Тема 1. 2. сила гидростатического давления

НА ПЛОСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ.

Сила гидростатического давления – давление, действующее на всю рассматриваемую площадку. Следует различать:

- силу абсолютного гидростатического давления;

- силу избыточного гидростатического давления.

Сила давления F на плоскую стенку равна произведению давления в центре тяжести стенки Р_с на площадь стенки:

F = Р_с ^. S, Н (1.2.1)

Равнодействующая силы гидростатического давления действует по нормали к стенке и проходит через центр тяжести площади эпюры гидростатического давления. Центр давления ЦД (точка приложения равнодействующей силы) для горизонтальной стенки совпадает с центром тяжести стенки ЦТ. Для вертикальных и наклонных стенок ЦД расположен ниже ЦТ (по стенке) на величину эксцентриситета L:

L = J_O / Y_C S (1.2.2)

где J_O - момент инерции стенки относительно оси, проходящей через ЦТ стенки параллельно линии пересечения стенки со свободной поверхностью;

Y_C - координата ЦТ (расстояние по стенке от свободной поверхности до ЦТ); S – смоченная площадь стенки.

Координата центра давления: Y_Д = Y_C + L (1.2.3)

В частном случае, для прямоугольной стенки сила избыточного давления определяется как произведение площади эпюры (треугольника) гидростатического давления w на ширину стенки (В):

Р=w В = h² r g В /2 (1.2.4)

При передаче давления через жидкость от поверхности площадью S₁ к поверхности площадью S₂ силы давления на поверхности F₁ и поверхности F₂ находятся (по закону Паскаля) в соотношении:

(1.2.5)

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ.

Гидростатическое давление, создающее силу давления, определяется по основному уравнению гидростатики (см. тему 1).

При решении задач на определение усилий в системе, необходимо составить уравнение равновесия всех сил, обеспечивающих неподвижность системы, т.е. равенства нулю суммы всех действующих сил. При действии сил через рычаги составляется уравнение равновесия моментов действующих сил.

Момент инерции и центр тяжести площадки определяются по общим формулам теоретической механики.

При определении гидростатических сил на частично погруженные в жидкость поверхности, в расчет принимается только смоченная часть поверхности.

ПРИМЕРЫ

Пример 1.2.1. Определить силу избыточного давления масла высотой

h = 5 м и плотностью r = 900 кг/ м³ на дно сосуда площадью S =1000 см², если давление в сосуде Р_о = 1,5 атмосферы.

Решение. Сила давления по формуле (1.2.1) определяется:

F= Р_С ^. S

Избыточное давление в центре тяжести горизонтальной поверхности равно давлению в любой точке поверхности Р_С = Р и определяется по формуле (1.1.3):

Р = Р_А - Р_а

Абсолютное давление находим по уравнению (1.1.1):

Р_А = Р_О + r g h = 1,5 ^. 101325 + 900 ^. 9,81 ^. 5 = 196133 Па

Тогда избыточное давление составляет:

Р = 196133 – 101325 = 94808 Па

Находим силу избыточного давления:

F = 94808 ^. 0,1 = 9480,8 Н.

Пример 1.2.2. Колокол 1 диаметром D = 6,6 м весит G =34,3 ^. 10³ Н. Определить разность уровней воды Н. Плотность воды r = 1000 кг/м³.

Решение. Для обеспечения равновесия сила давления газа на верхнюю стенку колокола должна быть равна весу колокола, т.е. F = G.

В то же время эта сила равна силе давления на поверхность воды площадью S под колоколом по (1.2.1): F = Р S

Тогда G = Р S

Откуда находим давление газа в колоколе:

Р = G / S = G p D² / 4 = 34,3 ^. 10^{3 .}3,14 ^. 6,6² / 4 = 1173 Па

Это давление соответствует высоте столба воды Н (разности уровней):

Н = Р /r g = 1173 /1000 ^. 9,81 = 0,12 м.

Пример 1.2.3.Определить силу давления воды на крышку люка диаметром D = 1 м для двух случаев:

1) Показания манометра Р_М =0,08 МПа; Н_О = 1,5 м;

2) Показание ртутного вакуумметра h = 73,5 мм, а = 1 м, Н_О = 1,5 м;

Решение. Сила давления определяется по формуле (1.2.1):

F= Р_С ^. S

Определим давление в центре тяжести крышки.

Для случая 1) абсолютное давление на поверхности складывается из избыточного (манометрического) и атмосферного:

Р_О = Р_М + Р_а

Давление в центре тяжести крышки Р_с с учетом атмосферного давления с внешней стороны определяется:

Р_С = Р_О + r g (Н_О + D/2) - Р_а = Р_М + Р_а + r g (Н_О + D/2) - Р_а =

= Р_М + r g (Н_О + D/2)

Находим силу давления на крышку

F= [ Р_М + r g (Н_О + D/2) ] ^. S =

= [0,08 ^. 10⁶ + 1000 ^. 9,81 (1.5 + 0,5) ] 3,14 ^. 1² / 4 =78202 Н =78 КН.

Для случая 2) абсолютное поверхностное давление определяется из уравнения равновесия, составленного относительно свободной поверхности воды в баке:

Р_О = Р_а - r_РТ g h - r_В g а.

Аналогично случаю 1) находим давление в центре тяжести крышки:

Р_С = Р_а - r_РТ g h - r_В g а + r g (Н_О + D/2) - Р_а =

= - r_РТ g h - r_В g а + r_В g (Н_О + D/2) =

= -13600 ^. 9,81 ^. 0,0735 - 1000 ^. 9,81 ^. 1 + 1000 ^. 9,81 (1.5 + 0,5) = 0

Сила давления на крышку люка F = Р_с S = 0.

Пример 1.2.4. Определить силу, действующую на болты 1 крышки бака, если показание манометра Р_М = 2 МПа, а угол наклона крышки a = 45^о. В сечении бак имеет форму квадрата со стороной а = 200 мм.

Решение. На болты действует сила, равная силе давления на крышку.

Силу давления на плоскую крышку определяем по формуле (1.2.1):

F = Р_с S

Давление Р_С в центре тяжести стенки складывается из манометрического давления Р_М и весового давления при глубине погружения центра тяжести крышки h_С:

Р_С = Р_О + r g h_с = Р_М + r g h_с

Находим площадь крышки

Находим силу давления на крышку при h_С = а/2 = 0,2/2 = 0,1 м:

F = (Р_М + r g h_с) S =(2 ^. 10⁶ + 1000 ^. 9,81 ^. 0,1) 0,056 = 112 КН.

Пример 1.2.5.Определить а) максимальную высоту подъема бензина Н_MAX поршневым насосом, если давление насыщенных паров h_НП= 200 мм рт. ст, h_АТ = 740 мм рт. ст, r_Б = 700 кг /м³; r_РТ = 13600 кг /м³

б) силу вдоль штока при Н_О = 1 м, D = 50 мм.

Решение. Максимальная высота подъема бензина соответствует максимально допустимой высоте вакуума, исключающей начало парообразования:

Н_MAX = Н_ВАК - h_НП

Учитывая, что максимальная высота вакуума Н_ВАК= h_АТ , а также учитывая соотношения плотностей ртути и бензина находим высоту подъема бензина:

Н_MAX = h_АТ - h_НП = (0,74 – 0,20) 13600 / 700 = 10,5 м

Сила, приложенная вдоль штока, должна преодолеть силу допустимого вакуума и силу давления бензина высотой Н_О, действующие на поршень, т.е

F = (Р_MAX + r g Н_О) S_D = (r g H_MAX + r g Н_О) S_D =

=(H_MAX + Н_О) r g pD² / 4 =

= (10,5 + 1) 700 ^. 9,81 ^. 3,14 ^. 0,05² / 4 = 155 Н.

Пример 1.2.6. Определить величину равнодействующей силы гидростатического давления на вертикальную плоскую прямоугольную стенку шириной В = 4 м. Глубина воды слева Н₁ =6,0 м, справа Н₂ =4,0 м. Определить положение точки приложения равнодействующей силы (центра давления).

Решение. По формуле (1.2.1) или (1.2.4) определяем величину силы давления слева и справа.

Сила давления воды слева:

F₁= Р_С1 S₁ = r g H₁ В H₁ / 2 = =1000 ^. 9,81 ^. 6^{2 .} 4 /2 = 706 КН

Сила давления воды справа:

F₂= Р_С2 S₂ = r g H₂ В H₂ / 2 =

= 1000 ^. 9,81 ^. 4^{2 .} 4 /2 = 314 КН

Равнодействующая сила гидростатического давления

R = F₁ – F₂ = 706 –314 = 392 КН

По формулам (1.2.2), (1.2.3) определяем координаты (глубину погружения) центров давления сил F₁ и F₂:

Y₁ = Y_C1 + L₁ =

Y₂ = Y_C2 + L₂ =

Для определения координаты Y равнодействующей силы R составим уравнение моментов сил Р₁, Р₂, R относительно оси, проходящей через основание стенки (через точку А):

F₁ (H₁ – Y₁) – F₂ (H₂ – Y₂) = R (H₁ – Y), откуда

H₁ –Y = [F₁ (H₁ – Y₁) – F₂ (H₂ – Y₂)] / R = (706 ^. 2 – 314 ^. 1,33) /392= 2,54 м

Глубина погружения равнодействующей силы:

Y = H₁ – 2,54 = 6 –2,54 = 3,46 м.