Элементарная работа силы

Элементарной работой силы Элементарная работа силы - student2.ru на перемещении Элементарная работа силы - student2.ru (рис. 3.22) называется скалярное произведение силы Элементарная работа силы - student2.ru на элементарное перемещение Элементарная работа силы - student2.ru точки ее приложения:

Элементарная работа силы - student2.ru

где a – угол между направлениями векторов Элементарная работа силы - student2.ru и Элементарная работа силы - student2.ru

Так как Элементарная работа силы - student2.ru то можно записать еще одно выражение элементарной работы:

Элементарная работа силы - student2.ru

Отметим, что направление Элементарная работа силы - student2.ru можно считать совпадающим с направлением скорости Элементарная работа силы - student2.ru и dr=dS.

Для элементарной работы можно записать еще несколько выражений:

Элементарная работа силы - student2.ru Элементарная работа силы - student2.ru Элементарная работа силы - student2.ru

Из формул элементарной работы следует, что эта величина может быть положительной (угол a острый), отрицательной (угол a тупой) или равна нулю (угол a прямой).

Полная работа сил. Для определения полной работы силы Элементарная работа силы - student2.ru на перемещении от точки M0 до М разобьем это перемещение на n перемещений, каждое из которых в пределе переходит в элементарное. Тогда работа силы А:

Элементарная работа силы - student2.ru

где dAk – работа на k-м элементарном перемещении.

Записанная сумма является интегральной и может быть заменена криволинейным интегралом, взятым вдоль кривой на перемещении M0М. Тогда

Элементарная работа силы - student2.ru

или Элементарная работа силы - student2.ru

где момент времени t=0 соответствует точке M0, а момент времени t – точке М.

Из определения элементарной и полной работы следует:

1) работа равнодействующей силы на каком–либо перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на этом перемещении;

2) работа сил на полном перемещении равна сумме работ этой же силы на составляющих перемещениях, на которые любым образом разбито все перемещение.

Мощность силы. Мощностью силы называют работу за единицу времени:

Элементарная работа силы - student2.ru

или с учетом, что Элементарная работа силы - student2.ru

Элементарная работа силы - student2.ru

Мощность силы – это величина, равная скалярному произведению силы на скорость точки ее приложения.

Таким образом, при постоянной мощности увеличение скорости ведет к уменьшению силы и наоборот. Единицей измерения мощности является Ватт: 1Вт=1 Дж/с.

Если сила приложена к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, то ее мощность равна

Элементарная работа силы - student2.ru

Аналогично определяется и мощность пары сил.

3.3.4.3. Примеры вычисления работы силы

Рис. 3.23

Работа силы тяжести. Пусть точка М, на которую действует сила тяжести Элементарная работа силы - student2.ru (рис. 3.23), переместилась из положения M0(x0,y0,z0) в положение M1(x1,y1,z1) (ось Oz направлена вертикально). Определим элементарную и полную работу силы на этом перемещении. Сила тяжести имеет проекции Элементарная работа силы - student2.ru Элементарная работа силы - student2.ru и ее элементарная работа равна

Элементарная работа силы - student2.ru

Рис. 3.24

Полная работа силы Элементарная работа силы - student2.ru

Элементарная работа силы - student2.ru

где h – высота, на которую опустилась точка.

Таким образом, работа силы тяжести положительная, когда точка опускается, и отрицательная, когда точка поднимается. Работа силы тяжести не зависит от формы траектории между точками M0 и M1.

Работа линейной силы упругости. Линейной силой упругости называют силу, действующую по закону Гука (рис. 3.24):

Элементарная работа силы - student2.ru

где Элементарная работа силы - student2.ru – радиус-вектор, проведенный из точки равновесия, где сила равна нулю, до рассматриваемой точки М; с – постоянный коэффициент жесткости.

Работа силы Элементарная работа силы - student2.ru на перемещении от точки M0 до точки M1 определим по формуле

Элементарная работа силы - student2.ru

Выполняя интегрирование, получаем

Элементарная работа силы - student2.ru (3.27)

Рис. 3.25

По формуле (3.27) вычисляют работу линейной силы упругости пружин при перемещении по любому пути из точки M0, в которой ее начальная деформация равна Элементарная работа силы - student2.ru в точку M1, где деформация соответственно равна Элементарная работа силы - student2.ru В новых обозначениях формула (3.27) принимает вид

Элементарная работа силы - student2.ru

Работа силы, приложенной к вращающемуся твердому телу. При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси скорость точки М можно вычислить по формуле Эйлера, см. рис. 3.25:

Элементарная работа силы - student2.ru

Тогда элементарную работу силы Элементарная работа силы - student2.ru определим по формуле

Элементарная работа силы - student2.ru

Используя свойство смешанного векторного произведения Элементарная работа силы - student2.ru получим

Элементарная работа силы - student2.ru

Так как Элементарная работа силы - student2.ru – момент силы относительно точки О. Учитывая, что Элементарная работа силы - student2.ru – момент силы относительно оси вращения Oz и ωdt=dφ, окончательно получаем:

dA=Mzdφ.

Элементарная работа силы, приложенной к какой–либо точке тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна произведению момента силы относительно оси вращения на дифференциал угла поворота тела.

Полная работа:

Элементарная работа силы - student2.ru

В частном случае, когда Элементарная работа силы - student2.ru , работу определяют по формуле

Элементарная работа силы - student2.ru

где j – угол поворота тела, на котором вычисляют работу силы.

Рис. 3.26

Работа внутренних сил твердого тела. Докажем, что работа внутренних сил твердого тела равна нулю при любом его перемещении. Достаточно доказать, что сумма элементарных работ всех внутренних сил равна нулю. Рассмотрим две любые точки тела M1 и M2 (рис. 3.26). Так как внутренние силы есть силы взаимодействия точек тела, то:

Элементарная работа силы - student2.ru

Введем единичный вектор Элементарная работа силы - student2.ru направленный по силе Элементарная работа силы - student2.ru Тогда

Элементарная работа силы - student2.ru

Сумма элементарных работ сил Элементарная работа силы - student2.ru и Элементарная работа силы - student2.ru равна

Элементарная работа силы - student2.ru

Раскрывая скалярные произведения векторов в скобках, получаем

Элементарная работа силы - student2.ru

Так как в кинематике доказано, что проекции скоростей любых двух точек твердого тела на направление прямой линии, соединяющей эти точки, равны друг другу при любом движении твердого тела, то в полученном выражении в скобках стоит разность одинаковых величин, т.е. величина, равная нулю.

Твердое тело можно считать состоящим из пар взаимодействующих точек. Суммируя элементарные работы для всех пар точек, получаем

Элементарная работа силы - student2.ru

3.3.4.4. Теорема об изменении кинетической энергии точки

Для материальной точки массой m, движущейся под действием силы Элементарная работа силы - student2.ru основной закон динамики можно представить в виде

Элементарная работа силы - student2.ru

Умножая обе части этого соотношения скалярно на дифференциал радиус-вектора точки Элементарная работа силы - student2.ru имеем

Элементарная работа силы - student2.ru или Элементарная работа силы - student2.ru

Учитывая, что Элементарная работа силы - student2.ru – элементарная работа силы,

Элементарная работа силы - student2.ru

имеем

Элементарная работа силы - student2.ru (3.28)

Формула (3.28) выражает теорему об изменении кинетической энергии для точки в дифференциальной форме.

Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку.

Если обе части равенства (3.28) проинтегрировать от точки M0 до точки М (см. рис. 3.22), получаем теорему об изменении кинетической энергии точки в конечной форме:

Элементарная работа силы - student2.ru

Изменение кинетической энергии точки на каком–либо перемещении равно работе силы, действующей на точку на том же перемещении.

3.4.4.5. Теорема об изменении кинетической энергии системы

Для каждой точки системы можно выразить теорему об изменении кинетической энергии в форме:

Элементарная работа силы - student2.ru

Суммируя правые и левые части этих соотношений по всем точкам системы и вынося знак дифференциала за знак суммы, получаем:

Элементарная работа силы - student2.ru или

Элементарная работа силы - student2.ru (3.29)

где Элементарная работа силы - student2.ru – кинетическая энергия системы; Элементарная работа силы - student2.ru Элементарная работа силы - student2.ru – элементарная работа внешних и внутренних сил соответственно.

Формула (3.29) выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме.

Дифференциал от кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему.

Если обе части (3.29) проинтегрировать между двумя положениями системы – начальным и конечным, в которых кинетическая энергия равна T0 и Т, то, изменяя порядок суммирования и интегрирования, имеем:

Элементарная работа силы - student2.ru или

Элементарная работа силы - student2.ru (3.30)

где Элементарная работа силы - student2.ru – работа внешней силы для точки системы Mk при ее перемещении из начального положения Элементарная работа силы - student2.ru в конечное положение Mk; Элементарная работа силы - student2.ru – работа внутренней силы, действующей на точку Mk.

Формула (3.30) выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в конечной или интегральной форме.

Изменение кинетической энергии системы при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему, на соответствующих перемещениях точек системы при том же перемещении системы.

Наши рекомендации