Элементы комбинаторики (перестановки, сочетания, размещения).

Элементы комбинаторики (перестановки, сочетания, размещения).

Комбинациями наз-ся любые подмножества этого множества. Перестановкаминаз-ся комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающихся только порядком их расположения. - количество перестановок из п различных элементов. Сочетаниямииз п элементов по k элементов называются комбинации, содержащие k элементов из данных п элементов, которые отличаются только составом элементов.

Размещениямииз п элементов по k элементов называются комбинации, содержащие k элементов из данных п элементов, отличающиеся друг от друга либо самими элементами, либо их порядком.

Что называется испытанием, событием? Примеры.

Испытание-выполнение совокупности некоторых условий. Событие-результат испытания(А, В, С;А₁, А_2....). Пример: S-посадили 5 саженцев, А- прижились 5 саженцев, В-прижилось не менее 4 саженцев и т.д.

3.Три вида событий (невозможные, достоверные, случайные). Определения и примеры.

Невозможные-при S испытаниях заведомо не произойдёт. S: в урне 5 б. ш. Наудачу берут 1 шар. В-шар ч. В-невозм соб. Достоверные-события,к-ые при S обяз произ-т. S: в урне 5 б ш. Достают наудачу 1 шар. А-б ш.-достоверное соб-е. Случайные-при S могут произ-ти, могут и не произ-ти. S:в урне 5 б. и 3 ч. Наудачу выбирают 1 шар. А-ш б.

4.Виды случайных событий (совместные – несовместные, равновозможные – неравновозможные, полная группа событий, противоположные события, элементарные и сложные события). Определения и примеры.События А и В наз-ся несовместными, если в рез-те 1го испытания они не появиться вместе не могут. Пр. S:монету подбрасывают 1 раз

А-выпал орёл, В-вапала решка. А и В-несовметсные.

События наз-ся совместными,если в рез-те испытания они могут появиться вместе.Пр.S:посадили 2 саженца, А-прижились 2 саженца, В-прижилось не мене 1 саженца.Соб А и В-совместные.

События называют равновозможными, если имеются основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие(не реже и не чаще других).Пр.появление двойки, туза и валета при вынимании карты из колоды, выпадение любого из чисел от 1 до 6 при бросании игральной кости и т.п.

Неравновозможные события: выпадение числа очков больше 1, между 4 и 6, равного 2 при подбрасывании кубика.

События А₁,А₂,… ,А_n обр-ют полную группупопарно несовместных событий, если в рез-те испытания обяз-но наступит одно из этих событий. События А₁,А₂,… ,А_n обр-ют полную группусобытий, если в рез-те испытания обяз-но произойдёт хотя бы одно из этих событий.Пр. S:посадили 5 саж. А-ни один саж не прижился. В-хотя бы один саженец прижился-полная группа несовместных событий.Противоположные соб-я-события А и А наз-ся против-ми, если выполнены 2 условия:1. А и А-несовместные.2. А и А-образуют поную группу событий.Пр.S:из колоды 36 карт наудачу достают 4 карты. А-хотя бы 1 карта туз. А-ни одного туза. Конкретный результат испытания называется элементарным событием. В результате испытания происходят только элементарные события. Совокупность элементарных событий это пространство элементарных событий. Сложным событием называется произвольное подмножество пространстваэлементарных событий.Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когдав результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащеесложному.Таким образом, если в результате испытания может произойти только одноэлементарное событие, то в результате испытания происходят все сложныесобытия, в состав которых входят эти элементарные.Например: испытание - подбрасывание кубика. Элементарное событие - выпадениеграни с номером “1”. Сложное событие - выпадение нечетной грани.Введем следующие обозначения:А - событие;w - элементы пространства W;W - пространство элементарных событий;U - пространство элементарных событий как достоверное событие;V - невозможное событие.Иногда для удобства элементарные события будем обозначать E­_i, Q_i.

5.Классическое определение вероятности события. Основное свойство вероятности (доказать). Пр. В урне 5 б. и 3 ч. Шара. Наудачу берут 1 шар. А-б ш. В- ч ш. Понятно. Что шансы изылечь б ш больше, чем ч ш. Для коллочественной оценки шансов наступления события вводят вер-ть Р(А) по фор-ле: Р(А)=m/n-класс-ое опред-е вер-ти события. m-число благоприятствующих условий, n-общее число равновозможных исходов.

0≤m≤n /n

0/n≤m/n≤n/n

0≤Р(А)≤1если событие -(U) достоверное соб-е=>Р(U)=1, А-случ соб-е =>0<P(A)<1.

6.Недостатки классического определения вероятности события. Статистическое и геометрическое определение вероятности события.

Недостаток в том,что оно применимо только к пространствам элементарных исходов, состоящихиз конечного числа равновозможных исходов. Р(А)≈W(A)-стат опред вер-ти соб-я, W(A)=M/N-относит частота соб-я А.

Р(А)=l/L=v/V=s/S-геом опред-е вер-ти.

!7. Связь и различие между классическим и статистическим определениями вероятности события.

W(A)=M/N-пусть соб-е А наступит М раз в И испытаниях. . При увеличении числа опытов N частость приближается к , поэтому на практике считают Р(А)≈W(A)= M/N

8.Произведение событий. Вероятность произведения событий (вывод).

9.Сумма событий. Вероятность суммы (вывод).

10.Вероятность противоположного события (вывод).

А+А=U-достоверное событие

Р(А+А)=Р(U)

Р(А)+Р(А) =Р(U)=1

Р(А)≡р, Р(А) ≡q

P+q=1, q=1-p-вер-ть

против-го события.

11. Вероятность появления хотя бы одного события (вывод).

Элементы комбинаторики (перестановки, сочетания, размещения).

Комбинациями наз-ся любые подмножества этого множества. Перестановкаминаз-ся комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающихся только порядком их расположения. - количество перестановок из п различных элементов. Сочетаниямииз п элементов по k элементов называются комбинации, содержащие k элементов из данных п элементов, которые отличаются только составом элементов.

Размещениямииз п элементов по k элементов называются комбинации, содержащие k элементов из данных п элементов, отличающиеся друг от друга либо самими элементами, либо их порядком.

Что называется испытанием, событием? Примеры.

Испытание-выполнение совокупности некоторых условий. Событие-результат испытания(А, В, С;А₁, А_2....). Пример: S-посадили 5 саженцев, А- прижились 5 саженцев, В-прижилось не менее 4 саженцев и т.д.

3.Три вида событий (невозможные, достоверные, случайные). Определения и примеры.

Невозможные-при S испытаниях заведомо не произойдёт. S: в урне 5 б. ш. Наудачу берут 1 шар. В-шар ч. В-невозм соб. Достоверные-события,к-ые при S обяз произ-т. S: в урне 5 б ш. Достают наудачу 1 шар. А-б ш.-достоверное соб-е. Случайные-при S могут произ-ти, могут и не произ-ти. S:в урне 5 б. и 3 ч. Наудачу выбирают 1 шар. А-ш б.

4.Виды случайных событий (совместные – несовместные, равновозможные – неравновозможные, полная группа событий, противоположные события, элементарные и сложные события). Определения и примеры.События А и В наз-ся несовместными, если в рез-те 1го испытания они не появиться вместе не могут. Пр. S:монету подбрасывают 1 раз

А-выпал орёл, В-вапала решка. А и В-несовметсные.

События наз-ся совместными,если в рез-те испытания они могут появиться вместе.Пр.S:посадили 2 саженца, А-прижились 2 саженца, В-прижилось не мене 1 саженца.Соб А и В-совместные.

События называют равновозможными, если имеются основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие(не реже и не чаще других).Пр.появление двойки, туза и валета при вынимании карты из колоды, выпадение любого из чисел от 1 до 6 при бросании игральной кости и т.п.

Неравновозможные события: выпадение числа очков больше 1, между 4 и 6, равного 2 при подбрасывании кубика.

События А₁,А₂,… ,А_n обр-ют полную группупопарно несовместных событий, если в рез-те испытания обяз-но наступит одно из этих событий. События А₁,А₂,… ,А_n обр-ют полную группусобытий, если в рез-те испытания обяз-но произойдёт хотя бы одно из этих событий.Пр. S:посадили 5 саж. А-ни один саж не прижился. В-хотя бы один саженец прижился-полная группа несовместных событий.Противоположные соб-я-события А и А наз-ся против-ми, если выполнены 2 условия:1. А и А-несовместные.2. А и А-образуют поную группу событий.Пр.S:из колоды 36 карт наудачу достают 4 карты. А-хотя бы 1 карта туз. А-ни одного туза. Конкретный результат испытания называется элементарным событием. В результате испытания происходят только элементарные события. Совокупность элементарных событий это пространство элементарных событий. Сложным событием называется произвольное подмножество пространстваэлементарных событий.Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когдав результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащеесложному.Таким образом, если в результате испытания может произойти только одноэлементарное событие, то в результате испытания происходят все сложныесобытия, в состав которых входят эти элементарные.Например: испытание - подбрасывание кубика. Элементарное событие - выпадениеграни с номером “1”. Сложное событие - выпадение нечетной грани.Введем следующие обозначения:А - событие;w - элементы пространства W;W - пространство элементарных событий;U - пространство элементарных событий как достоверное событие;V - невозможное событие.Иногда для удобства элементарные события будем обозначать E­_i, Q_i.

5.Классическое определение вероятности события. Основное свойство вероятности (доказать). Пр. В урне 5 б. и 3 ч. Шара. Наудачу берут 1 шар. А-б ш. В- ч ш. Понятно. Что шансы изылечь б ш больше, чем ч ш. Для коллочественной оценки шансов наступления события вводят вер-ть Р(А) по фор-ле: Р(А)=m/n-класс-ое опред-е вер-ти события. m-число благоприятствующих условий, n-общее число равновозможных исходов.

0≤m≤n /n

0/n≤m/n≤n/n

0≤Р(А)≤1если событие -(U) достоверное соб-е=>Р(U)=1, А-случ соб-е =>0<P(A)<1.

6.Недостатки классического определения вероятности события. Статистическое и геометрическое определение вероятности события.

Недостаток в том,что оно применимо только к пространствам элементарных исходов, состоящихиз конечного числа равновозможных исходов. Р(А)≈W(A)-стат опред вер-ти соб-я, W(A)=M/N-относит частота соб-я А.

Р(А)=l/L=v/V=s/S-геом опред-е вер-ти.

!7. Связь и различие между классическим и статистическим определениями вероятности события.

W(A)=M/N-пусть соб-е А наступит М раз в И испытаниях. . При увеличении числа опытов N частость приближается к , поэтому на практике считают Р(А)≈W(A)= M/N

8.Произведение событий. Вероятность произведения событий (вывод).

9.Сумма событий. Вероятность суммы (вывод).

10.Вероятность противоположного события (вывод).

А+А=U-достоверное событие

Р(А+А)=Р(U)

Р(А)+Р(А) =Р(U)=1

Р(А)≡р, Р(А) ≡q

P+q=1, q=1-p-вер-ть

против-го события.

11. Вероятность появления хотя бы одного события (вывод).