаружиться,

что их коммутаторы не равны нулю.

Таким образом, аналогичные формулы для других проекций, находим

[ˆx, pˆx] = i ,[ˆy, pˆy] = i ,[ˆz, pˆz ] = i .

В данном случае коммутаторы являются числами. Строго говоря, коммутатор всегда является оператором.

Поэтому в формулах следовало бы писать— единичный оператор, действующий на любую функцию Ψ, где 1 - единичный оператор, действующий на любую функцию Ψ, по правилу 1Ψ = Ψ

Для упрощения формул единичный оператор почти всегда явно не выписывается.

Приведем важный пример, показывающий, что коммутатор двух операторов динамических переменных может выражаться через оператор третьей динамической переменной. Вспоминая определение операторов проекций момента импульса частицы получается

ˆ	ˆ	ˆ	,	ˆ	ˆ	ˆ	,	ˆ	ˆ	ˆ
[Lx	, Ly	] = i Lz	[Ly	, Lz	] = i Lx	[Lz	, Lx	] = i Ly.

Эти три коммутатора можно кратко записать в виде одного векторного равенства

	ˆ	ˆ	ˆ
	L	× L = i L .
					;

12. Гармонический осциллятор. Уровни энергии

Квантовый гармонический осциллятор

Линейный гармонический осциллятор — систе­ма, совершающая движение под действием ква­зиупругой силы. Осциллятор называют одномерным, если система, например частица, может двигаться только вдоль одной прямой.

Задача об уровнях энергии одномерного гармонического осциллятора является одной из наиболее важных задач о собственных значениях.

В квантовой теории понятие силы теряет смысл, поэтому квантовый гармонический осциллятор следует определить как поведение частицы массы т с потенциальной энергией U(x) такой же, как у классического осциллятора, а именно

(12.25)

Собственная частота классического гармонического осциллятора равна ωо = √k/т, где т — масса частицы (см. Cавельев, кн. 1). Параллельная работа синхронного генератора с сетью

Выразив в формуле (12.25) k через т и ωо, получим

(12.26)

где х — отклонение от положения равновесия. Зависимость (12.26) имеет вид параболы (рис. 12.5), т. е. «потенциальная яма» в данном случае является параболической.

Рис.12.5.

С классической точки зрения амплитуда малых колебаний осциллятора определяется его полной энергией Е (см. рис. 12.5). В точках с координатами ± хmax кинетическая энергия осциллятора равна нулю и вся энергия переходит в потенциальную энергию осциллятора. Поэтому с классической точки зрения частица не может выйти за пределы области (-xmax, +xmax). Такой выход означал бы, что ее потенциальная энергия больше полной, что абсурдно, так как приводит к выводу, что кинетическая энергия отрицательна. Таким образом, классический осциллятор находится в «потенциальной яме» с координатами –хmax ≤ х≤ хmax «без права выхода» из нее.

Гармонический осциллятор в квантовой механике — квантовый осциллятор — описывается уравнением Шредингера (12.16), учитывающим выражение (12.26) для потенциальной энергии. Тогда стационарные состояния квантового осциллятора определяются уравнением Шредингера вида

(12.27)

где Е — полная энергия осциллятора.

В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнение (12.27) имеет однозначные, конечные и непрерывные решения при собственных значениях

(12.28)

Из формулы (12.28) следует: энергия квантового осциллятора может иметь лишь дискретные значения, т. е. квантуется.

Из формулы (12.28) также следует, что уровни энергии расположены на одинаковых расстояниях друг от друга (на рис. 12.6 они изображены горизонтальными прямыми), а именно расстояние между соседними энергетическими уровнями равно ћωо, причем минимальное значение энергии Е0 = (1/2) ћωо. При n >> 1 En = пћωо (т. е. энергетические уровни осциллятора совпадают с величинами квантованной энергии осциллятора, постулируемыми Планком в теории излучения черного тела.

Как следует из выражения (12.28), минимальная энергия квантового осциллятора

(12.29)

она называется энергией нулевых колебаний.

Наличие энергии нулевых колебаний типично для квантовых систем и является следствием соотношения неопределенностей: частица не может находиться на дне потенциальной ямы независимо от ее формы. Если бы это было возможно, то импульс, а также его неопределенность обращались бы в нуль. Тогда неопределенность координаты ∆х→ ∞, что противоречит пребыванию частицы в потенциальной яме.

Плотность вероятности обнаружить частицу на оси х определяется квадратом модуля волновой функции |ψ(х)|2. На рис. 12.6 представлены кривые распределения плотности вероятности |ψn(х)|2 для различных состояний квантового осциллятора (для п = 0, 1 и 2).

Рис.12.6.

В точках А и А', В и В', Си С' потенциальная энергия равна полной энергии (U = E), причем, как известно, классический осциллятор не может выйти за пределы этих точек.

Для квантового осциллятора |ψn(х)|2 и за пределами этих точек имеет конечные значения. Это означает, в свою очередь, что имеется конечная, хотя и небольшая, вероятность обнаружить частицу за пределами «потенциальной ямы». Этот результат не противоречит выводам квантовой механики, поскольку, как уже отмечалось, равенство Т = Е— U в квантовой механике не имеет силы, так как кинетическая (Т) и потенциальная (U) энергии не являются одновременно измеримыми величинами.

13. Рис. 12.7.

14. При больших значениях п квантовое распределение плотности вероятности проявляет все большее сходство с классическим (рис. 12.8), где представлены квантовое (сплошная кривая) и классическое (пунктир) распределение плотности вероятности для п = 10.

Рис. 12.8.

В этом находит свое выражение постулат квантовой механики — принцип соответствия Бора: выводы и законы квантовой механики при больших значениях квантовых чисел должны соответствовать выводам и законам классической физики.

Существование нулевой энергии подтверждается экспериментами по изучению рассеяния света кристаллами при низких температурах. Оказывается, что интенсивность рассеянного света по мере понижения температуры стремится не к нулю, а к некоторому конечному значению, указывающему на то, что и при абсолютном нуле колебания атомов в кристаллической решетке не прекращаются.

Более детальный расчет, выходящий за рамки уравнения Шредингера, показывает, что для квантового осциллятора возможны переходы лишь между соседними «стационарными» уровнями, при которых квантовое число n изменяется на единицу:

(12.30)

Это условие называют правилом отбора для квантового гармонического осциллятора.

Из правила (12.30) вытекает, что энергия гармонического осциллятора может изменяться только порциями ћω. Планк предполагал, что энергия гармонического осциллятора может быть лишь целой кратной ћω. В действительности же имеется еще нулевая энергия, существование которой было установлено только после создания квантовой механики.

Виды фотоэлектрического эффекта. Законы внешнего фотоэффекта Гипотеза Планка, блестяще решившая задачу теплового излучения черного тела, получила подтверждение и дальнейшее развитие при объяснении фотоэффекта — явления, открытие и исследование которого сыграло важную роль в становлении квантовой теории. Различают фотоэффект внешний, внутренний и вентильный. Внешним фотоэлектрическим эффектом (фотоэффектом) называется испускание электронов веществом под действием электромагнитного излучения. Внешний фотоэффект наблюдается в твердых телах (металлах, полупроводниках, диэлектриках), а также в газах на отдельных атомах и молекулах (фотоионизация). Фотоэффект обнаружен (1887 г.) Г. Герцем, наблюдавшим усиление процесса разряда при облучении искрового промежутка ультрафиолетовым излучением.

13 Соотношение неопределенной Гейзенберга.

Принцип неопределённости Гейзенбе́рга (или Га́йзенберга) в квантовой механике — фундаментальное соображение (соотношение неопределённостей), устанавливающее предел точности одновременного определения пары характеризующих систему квантовых наблюдаемых, описываемых некоммутирующими операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного поля).

Более доступно он звучит так: чем точнее измеряется одна характеристика частицы, тем менее точно можно измерить вторую. Соотношение неопределённостей даёт нижний предел для произведения среднеквадратичных отклонений пары квантовых наблюдаемых.

Соотношения неопределенностей Гайзенберга в свое время сыграли важную роль в осмыслении квантовой механики. Из них, в частности, следует, что движение микрочастицы нельзя представлять себе как движение по траектории. В самом деле, для существования траектории необходимо, чтобы в каждый момент времени частица имела определенные радиус-векторr и скоростьv =p/m. Другим словами, необходимо, чтобы неопределенности координат и проекций скорости в одном и том же состоянии были равны нулю.

Теперь мы докажем одну важную теорему о квантовых неопределенностях физических величин. Предположим, что частица находится в некотором квантовом состоянии Ψ и рассмотрим две произвольные динамические переменные, которым

соответствуют эрмитовые операторы ˆ иˆ. В общем случае коммутатор этих

A B

операторов можно записать в виде

				ˆ ˆ ˆ		(4.22)
				[A, B] = iC,
где Cˆ — новый (эрмитовый) оператор1. В самом деле, вычисляя [A,ˆ Bˆ]† и учитывая,
ˆ	ˆ
что операторы A	и B эрмитовые, получаем
	[A,ˆ Bˆ]† ≡ ABˆ ˆ − BAˆ ˆ † = BAˆ ˆ − ABˆ ˆ = −[A,ˆ Bˆ].
	ˆ	ˆ	ˆ	— эрмитовый оператор.
Отсюда следует, что C = [A, B]/i
ˆ Так как операторы	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ
∆A и ∆B получаются изA	и B	вычитанием чисел A и

B , то их коммутатор совпадает с (4.22) (проверьте!), т. е.

ˆ ˆ ˆ

[∆A, ∆B] =iC.

Введем вспомогательный интеграл

I(λ) =	(λ ∆Aˆ +i∆Bˆ)Ψ		dV,

который зависит от произвольного действительного параметра λ. Поскольку подынтегральная функция всегда неотрицательна, тоI(λ)≥ 0 при любом

1В частности,ˆ может быть просто действительным числом [см., например, (4.16)].

C

значении λ. Интеграл (4.24) можно преобразовать следующим образом:

I(λ) =	(λ∆Aˆ − i∆Bˆ )Ψ	(λ ∆Aˆ +i∆Bˆ)ΨdV =

ˆ − ˆ ˆ ˆ

=Ψ (λ ∆A i∆B)(λ ∆A +i∆B) ΨdV =

2 ˆ2 ˆ2 ˆ ˆ

= Ψ λ (∆A) + (∆B) +iλ[∆A, ∆B] ΨdV.

Во второй строке мы “перебросили” действие операторов на Ψ с помощью опера-

			ˆ		ˆ
ции транспонирования [см. (4.4)] и учли, что ∆A и ∆B — эрмитовые операторы.
Вспоминая теперь формулы (4.20) и (4.23), находим		≥ 0.
I(λ) =λ	(∆A)		− λ C + (∆B)		(4.25)
			ˆ

Как известно из элементарной математики, для того, чтобы при любом значении λ выражение (aλ2 − bλ +c) было неотрицательным, его дискриминант должен удовлетворять условию (b2 − 4ac)≤ 0. Применив это условие к (4.25), получаем неравенство

∆A∆B ≥		Cˆ	,	(4.26)

которое называется соотношением неопределенностей для физических величин A иB. Наиболее интересные следствия из неравенства (4.26) получаются для координат частицыx,y,z и соответствующих проекций импульса. Используя выражения (4.16) для коммутаторов, находим, что

∆x∆px ≥		,	∆y∆py ≥		,	∆z∆pz ≥		.	(4.27)

Таким образом, не существует квантовых состояний, в которых неопределенности координаты и проекции скорости обе равны нулю. В этом смысле нельзя предполагать, что движение частицы происходит по траектории. Заметим также, что неравенство (4.28) объясняет тот факт, что квантовые эффекты не проявляются у макроскопических тел.

14 В чем заключается туннельный эффект? Прохождение частицы через потенциальный барьер (туннелирование), преодоление микрочастицей потенциального барьера в случае, когда её полная энергия(остающаяся при Т. э. большей частью неизменной) меньше высоты барьера. Т. э.— явление существенноквант. природы, невозможное в классич. механике; аналогом Т. э. в волн. оптике может служитьпроникновение световой волны внутрь отражающей среды (на расстояния порядка длины световой волны) вусловиях, когда с точки зрения геом. оптики происходит полное внутреннее отражение. Т. э. лежит в основемн. важных процессов в ат. и мол. физике, в физике ат. ядра, тв. тела и т. д.Т. э. интерпретируется на основе неопределённостей соотношения (см. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА). Классич.ч-ца не может находиться внутри потенц. барьера высоты V, если её энергия ?импульс р — мнимойвеличиной (m — масса ч-цы). Однако для микрочастицы этот вывод несправедлив: вследствие соотношениянеопределённостей фиксация ч-цы в пространств. области внутри барьера делает неопределённым еёимпульс. Поэтому имеется отличная от нуля вероятность обнаружить микрочастицу внутри запрещённой сточки зрения классич. механики области. Соответственно появляется определ. вероятность прохождения ч-цы сквозь потенц. барьер, что и отвечает Т. э. Эта вероятность тем больше, чем меньше масса ч-цы, чем ужепотенц. барьер и чем меньше энергии недостаёт ч-це, чтобы достичь высоты барьера (чем меньше разностьV-?). Вероятность прохождения сквозь барьер — гл. фактор, определяющий физ. хар-ки Т. э. В случаеодномерного потенц. барьера такой хар-кой служит коэфф. прозрачности барьера, равный отношениюпотока прошедших сквозь него ч-ц к падающему на барьер потоку. В случае трёхмерного барьера,ограничивающего замкнутую область пр-ва с пониж. потенц. энергией (потенциальную яму), Т. э.характеризуется вероятностью w выхода ч-цы из этой области в ед. времени; величина w равнапроизведению частоты колебаний ч-цы внутри потенц. ямы на вероятность прохождения сквозь барьер.Возможность «просачивания» наружу ч-цы, первоначально находившейся в потенц. яме, приводит к тому,что соответствующие уровни энергии ч-ц приобретают конечную ширину порядка ћw, а сами эти состояниястановятся квазистационарными.

Примером проявления Т. э. в ат. физике могут служить автоионизация атома в сильном электрич. поле иионизация атома в поле сильной эл.-магн. волны. Т. э. лежит в основе альфа-распада радиоактивных ядер.Без Т. э. было бы невозможно протекание термоядерных реакций: кулоновский потенц. барьер,препятствующий необходимому для синтеза сближению ядер-реагентов, преодолевается частичноблагодаря высокой скорости (высокой темп-ре) таких ядер, а частично благодаря Т. э. Особенномногочисленны примеры проявления Т. э. в физике тв. тела: автоэлектронная эмиссия, явления вконтактном слое на границе двух ПП, Джозефсона эффект и т. д.

Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983.

ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ

(туннелирование) - квантовый переход системы через область движения, запрещённую классич. механикой.Типичный пример такого процесса- прохождение частицы через потенциальный барьер, когда её энергия меньше высоты барьера. Импульс частицы р в этом случае, определяемый из соотношения где U(x)- потенц. энергия частицы ( т - масса), был бы в области внутри барьера, мнимой величиной. В квантовой механике благодаря неопределённостей соотношениюмежду импульсом и координатой подбарьерное движение оказывается возможным. Волновая ф-ция частицыв этой области экспоненциально затухает, и в квазиклассич. случае (см. Квазиклассическое приближение )еёамплитуда в точке выхода из-под барьера мала.

Одна из постановок задач о прохождении потенц. барьера соответствует случаю, когда на барьер падаетстационарный поток частиц и требуется найти величину прошедшего потока. Для таких задач вводится коэф.прозрачности барьера (коэф. туннельного перехода) D, равный отношению интенсивностей прошедшего ипадающего потоков. Из обратимости по времени следует, что коэф. прозрачности для переходов в "прямом"и обратном направлениях одинаковы. В одномерном случае коэф. прозрачности может быть записан в виде

интегрирование проводится по классически недоступной области, х_1,2 - точки поворота, определяемые изусловия В точках поворота в пределе классич. механики импульс частицы обращается в нуль.Коэф. D₀ требует для своего определения точного решения кван-тово-механич. задачи.

При выполнении условия квазиклассичности