Точечные оценки параметров генеральной совокупности и их основные свойства.

Существуют точечные и интервальные оценки генеральных параметров.

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. К таким оценкам относятся, например,

  • выборочная средняя Точечные оценки параметров генеральной совокупности и их основные свойства. - student2.ru , или для сгруппированного вариационного ряда Точечные оценки параметров генеральной совокупности и их основные свойства. - student2.ru ;
  • выборочная дисперсия Точечные оценки параметров генеральной совокупности и их основные свойства. - student2.ru , или для сгруппированного вариационного ряда Точечные оценки параметров генеральной совокупности и их основные свойства. - student2.ru , или Точечные оценки параметров генеральной совокупности и их основные свойства. - student2.ru ;
  • выборочное среднее квадратическое отклонение Точечные оценки параметров генеральной совокупности и их основные свойства. - student2.ru и др.

Для того чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны быть:

  • несмещенными;
  • эффективными;
  • состоятельными.

Оценка называется несмещенной, если математическое ожидание ее выборочного распределения совпадает со значением генерального параметра.

Точечная оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию выборочного распределения по сравнению с другими аналогичными оценками, т.е. обнаруживает наименьшую случайную вариацию.

Точечная оценка называется состоятельной, если при увеличении объема выборочной совокупности Точечные оценки параметров генеральной совокупности и их основные свойства. - student2.ru она стремиться к величине генерального параметра.

Например, выборочная средняя Точечные оценки параметров генеральной совокупности и их основные свойства. - student2.ru есть состоятельная, несмещённая оценка генеральной средней Точечные оценки параметров генеральной совокупности и их основные свойства. - student2.ru . Для выборки из нормальной генеральной совокупности эта оценка является также и эффективной.

При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала –доверительного интервала.

Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Для оценки генерального параметра с помощью доверительного интервала необходимы три величины:

  • значение выборочного показателя;
  • критерий надежности Точечные оценки параметров генеральной совокупности и их основные свойства. - student2.ru , или показатель безошибочных прогнозов, значение которого определяется заранее, при планировании исследования, исходя из представления о большей или меньшей ответственности возможных результатов работы;
  • ошибка репрезентативности Точечные оценки параметров генеральной совокупности и их основные свойства. - student2.ru или показатель точности выборочного параметра определяется на основе выборочных данных по формулам математической статистики.

Например, доверительный интервал для генеральной средней Точечные оценки параметров генеральной совокупности и их основные свойства. - student2.ru находится по формуле: Точечные оценки параметров генеральной совокупности и их основные свойства. - student2.ru при уровне значимости Точечные оценки параметров генеральной совокупности и их основные свойства. - student2.ru .

Свойства

1. Несмещенность. Оценка Точечные оценки параметров генеральной совокупности и их основные свойства. - student2.ru называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру Точечные оценки параметров генеральной совокупности и их основные свойства. - student2.ru , т.е.

Точечные оценки параметров генеральной совокупности и их основные свойства. - student2.ru .

В противном случае (если Точечные оценки параметров генеральной совокупности и их основные свойства. - student2.ru ) оценка Точечные оценки параметров генеральной совокупности и их основные свойства. - student2.ru называется смещенной.

Естественно в качестве оценки, т.е. приближенного значения неизвестного параметра, брать несмещенные оценки; в этом случае мы не делаем систематической ошибки в сторону завышения или занижения.

2. Состоятельность. Оценка Точечные оценки параметров генеральной совокупности и их основные свойства. - student2.ru называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру a при неограниченном возрастании n:

Точечные оценки параметров генеральной совокупности и их основные свойства. - student2.ru при Точечные оценки параметров генеральной совокупности и их основные свойства. - student2.ru .

Состоятельность оценки означает, что при достаточно большом числе опытов n со сколько угодно большой достоверностью отклонение оценки от истинного значения параметра по модулю меньше любого заранее выбранного числа e > 0.

3. Эффективность. Оценки, обладающие свойством несмещенности и состоятельности, при ограниченном числе опытов могут отличаться дисперсиями. Чем меньше дисперсия оценки, тем меньше вероятность грубой ошибки при определении приближенного значения параметра. Поэтому необходимо, чтобы дисперсия оценки была минимальной, т.е. чтобы выполнялось условие:

Точечные оценки параметров генеральной совокупности и их основные свойства. - student2.ru .

Оценка, обладающая свойством, называется эффективной, иначе, если при заданном объеме выборки имеет наименьшую дисперсию.

Условия несмещенности, состоятельности и эффективности являются условиями доброкачественности оценки, что является необходимым при обработке статистических данных.

Наши рекомендации