На рисунке — и два постоянных неизменных вектора

,

, лежащих на оси квантования.

.

Кубитной модели элементарного сознания может еще помочь теория квантовых вычислений. Сейчас уже определен набор основных логических операций, с помощью которых можно реализовать любые квантовые вычисления. Умение выполнять эти операции делает квантовый компьютер «разумным». Это те операции над кубитами, которые позволяют квантовому компьютеру выполнять «осмысленные» действия, в частности, использовать запутанные состояния для выполнения вычислений. По сути, все логические операции сводятся к вращению вектора состояния кубита, его движению по сфере Блоха. То есть для того, чтобы наше элементарное сознание (наш кубит) стал «умным», он должен уметь выполнять несколько основных логических операций, с помощью которых можно реализовать любую последовательность «рассуждений». Поскольку сознание ранее было определено как способность воплощать допустимые состояния, кубит будет считаться «разумным», обладающим элементарным сознанием, если он в состоянии реализовать последовательности основных логических операций (может вращать по своему усмотрению вектор состояния по сфере Блоха).

Более подробное рассмотрение основного разложения матрицы плотности целесообразно начать с самого простого случая двухуровневой системы (кубита). Напомню также, что все матрицы плотности — эрмитовы.

В матричном анализе доказывается утверждение, что всякую эрмитову матрицу 2 × 2 можно однозначно записать в виде вещественной линейной комбинации единичной матрицы и трех матриц с нулевым следом, так называемых матриц Паули, в частности, любая матрица плотности 2 × 2 представляется в виде:

ρ = 1/2 (Е + ασ_x + βσ_y + γσ_z ),

где Е — единичная матрица, α, β, γ — вещественные числа, а σ_x , σ_y и σ_z — матрицы Паули [см. (3.12)]. Мы уже пользовались такой формой записи в выражении (3.11).

Этот результат для матриц 2 × 2 является частным случаем хорошо известного в квантовой теории общего утверждения, что любая матрица плотности произвольной размерности может быть записана в виде[98]:

ρ _ε = (1 — ε) M_d + ερ ₁, (3.14)

где d = 2^N — размерность гильбертова пространства системы, состоящей из N подсистем; M_d = 1 _d/d — максимально смешанное состояние (нормализованная единичная матрица плотности, след которой равен 1); 1 _d — единичная матрица размерностью d; ρ ₁ — произвольная матрица плотности; ε — вещественный параметр (0 ≤ ε ≤ 1).

В форме (3.14) часто анализируют псевдочистые состояния[99], когда ρ ₁ = |ψñáψ|.

ρ _ε = (1 — ε)M_d + ε|ψñáψ|.

Выражение (3.14) можно переписать в виде:

ρ _ε = M_d + ε(ρ ₁ — M_d ). (3.15)

То есть любая матрица плотности может быть представлена в виде суммы матрицы максимально смешанного состояния M_d (с единичным следом) и матрицы с нулевым следом (ρ ₁ — M_d ), напомню, что след у ρ ₁ тоже равен единице.

Таким образом, состояние произвольной системы имеет двуединую природу, содержит в своей структуре две качественно различные составляющие: одна часть неизменная, вечная (максимально смешанное состояние), и вторая часть динамическая (если система динамическая, параметр ε может быть, например, функцией времени).

Рассмотрим более детально, что такое максимально смешанное состояние. Наверное, это будет легче понять на примере кубита. Только для начала мы запишем вектор состояния кубита |ψñ = a |0ñ + b |1ñ в виде нужной матрицы плотности. Этот вектор состояния зависит от четырех вещественных параметров (a и b — комплексные числа). Число параметров можно уменьшить до двух, воспользовавшись двумя дополнительными условиями, налагаемыми на вектор состояния, — условием нормировки |a |²+ |b |²= 1 и одним из постулатов квантовой механики, согласно которому состояния не меняются, если их умножить на фазовый множитель exp(±iφ ). То есть, например, состояния |0ñ и exp(iφ ) |0ñ тождественны. Это следствие того факта, что модуль комплексной экспоненты равен единице.

Следовательно, необходимы лишь два независимых вещественных параметра, чтобы однозначно задать вектор состояния кубита. Обычно в качестве таких параметров выбирают два угла θ и φ , которые однозначно определяют точку на сфере Блоха (см. рис. 1). В этом случае

a = exp(—iφ /2) cos(θ /2)

b = exp(iφ /2) sin(θ /2),

а вектор состояния записывается в виде:

|ψñ = exp(—iφ /2)cos(θ /2) |0ñ + exp(iφ /2)sin(θ /2) |1ñ. (3.16)

Матрица плотности ρ тогда равна сумме двух матриц ρ ₁ и ρ ₂:

. (3.17)

Нам еще пригодится вектор состояния

|ψñ = cos(θ /2) |0ñ+sin(θ /2) |1ñ, (3.18)

и соответствующая ему матрица плотности:

. (3.19)

Можно заметить, что (3.16) получается из (3.18) унитарным преобразованием

,

то есть чистым вращением вектора состояния (3.18), которое характеризуется параметром φ . Несложно определить, в чем состоит физическое отличие векторов состояния (3.16) и (3.18). Они связаны соотношением |ψñ^rot = U |ψñ, которое означает переход между неподвижной и вращающейся системой координат. То есть вектор (3.18)мы записали для внутреннего состояния системы — он описывает то, что происходит с точки зрения самой системы. Система «чувствует», что она переходит из одного состояния в другое, и никаких других изменений для нее не существует. Это вид «изнутри» системы. В этом случае ее вектор состояния характеризуется лишь одним вещественным параметром θ . Можно предположить, что это собственное внутреннее время системы, то есть параметр, с которым меняется ее внутреннее состояние.

А состояние (3.16) описывает эволюцию системы в лабораторной (неподвижной) системе координат, связанной с внешним наблюдателем. Это вид «снаружи». Можно пояснить данный момент еще следующим образом. При эволюции системы вектор состояния при любом его положении остается для самой системы осью квантования. Но для внешнего наблюдателя, со своей системой отсчета и выбранной уже им осью квантования (обычно за нее принимают ось Z ), вектор состояния будет перемещаться по сфере Блоха и поворачиваться на угол φ.

Максимально смешанное состояние [первая матрица в правой части выражений (3.17) или (3.19)] определяет две важные характеристики системы. Во-первых — центр сферы Блоха, то есть точку, равную сумме диаметрально противоположных точек, в которых вектор состояния «протыкает» сферу Блоха в любом из своих положений[100], — это ядро, центр системы, из которого выходит сам вектор состояния. Во-вторых, максимально смешанное состояние задает ось квантования, поскольку составляет на этой оси постоянный и неизменный отрезок между двумя (для кубита) точками. Переходя в систему отсчета, связанную с вектором состояния (во вращающуюся систему координат), этот вектор становится осью внутреннего мира системы, на которую с равной вероятностью, с равной возможностью реализации «нанизаны» все допустимые состояния системы. В нашем простейшем случае это два допустимых состояния, которые всегда остаются в распоряжении системы, в каком бы положении ни находился вектор состояния. Но они существуют только как потенциальные возможности, а конкретная реализация той или иной альтернативы зависит уже от динамической части матрицы плотности.

Если рассматривать кубит в качестве элементарного сознания, то его внутреннюю «ось мира», то есть матрицу плотности

, (3.20)

можно назвать простейшей духовной монадой элементарного сознания, поскольку это «неуничтожимая» часть сознания.

Замечу, что ядром духовной структуры, монадой, может «наделить» только система, находящаяся в пространстве состояний большей размерности. Так, матрица плотности (3.20) получается, если мы берем частичный след [см. выражение (3.5)] по одной из подсистем максимально запутанного двусоставного чистого состояния (любого из четырех так называемых белловских состояний). Можно сказать, что подсистемы получают «дары Духа», набор своих допустимых состояний, от большей системы, частью которой они являются. Подсистемы «по образу и подобию» исходной системы наделяются допустимыми состояниями в пространстве состояний меньшей размерности.

Или, если сказать несколько иначе, матрица плотности (3.20) не является чистым состоянием, она не способна существовать в виде замкнутой системы, а может быть только частью большой системы, причем находиться с этой системой в нелокальном максимально запутанном состоянии.

Стоит отметить, что любое чистое состояние всегда имеет только одно ненулевое собственное значение, равное единице. Ни одна замкнутая система не может иметь других собственных значений, и единица здесь означает само существование системы как Единицы.

В этом отношении собственное значение, равное минус единице — нечто неприемлемое, «мерзкое» для системы. Это отрицание ее духовной сути, это посягательство на самое ценное — духовное ядро системы, на пространство ее возможных состояний. Да и не может замкнутая система, как единое целое, иметь отрицательное собственное значение — как было оно положительной Единицей, так и останется. А вот для структурных частей системы такая возможность появляется. Динамическая часть матрицы плотности (3.19), то есть матрица

, (3.21)

характеризуется именно этим свойством, она имеет два собственных значения: +1 и —1.

Наличие двух собственных значений, одно из которых равно минус единице, означает, что матрица описывает состояние, которое имеет двойственную природу, единство и борьбу противоположностей, поскольку отрицательное собственное значение — это не просто что-то плохое, негативное, а абсолютная противоположность, несовместимость с исходным состоянием, его полное отрицание. Таким образом, по поводу сознания, о котором мы ведем речь, можно сказать, что формирование материальной оболочки системы сопровождается появлением двух нравственных начал, лежащих в основе тварного мира — добра и зла.

Что такое «зло», можно попытаться понять на более простом примере. Предположим, у нас есть чисто классическое стационарное состояние, описываемое вектором |ψñ = |0ñ. Ему соответствует матрица плотности

,

которая, как и все остальные, может быть представлена в виде суммы матрицы, пропорциональной единичной, и матрицы с нулевым следом:

.

Одно из собственных значений второй матрицы, равное минус единице, «уничтожает» одно из допустимых состояний «ядра» системы. При этом как бы обедняется «душа» системы, часть ее — в данном случае половина — уничтожается, а вторая половина «огрубляется» до материального, «телесного», классического состояния. Если бы в последней матрице было два таких отрицательных собственных значения, то получился бы тождественный нуль, исходное состояние вообще перестало бы существовать, системы бы просто не было как таковой.

В матрице (3.21) собственные значения (+1 и —1) периодически меняются местами, то есть периодически «уничтожается» то или другое потенциальное состояние «ядра» системы, а второе — переходит в классическое «тварное» состояние.

Декогеренция на сфере Блоха

Сфера Блоха позволяет более наглядно представить, каким образом наш материальный мир оказывается «вложенным» во всеохватывающую квантовую реальность и то, как объясняет современная физика процесс возникновения классической реальности в результате декогеренции.

Войцех Зурек в своей статье[101]иллюстрирует этот момент следующим образом (см. рис. 3 в статье и поясняющий текст).

Рис. 3. Схематическое представление эффекта декогеренции на сфере Блоха (Fig. 3 из статьи В. Зурека)

Пусть наша система принимает два возможных значения (положения) — «вверх» и «вниз» вдоль вертикальной оси Z . Точки на этой оси в пределах сферы — совокупность классических состояний, которые могут быть проявлены в результате декогеренции. Это «классический домен», который составляет небольшую часть из всех возможных состояний системы. Вся остальная часть объема сферы Блоха — это квантовый домен.

Весь классический мир, со всей своей материей, веществом и физическими полями — всего лишь одна малюсенькая и совсем незначительная точка на оси Z . Все, что многие считают основой мироздания и единственно существующей объективной реальностью, в квантовой теории — всего лишь проекция, «бледная тень», падающая от вектора состояния на ось квантования при эволюции более сложной совокупной квантовой реальности, при повороте вектора состояния и его движении по поверхности сферы Блоха.

Точки на поверхности сферы соответствуют чистому состоянию (замкнутой системе). В этом случае, поскольку взаимодействия с окружением нет, конкретное положение точки будет определяться только внутренними характеристиками системы. И здесь возможны два качественно различных результата, соответствующих точкам полюса и остальным точкам сферы. Точки полюса — там, где вертикальная ось классического домена «протыкает» сферу Блоха, — две единственные точки из всей совокупности точек сферы, которые соответствуют классическому состоянию системы, остальные точки отвечают квантовым состояниям.

Точки полюса — это чистые классические состояния. Если система находится в одном из этих состояний — значит, она не взаимодействует с окружением, несмотря на то что она классическая. Если рядом находится еще одна система в таком же состоянии, то совокупная система из этих двух уже подсистем будет сепарабельной (разделимой), и в любой момент ее можно без проблем разложить на две независимые части и рассматривать каждую из них по отдельности.

Замечу, что только для точек полюса есть классический локальный объект — во всех остальных случаях (для других точек сферы) физическая система как локальный объект не существует, это состояния чисто квантовые (информационные). Такие системы можно объединять с другими, находящимися в таком же состоянии, и опять совокупная система будет находиться в сепарабельном состоянии. Подсистемы, несмотря на то что они нелокальные, не будут запутываться друг с другом. Для этого необходимо наличие взаимодействия между ними, а подсистемы находятся в чистом состоянии (они замкнутые).

Из нелокальных чистых состояний можно выделить те, что соответствуют точкам экватора. Эти состояния в некотором отношении противоположны локальным состояниям «на полюсе». Чтобы немного прояснить этот момент, вспомним, что состояние замкнутой системы определяется ее внутренними процессами. И внутренняя эволюция любой многосоставной системы будет, по аналогии с простейшим случаем, соответствовать движению конечной точки вектора состояния по поверхности многомерной сферы. Для простоты можно положить, что точка движется вдоль меридиана — от одного полюса к другому, проходя через экватор. При этом на полюсах вся система в целом имеет определенное макросостояние («вверх» или «вниз»), которое постепенно «размывается изнутри». А на экваторе система приходит в состояние ни «вверх», ни «вниз» (вероятность обоих состояний одинакова, имеет место когерентная суперпозиция состояний), то есть все внутренние части системы находятся в максимально запутанном нелокальном состоянии. При приближении точки, например, к верхнему полюсу, система вновь начинает приобретать определенное макросостояние. Запутанность между ее подсистемами уменьшается, они постепенно локализуются (вероятность макросостояния «вниз» снижается), и на полюсе все подсистемы становятся замкнутыми, а система в целом переходит в макросостояние «вверх».

Это наглядное геометрическое представление способно пояснить такое понятие из индуизма, как «сутки Брахмы». Движение от полюса к экватору — Пралайя — это период растворения классической реальности (переход в нелокальное состояние). Манвантара — период проявления локальных объектов — движение от экватора к полюсу.

Мы рассмотрели случай замкнутой системы (чистого состояния), когда точка, соответствующая лучу двумерного гильбертова пространства, движется по поверхности сферы единичного радиуса в обычном Евклидовом пространстве.

Что будет происходить, когда открытая система взаимодействует с окружением? Открытая система описывается матрицей плотности, и наша точка «уходит» со сферы, смещаясь во внутреннюю часть шара. Насколько глубоко она зайдет «внутрь», зависит от интенсивности взаимодействия. Вместо сферы чистого состояния мы получаем некий эллипсоид — типа «кокона» или «яйца».

Вначале рассмотрим одиночный случай взаимодействия (измерения) с внешним классическим измерительным прибором (наблюдателем). В этом случае точка смещается в плоскости, перпендикулярной оси Z и оказывается на самой оси, попадая на классический домен (см. рис. 3). Классический прибор (наблюдатель) фиксирует одно из возможных значений («вверх» или «вниз») с соответствующей вероятностью в зависимости от того, где находилась точка, через которую проведена плоскость сечения. Это предельный случай декогеренции.

Данный пример дает возможность наглядно представить и более общий процесс декогеренции. Если внешний наблюдатель уже не классический (менее «плотный») и взаимодействует с меньшей интенсивностью, то наша точка не доходит до оси Z и остается в некотором промежуточном положении, которое зависит от интенсивности взаимодействия (плотности энергии «наблюдателя»). Чем слабее внешнее воздействие, тем меньше точка смещается к оси Z от первоначального ее положения на поверхности сферы.

Точнее говоря, точки при этом не остаются неподвижными — они вращаются вокруг оси Z с частотами, которые определяются разностью между собственными значениями гамильтониана взаимодействия.

Если внешних наблюдателей много (окружение), и они имеют различную «плотность» (различаются по энергии взаимодействия), то все они совместными усилиями в результате декогеренции смещают точку на разные расстояния. Все эти смещенные точки, вращаясь, «вырисовывают» на сфере Блоха диск. Это своеобразная «плоскость восприятия», в которой окружение «видит» данный объект, и, следовательно, сам объект «видит» окружение на соответствующем уровне энергии.

Таким образом, классический домен (вся наша классическая реальность) — это точки на оси Z на рисунке 3, то есть он составляет незначительную часть совокупной квантовой реальности (квантового домена). При этом любой проявленный (декогерированный) классический объект материального мира (точка на оси Z ) окружен квантовым ореолом или «квантовым гало», как результат частичной и неполной декогеренции. Чем дальше от оси, тем больше квантовая нелокальность, тем слабее «проявленность» объекта.

Зурек пишет, что строгий запрет на существование таких состояний снимается. Можно количественно измерять степень неклассичности состояний, определяя их расстояния от классического домена. Классические проявленные состояния будут тогда окружены «квантовым гало», и его необычные квантовые свойства (типа «шредингеровского кота») будут возрастать при удалении от оси Z к поверхности сферы.

По словам Зурека, такой простой пример декогеренции на сфере Блоха позволяет геометрически наглядно представить три основных момента декогеренции. На схеме можно увидеть:

(i) классические чистые состояния (два состояния «вверх» и «вниз» в нашем случае) — точки полюсов;

(ii) классический домен, состоящий из всех целевых состояний и их смесей, на рисунке это отрезок [—1, +1] на оси Z ;

(iii) квантовый домен — остальная часть объема сферы Блоха, который соответствует матрицам плотности более общего вида.

Наглядное представление декомпозиции гильбертова пространства, вызываемой декогеренцией, возможно только в данном простом случае. Но и в общем случае, говорит Зурек, когда декогеренция ведет к классичности, это «проявление» имеет сходные черты, и ожидается выполнение пунктов, подобных пунктам (i) — (iii).

Теперь подытожим вышесказанное и попытаемся более четко сформулировать основные выводы, которые следуют из квантовой теории в отношении Реальности.

Понять, что происходит при эволюции Универсума, помогают общие фундаментальные принципы квантовой теории и простые геометрические модели типа сферы Блоха. Из условия изолированности Универсума сразу же следует вывод о его нелокальности и когерентном состоянии, отсюда и название — «нелокальный источник реальности». На сфере Блоха это видно наглядно — все точки на поверхности шара (то есть на сфере), которые соответствуют замкнутой системе, являются нелокальными состояниями (с разной мерой запутанности между внутренними составными частями системы — отсюда различные классические вероятности). Максимальная запутанность (полная внутренняя нелокальность) — это точки экватора на сфере Блоха.

Замкнутая система может быть полностью локальна только в двух точках на сфере — точках полюса, но в них система сепарабельна — взаимодействия между ее подсистемами нет. Таким образом, если есть взаимодействие между составными частями замкнутой системы — она всегда будет нелокальна, а ее подсистемы будут квантово запутаны между собой. Этот вывод в той или иной формулировке часто встречается в научных публикациях, и ранее я приводил соответствующие цитаты (см. главу 2, раздел 2.5): в случае чистых состояний любые корреляции являются квантовыми — и это строгий результат, следующий из основ квантовой теории. Такое состояние Универсума я иногда называю ЧЗСУ (чистое запутанное состояние Универсума).

Весь Мир в своей совокупности (ЧЗСУ) нелокален — это Пустота, его количественную характеристику можно описать только в терминах квантовой информации (кроме нее, в этом состоянии ничего нет). Никакие физические величины здесь не помогут: в данном состоянии нет ни частиц, ни физических полей и т. д. Пустота здесь своеобразная — это не вакуум, или пустое место, которое занимает некоторый объем. Нет самого объема, нет даже пространства-времени как неких внешних, якобы абсолютных категорий Бытия. Все эти привычные для нас физические представления существуют только в классическом домене (на оси Z ) и имеют смысл лишь с точки зрения подсистем, взаимодействие которых сопровождается декогеренцией. Причем классическая реальность и материальный мир могут полностью «раствориться». Если вектор состояния Универсума находится на экваторе сферы Блоха, то он проецируется в нуль, в точку начала координат. Это значит, что в этом состоянии материального мира вообще не существует — есть одна только «первичная информация». При движении вектора от экватора к полюсу классический мир возникает как бы «из ничего» — для классических объектов это будет выглядеть, как переход через точку сингулярности, они возникают «из небытия».

Квантовая теория красиво решает проблему «запредельных» состояний Вселенной в известной концепции Большого Взрыва, когда встает вопрос о том, что же было с материей до этого момента. Над ним давно ломают голову классические физики, пытающиеся представить, что было с реальностью до начала Большого Взрыва, в досингулярном состоянии Вселенной. В квантовой теории такого вопроса не возникает — никаких «досингулярных» состояний просто нет, эволюция вектора состояния Универсума непрерывна. Я бы сказал, что ЧЗСУ — это состояние надсингулярное. Сингулярности возможны для подсистем: например, возникновение классической реальности будет являться сингулярностью с точки зрения классических тел, но для ЧЗСУ это будет лишь небольшое «шевеление» амплитуд в его векторе состояния.

Простой пример — двусоставная система (две подсистемы А и В ). Если взять ее вектор состояния в самом общем виде |Ψñ = a |00ñ + b |01ñ + c |10ñ + d |11ñ с обычным условием нормировки для амплитуд |a |² + |b |² + |c |² + |d |² = 1, то непрерывное изменение этих амплитуд (для наглядности их можно задать тригонометрическими функциями) будет приводить к сингулярностям с точки зрения подсистем. Подсистемы А и В будут периодически проявляться при взаимной декогеренции в локальном виде (как бы появляются объекты классической реальности) и «исчезать» (рекогеренция) в нелокальном состоянии. Когда одна из амплитуд равна единице (остальные нули), подсистемы будут иметь максимальную проявленность и не будут зависеть друг от друга. Затем они снова «растворяются» в нелокальном состоянии и полностью перестают существовать в виде локальных элементов, например, когда a = d = 1/√2 (b = c = 0) и квантовая запутанность при этом максимальна.

Как показал Вуттерс[102], в такой системе запутанность между подсистемами A и B отлична от нуля в любом случае, если нарушается равенство ad = bc и мера квантовой запутанности (в терминах concurrence , введенной, как я уже говорил, самим Вуттерсом, и сейчас наиболее широко используемой) равна С = 2 |ad — bc |.

В тот момент, когда подсистемы начинают локализовываться, то есть проявляются из нелокального состояния, для них это выглядит как переход через точку сингулярности, поскольку они возникают «из ничего». Для них это что-то типа «большого взрыва», нечто запредельное — если на ситуацию будет смотреть одна из подсистем и примется рассуждать, откуда она появилась в своем плотном состоянии. Подсистема никогда не сможет объяснить, откуда взялось ее локальное тварное тело и материальная оболочка, если она ничего не знает о наличии исходного нелокального состояния.

Примерно то же самое происходит в случае эволюции любой многосоставной системы, а также и самой большой из всех возможных систем — нелокального источника реальности.

Я бы еще сказал так: ЧЗСУ — источник всего сущего — при этом трансцендентен (запределен, потусторонен) для всего классического мира. Маленький (по размерности) вектор состояния классической реальности не имеет никакой возможности непосредственно «увидеть» большой вектор состояния ЧЗСУ — для классической реальности он трансцендентен. Более правильно говорить только о редуцированной матрице плотности классического домена. У него есть только одна возможность «почувствовать» существование ЧЗСУ — за счет наличия нелокальных квантовых корреляций, охватывающих все подсистемы.

Один из самых главных выводов, который следует из космологической концепции теории декогеренции, я бы сформулировал следующим образом: классический домен и весь наш материальный мир составляет незначительную часть объективной Реальности. Он как бы «погружен» во всеобъемлющий Квантовый Мир и «укутан» последовательными слоями все более тонких уровней с возрастающей мерой квантовой запутанности.

Глава 4