Исследование знакопеременных рядов на абсолютную сходимость.

Проще всего исследовать знакопеременный числовой ряд на абсолютную сходимость. В этом случае берем знакоположительный ряд , составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, и применяем к нему подходящий достаточный признак сходимости из рассмотренных выше. Если ряд сходится, то исходный ряд является абсолютно сходящимся.

Пример.

Докажите, что знакопеременный числовой ряд абсолютно сходится.

Решение.

Соответствующих знакоположительный ряд будет иметь вид . Для него выполняется необходимое условие сходимости ряда, так как . Возьмем сходящийся знакоположительный ряд и воспользуемся вторым признаком сравнения: . Следовательно, ряд сходящийся, поэтому, исходный ряд сходится абсолютно.

К началу страницы

Расходимость знакопеременных рядов.

Если ряд расходится, то соответствующий знакопеременный ряд может, либо расходится, либо сходится условно.

Только признак Даламбера и радикальный признак Коши позволяют сделать вывод о расходимости знакопеременного ряда по расходимости ряда из модулей . Ряд также расходится, если не выполняется необходимое условие сходимости, то есть, если .

Пример.

Проверьте расходимость знакопеременного числового ряда .

Решение.

Модуль k-ого члена имеет вид . Исследуем ряд на сходимость по признаку Даламбера: . Следовательно, ряд расходится и можно утверждать, что исходный знакопеременный числовой ряд тоже расходится.

Пример.

Сходится ли знакочередующийся числовой ряд .

Решение.

Проверим выполнение необходимого условия сходимости числового ряда: .

Условие не выполняется, следовательно, ряд расходится. Предел был вычислен по правилу Лопиталя.

Осталось разобраться с условной сходимостью знакочередующихся рядов.

К началу страницы

Достаточные признаки условной сходимости числового ряда.

Признак Лейбница.

Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда монотонно убывают и предел модуля общего члена ряда равен нулю при , то ряд сходится.

Пример.

Определите характер сходимости знакочередующегося числового ряда .

Решение.

Ряд из абсолютных величин членов имеет вид . Для него выполняется необходимое условие сходимости . Возьмем гармонический ряд и воспользуемся вторым признаком сравнения:

Таким образом, ряд из модулей - расходящийся.

В свою очередь, знакочередующийся ряд сходится, так как выполняются условия признака Лейбница: последовательность монотонно убывает и .

Следовательно, исходный ряд условно сходящийся.

К началу страницы

Признак Абеля-Дирихле.

Числовой ряд сходится условно, если последовательность является невозрастающей и бесконечно малой, а последовательность частичных сумм числового ряда ограничена.

Пример.

Исследуйте числовой ряд на сходимость.

Решение.

Представим числовой ряд в виде

где - невозрастающая и бесконечно малая, а последовательность имеет ограниченную последовательность частичных сумм . Следовательно, условия признака Абеля-Дирихле выполнены и ряд условно сходится.

Признак Лейбница является частным случаем признака Абеля-Дирихле при или .