Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания

Пример: Пусть в распоряжении конструктора имеется четыре взаимозаменяемых блока (элемента): Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru . Конструктивный узел состоит из трех блоков. Требуется найти множество конструктивных схем узла, отличающихся между собой как составом блоков, так и порядком их следования.

Упорядоченные наборы, состоящие из Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru элементов (подмножества), взятых из множества Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru элементов Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru , отличающиеся хотя бы одним элементом (составом) и порядком их следования (расположением) называются размещениями (Arrangement) , а их количество обозначается в виде Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru − число размещений из Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru элементов по Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru . Искомые упорядоченные наборы − конструктивные схемы, удобно находить с помощью следующих цепных диаграмм

Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru Откуда непосредственно находится искомое множество конструктивных схем узла и их количество Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru как число размещений из Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru по Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru :

Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru

или

Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru

т.е.

Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru .

Методом математической индукции легко получить общую формулу

Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru .

В частном случае, когда Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru , упорядоченные наборы (подмножества) отличаются между собой лишь порядком следования элементов − их расположением в наборе. Состав элементов в наборе − неизменен. Такие упорядоченные соединения элементов в группы называются перестановками (Permutation) и их количество обозначается в виде Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru − число перестановок из Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru элементов. Очевидно, что

Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru , или Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru , т.е. Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru .

Упорядоченные наборы, состоящие из Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru элементов, взятых из Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru элементов Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru , отличающиеся между собой лишь составом (хотя бы одним элементом), а порядок следования элементов − произволен (несущественен), называются сочетаниями (Combination), а их количество обозначается в виде Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru − число сочетаний из Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru элементов по Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru .

Так как размещения включают перестановки и сочетания, то очевидно

Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru .

Действительно, из приведенной диаграммы нетрудно найти группы элементов, образующих сочетания из четырех по три, т.е. Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru .

Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru

Производя перестановки трех элементов Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru в каждом из этих сочетаний Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru , получим все размещения Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru , приведенные на диаграмме в виде матрицы состояний, где количество строк определяется числом перестановок, а количество столбцов − числом сочетаний:

Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru

т.е. Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru .

Откуда следует формула для числа сочетаний:

Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru

или в развернутом виде:

Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru .

Учитывая, что Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru , искомым формулам можно придать лаконичный вид:

Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru , Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru .

Пример: В ящике Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru деталей, из них Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru дефектных. Наудачу извлечены

Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru деталей. Найти вероятность того, что все извлеченные детали качественны.

Решение: Общее число возможных элементарных исходов: Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru . Число элементарных исходов, благоприятствующих появлению искомого случайного события Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ruЭлементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru извлеченных деталей качественны: Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru .

Тогда

Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru .

Пример: В ящике находится семь блоков, обозначенные Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru , Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru , Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru , Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru , Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru , Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru , Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru , из которых в определенной очередности собирается узел. Известно, что блоки Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru и Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru , а также Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru и Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru − взаимозаменяемые. С учетом взаимозаменяемости, номерам блоков присвоены буквы следующим образом: Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru , Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru , Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru , Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru , Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru , Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru , Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru . Узел будет правильно функционировать (правильно собран), если блоки последовательно разместить в очередности, имеющей закодированное слово «бабушка». Найти вероятность того, что наудачу извлеченные блоки расположатся в порядке, при котором узел будет собран правильно, т.е. в результате испытания составится последовательность букв, имеющих смысл − «бабушка».

Решение: Общее число возможных элементарных исходов: Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru , т.е. 5040. исходы благоприятствующих появлению искомого слова следующие:

Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru

Таким образом

Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания - student2.ru .

Наши рекомендации