Колебательное движение. Характеристики колебаний.

Колебательными называются процессы, при которых параметры, характеризующие состояние колебательной системы, обладают определённой повторяемостью во времени. Такими процессами, например, могут являться суточные и годовые колебания температуры атмосферы и поверхности Земли, колебания маятников и т.д.

Если промежутки времени, через которые состояние системы повторяется, равны между собой, то колебания называются периодическими, а промежуток времени между двумя последовательными одинаковыми состояниями системы – периодом колебаний.

Для периодических колебаний функция, определяющая состояние колеблющейся системы, повторяется через период колебаний:

Среди периодических колебаний особое место занимают коле­бания гармонические, т.е. колебания, при которых характеристики движения системы изменяются по гармоническому закону, например: (308)

Наибольшее внимание, уделяемое в теории колебаний именно часто встречающимся на практике гармоническим процессам, объясняется как тем, что для них наиболее хорошо развит аналитический аппарат, так и тем, что любые периодические колебания (и не только периодические) могут быть рассмотрены в виде определённой комбинации гармонических составляющих. В силу этих причин далее будут рассмотрены преимущественно гармонические колебания. В аналитическом выражении гармонических колебаний (308) величина x отклонения материальной точки от положения равно­весия называется смещением.

Очевидно, что максимальное отклонение точки от положения равновесия равно a, эта величина называется амплитудой колебаний. Физическая величина, равная:

и определяющая состояние колеблющейся системы в данный момент вре­мени, называется фазой колебаний. Значение фазы в момент начала от счёта времени

называется начальной фазой колебаний. Величина w в выражении фазы колебаний, определяющая быстроту колебательного процесса, называется его круговой или циклической частотой колебаний.

Состояние движения при периодических колебаниях должно повторяться через промежутки времени, равные периоду колебаний T. При этом, очевидно, фаза колебаний должна изменятся на 2p (период гармонической функции), т.е.:

Отсюда следует, что период колебаний и циклическая частота связаны между собой соотношением:

(продолжение1) 43.Колебательное движение. Характеристики колебаний.

Скорость точки, закон движения которой определяется (301), также изменяется по гармоническому закону

(309)

Отметим, что смещение и скорость точки неодновременно обращаются в нуль или принимают максимальные значения, т.е. смешение и скорость отличаются по фазе.

Аналогично получаем, что ускорение точки равно:

(310)

Из выражения для ускорения видно, что оно смещено по фазе относительно смещения и скорости. Хотя смешение и ускорение одновременно проходят через нуль, в этот момент времени они имеют противоположные направления, т.е. смещены на p. Графики зависимостей смещения, скорости и ускорения от времени при гармонических колебаниях представлены условном масштабе на рис.81.

Рис.81

Рисю81

Циклическая частота колебаний и период определяются внутренними параметрами системы, а амплитуда колебаний и начальная фаза - начальными условиями; при этом под начальными условиями понимают значения смещения, и скорости материальной точки в момент начала отсчёта времени:

Из закона гармонического движения (308), пользуясь формулами тригонометрических преобразований, можно записать:

Обозначив и выражение закона движения можно представить в виде

(311)

Выражение (311) показывает, что гармоническое колебание с произвольной начальной фазой, отличной от нуля, можно представить в виде суммы двух гармонических колебаний с нулевыми начальными фазами, происходящих по законам синуса и косинуса, при соответствующем подборе амплитуд составляющих.

Начальные условия, как было отмечено выше, определяются значениями смещения и скорости в момент начала отсчёта времени

(312)

(продолжение 2)43.Колебательное движение. Характеристики колебаний.

Из начальных условий, представленных в виде (312), легко определяются значения амплитуды и начальной фазы колебаний:

(313)

Пояснить влияние начальных условий на характер последующих колебаний системы можно на двух простых частных примерах. В первом случае будем полагать, что в начальный момент времени тело (например, тело маятника) вывели из положения равновесия, сообщив ему отклонение А, и без толчка отпустили. Начальные условия для такого случая имеют вид:

Подставив значения начальных смещения и скорости в (313), получим:

Таким образом, при заданных начальных условиях колебания тела будут происходить без начальной фазы по закону косинуса с амплитудой, равной начальному отклонению тела от положения равновесия.

Если же, во втором случае, в исходный момент времени телу вположении равновесия (начальное отклонение отсутствует) толчком сообщили скорость, то начальные значения смещения и скорости равны . Подставив эти значения в (313) получаем: Следовательно, и в этом случае колебания происходят без начальной фазы (начальная фаза равна нулю), но на этот раз по закону синуса с амплитудой, равной .

Важными характеристиками колебательного движения являются их форма, периодичность и т.д. Эти характеристики, независимо от природы колебаний, присущи как колебаниям механическим, так и электрическим, тепловым. Что же касается причин, вызывающих и обусловливающих колебания, то они определяются природой колебательной системы. Далее будем рассматривать механические колебательные системы, например, колебания системы при выводе её из положения равновесия при наличии внутренних упругих взаимодействий. Такие колебания системы, выведенной из положения равновесия, я затем предоставленной самой себе, называются свободными. Характер свободных колебаний зависит от того, насколько большим будет сопротивление движению. Если таковым можно пренебречь, то колебания можно считать чисто гармоническими, с неизменной амплитудой, а при наличии трения амплитуда колебаний будет с течением времени уменьшаться по определённому закону, и колебания нельзя представить только гармонической функцией. В первом случае колебания обычно называют собственными, во втором - затухающими.

Собственные колебания

Основные особенности собственных колебаний рассмотрим на примере механической колебательной системы с одной степенью свободы, т.е. такой системы, положение которой можно в любой момент времени определять только одной координатой. Будем счи­тать, что размеры тела достаточно малы, чтобы его можно было рассматривать как материальную точку. Предположим, что при выводе тела из положения равновесия на него будут действовать силы, пропорциональные смещению и направленные противоположно этому смещению -kx. Как говорилось выше, трением, сопротивлением среды можно пренебречь. Внутренние же силы, величина и направление которых определяются смещением из положения равновесия, могут быть, например, силами упругости или силами другой природы, но изменяющимися так же, как и упругие . Такие силы, независимо от их природы, будем называть 'квазиупругими'. С учётом этих сил дифференциальное уравнение движения принимает вид

(314)

Решением дифференциального уравнения движения (314) имеет вид гармонической функции (315)

Строгое доказательство этого даёт теория дифференциальных уравнений, мы же легко можем убедиться в справедливости этого утверждения путём подстановки решения (315) в уравнение(314)

Как видно, равенство будет соблюдаться для любого момента времени, если:

Действительно, отношение можно представить в виде квадрата некоторой величины, поскольку масса тела, коэффициент упругости и, следовательно, само отношение положительны. Как коэффициент k , так и масса тела являются внутренними параметрами колебательной системы, поэтому циклическая частота колебаний w не зависит от начальных условий. От начальных условий зависит только амплитуда колебаний и начальная фаза, которые можно найти из начальных условий, как это было показано ранее. Скорость и ускорение тела при собственных колебаниях так­же изменяются по гармоническому закону:

Затухающие колебания.

Выясним теперь характер колебаний рассмотренной системы при наличии трения. При этом будем полагать, что силы трения пропорциональны скорости тела и противоположно ей направлены. Такими силами, например, являются силы вязкого трения при достаточно малых скоростях движения тела. Если тело выведено из положения равновесия на величину x и при этом имеет скорость , то на него будут действовать квазиупругая сила F=-kx и сила сопротивления движению , где, m - коэффициент сопротивления. По второму закону динамики напишем дифференциаль­ное уравнение движения

Введём обозначения и . C учётом этих обозначений дифференциальное уравнение принимает вид (316)

Строгое решение этого уравнения рассматривается в теории дифференциальных уравнений. Это же решение можно получить, исходя из следующих соображений. Во-первых, наличие квазиупругих сил свидетельствует о том, что в системе, выведенной из положения равновесия, должны возникнуть колебания. Во-вторых, наличие сил сопротивления движению приводит к тому, что энергия колебательной системы и, следовательно, амплитуда колебаний с течением времени должны уменьшаться, кроме того, сопротивление среды, тормозя движение тела, влияет на быстроту колебаний, т.е. циклическая частота колебаний может зависеть от сопротивления среды. Исходя из сказанного, решение уравнения (316) будем искать в виде (317)

Если выражение (317) действительно является решением уравнения (316), то после подстановки (317) в (316) мы должны получить тождество:

Очевидно, тождество будет выполняться для любого произвольного момента времени, если будут выполняться следующие условия

(318)

(319)

Из условия (319) получаем дифференциальное уравнение для определения амплитуды колебаний .Разделяя переменные, получаем уравнение, удобное для интегрирования

(продолжение1) 45. Затухающие колебания.

Решением этого уравнения является функция ,

где А₀ - постоянная интегрирования, которую можно определить из начальных условий. Подставив найденное значение амплитуды колебаний в условие (318), получаем:

т.е. частота колебаний действительно отличается от частоты собственных колебаний и равна:

Период колебаний соответственно равен:

С учётом полученных результатов решение исходного дифференциального уравнения движения записывается в виде: (320)

Это и есть закон колебаний при наличии вязкого трения. Такие колебания называются затухающими.

Скорость и ускорение колебаний тела при наличии вязкого трения определяются соотношениями (321)

(322)

Рассмотренные колебания являются периодическими (все параметры движения изменяются по периодическому закону). В то же время затухающие колебания нельзя назвать гармоническими. Об этом свидетельствует уже зависимость от времени амплитуды колебаний. К тому же выводу приводит и более подробный анализ периодичности изменения отдельных параметров движения, например смещения и скорости. Действительно, из выражений для смещения и скорости следует, что моменты времени, соответствующие прохождению телом положения равновесия, отвечают условию: ,

а моменты обращения в нуль скорости тела – условию:

Из этих условий следует, что прохождение телом положения равновесия и обращение в нуль скорости тела происходит с одинаковым периодом. Однако промежутки времени между прохождением положения равновесия и последующим обращением в нуль скорости тела не равны четверти периода, как это имеет место при гармонических колебаниях. Следовательно, и по этой причине затухающие колебания не могут быть гармоническими. Степень "негармоничности" затухающих колебаний определяется величиной коэффициента m.Таким образом, в рассмотренном случае затухания колебаний амплитуда убывает с течением времени по геометрической прогрессии. Быстрота затухания колебаний определяется величиной потерь энергии колебаний (величиной коэффициента сопротивления движению).

(продолжение2) 45. Затухающие колебания.

Кроме того, с увеличением коэффициента сопротивления уменьшается не только амплитуда колебаний, но и частота, а пе­риод колебаний, соответственно, увеличивается. Следует также отметить, что колебания не могут продолжаться бесконечно долго, как это можно было бы предположить из закона колебаний. Дело в том, что когда амплитуда колебаний становится бесконечно малой, малыми будут и упругие силы. При определённых условиях они не смогут преодолеть сопротивления движению и колебания прекратятся. При достаточно больших коэффициентах сопротивления среды процесс затухания колебаний вплоть до полного их прекращения протекает очень быстро. Может получиться, что система не сможет совершить даже одного полного колебания.

Рис.82

Такие колебания называют апериодическими. На практике же колебания считают прекратившимися при уменьшении амплитуды колебаний до некоторой заданной доли начального значения амплитуды (обычно до 1%). Графически затухающие колебания и апериодически процесс представлены на рис. 82 и рис.83.

Рис.83

При колебаниях системы в вязкой среде, когда силы сопротивления движению пропорциональны первой степени скорости, амплитуда колебаний убывает с течением времени по геометрической прогрессии, а отношение амплитуд колебаний, отстоящих друг от друга ни один период колебаний, остаётся с течением времени постоянным и равным:

Таким образом, величину этого отношения можно взять в качестве характеристики затухания колебаний, её называют декрементом затухания. Натуральный логарифм этого отношения (называется логарифмическим декрементом затухания)

(323)

Эту важную характеристику затухающих колебаний на практике берут по абсолютному значению, без учёта его знака. Знак "-" физически означает, что с течением времени амплитуда колебаний уменьшается.

В реальных механических колебательных системах затухание стремятся свести к минимуму, затухание при этом становится настолько малым, что уменьшением амплитуды колебаний за один период можно пренебречь. Уменьшение амплитуды становится заметным только через достаточно большой промежуток времени.

Все полученные количественные результаты относительно рассмотренных затухающих колебании справедливы только при наличии вязкого трения. Если же в системе на колеблющееся тело действуют силы сухого трения, то при сохранении качественных выводов (например, амплитуда колебаний с течением времени уменьшается) количественные характеристики будут иными, будет иным и сам характер изменения амплитуды) колебаний.

46. Вынужденные колебания.

Вынужденными называются колебания системы, возникающие под воздействием внешней силы. Характер этих колебаний определяется как свойствами самой колебательной системы, так и внешней силой. Основные особенности вынужденных колебаний рассмотрим на примере уже известной колебательной системы при условии, что на колеблющееся тело кроме сил упругости и вязкого трения действует ещё внешняя периодическая сила, изменяющаяся по гармоническому закону:

По основному закону динамики можно составить дифференциальное уравнение движения: (324)

Здесь, как и ранее: и .

В отличие от уравнения (316), описывающего затухающие колебания, правая часть уравнения (324), не содержащая искомой переменной х, отлична от нуля. Такие уравнения называются неоднородными (или уравнениями с правой частью). Как известно из теории дифференциальных уравнений, решение неоднородного уравнения можно представить в виде суммы общего решения одно­родного уравнения, соответствующего данному неоднородному, и какого-либо частного решения всего неоднородного уравнения в целом. Однородное уравнение, соответствующее данному неодно­родному, получим, если правую часть уравнения (324) положить равной нулю, т.е. получим дифференциальное уравнение затуха­ющих колебаний, решение которого уже найдено. Что же касается частного решения всего неоднородного уравнения в целом, то оно может быть представлено гармонической функцией, изменяю­щейся с той же частотой, что и сама внешняя сила. При частоте вынуждающей силы, равной нулю, т.е. при действии постоянной внешней силы, тело отклоняется от положения равновесия и, когда сила упругости уравновесит внешнюю силу, движение прекратится. При бесконечно большой частоте вынуждающей силы тело, обладая массой (инертностью), не успевает получить заметное смещение за период колебаний. При промежуточных значениях частота амплитуда отлична от нуля, следовательно, амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы. По том же соображениям фаза колебаний тела также должна зависеть от частоты вынуждающей силы и отличаться от фазы самой силы.

Первой частью решения уравнения (324) для однородного уравнения (затухающие колебания) через достаточно большой промежуток времени можно пренебречь. Поэтому мы будем рассматривать только вторую часть решения, т.е. частное решение уравнения (324) в виде гармонической функции.

Если гармоническая функция действительно является решение всего неоднородного уравнения, то после её подстановки в уравнение мы должны

получить тождество

(продолжение 1)46. Вынужденные колебания.

Как легко заметить, тождество будет выполняться при соблюдении следующих условий: (325), (326)

Из условия (326) получаем выражение для начальной фазы: (327)

Возводя в квадрат и складывая (325) и (325), получим выражение для амплитуды колебаний (328)

Выражения (327) и (328) показывают, что и начальная фаза колебаний, и их амплитуда зависят от частоты вынуждающей силы. При этом амплитуда при бесконечно большой частоте обращается в нуль, а при постоянной силе (w₁=0) принимает некоторое постоянное значение, численно равное отклонению от положения равновесия. Имеет смысл более подробно изучить зависимость амплитуды колебаний от частоты. Очевидно, что экстремальные значения амплитуда будет принимать в тех случаях, когда экстремальным будет подкоренное выражение в знаменателе дроби. Для экстремальных значений подкоренного выражения производная от него по частоте должна обращаться в нуль:

Приведенному условию соответствует два значения частоты колебаний:

Чтобы определить, прикаких значениях частоты само подкоренное выражение принимает максимальное или минимальное значение, надо определить знак второй производной при указанных значениях частоты. Вторая производная от подкоренного выражения по частоте равна

После подстановки найденных значений частоты в выражение второй производной получаем:

Учитывая, что в реальных механических колебательных системах вязкость среды по отношению к собственной частоте мала, получаем, что при подстановке первого значения частоты вторая производная принимает отрицательное значение, а при подстановке второго - положительное. Это означает, что первое значение частоты соответствует минимуму амплитуды колебаний, а второе - максимуму.

Явление возрастания амплитуды колебаний при некоторых значениях частоты вынуждающей силы называется резонансом. Соответствующее значение частоты: называется резонансной частотой. Резонансная амплитуда колебаний принимает значение: (329)

(продолжение 2)46. Вынужденные колебания.

а соответствующее значение начальной фазы колебаний (смещение по фазе самих колебаний относительно вынуждающей силы:

(330)

Как видно из выражений (329) и (330), при отсутствии трения (n=0) амплитуда колебаний обращается в бесконечность, а колебание относительно вынуждающей силы смещено по фазе на p/2.

В реальных механических колебательных системах вязкость среды хотя и мала, но всё же не равна нулю. Поэтому амплитуда колебаний при резонансе принимает конечные значения, тем меньшие, чем больше коэффициент вязкости. На рис.84 представлены резонансные амплитудные характеристики, т.е. зависимости амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы при различных значениях вязкости:

Начальная фаза колебаний также зависит от частоты вынуждающей силы. Графики зависимости начальной фазы колебания от частоты вынуждающей силы, называемые фазовыми резонансными кривыми, для различных значений вязкости приведены на рис.85.

Из полученных результатов не совсем очевидным является то, что при резонансе колебание относительно вынуждающей силы смещено по фазе на p/2. На первый взгляд кажется, что смещение и вынуждающая сила должны совпадать по фазе. На самом деле работа силы будет положительной (увеличивать энергию колебаний) в том случае, если сила будет совпадать по фазе не со смещением, а со скоростью. В противном случае на отдельных участках траектории сила будет направлена против движения тела и уменьшать его скорость и, соответственно, максимальное смещение

47.Математический маятник. Пружинные маятники.

Маятником обычно называют твёрдое тело, способное под действием приложенных сил совершать колебания относительно какого-либо центра или оси. Если тип маятника специально не оговорен, то считается, что маятник совершает колебания под действием силы тяжести.

Простейший маятник представляет собой небольшое массивное тело, подвешенное на нити или укреплённое на конце лёгкого стержня длины l. Если по условиям эксперимента нить можно считать невесомой и нерастяжимой, а размерами тела можно пренебречь по сравнению с длиной нити, то маятник можно рассматривать как материальную точку, находящуюся на неизменном расстоянии от точки подвеса. Такой маятник называется математическим. На практике приведенные выше условия являются трудно выполнимыми, тело нельзя считать материальной точкой, и маятник называют в этом случае физическим.

Закон движения математического маятника можно получить из основного закона динамики для вращательного движения. Предположим, что масса тела равна m, длина нити l, а размерами тела по сравнению с длиной нити можно пренебречь. Если тело маятника отклонить от положения равновесия на малый угол a<=5°, то это положение не будет устойчивым, и маятник начинает движение. Относительно точки подвеса O (рис. 86) момент силы натяжения нити равен 0, поскольку линия действия силы тяжестипроходит через точку подвеса.

Момент же силы тяжести относительно точки подвеса отличен от нуля и равен m . Поскольку при малых углах можно считать , то выражение момента силы тяжести окончательны можно записать как . Знак '-' означает, что направление момента силы тяжести противоположно угловому отклонению маятника. Момент инерции для материальной точки равен . С учётом сказанного основной закон динамики для маятника принимает вид: .

Приведем дифференциальное уравнение к форме: (333)

(продолжение1)47.Матем-ский маятник. Пружинные маятники.

Отметим, что это уравнение является уравнением гармонических колебаний. Решением его является гармоническая функция . Циклическая частота, определяемая выражением , зависит от свойств самого маятника. Так как период колебаний связан с циклической частотой, то и его значение также определяется параметрами маятника и не зависит от начальных условий:

Отметим также, что как само дифференциальное уравнение движения, так и его решение получены в предположении, что угловые отклонения маятника от положения равновесия малы. Если же угловые амплитуды будут больше указанной величины, то реше­ние дифференциального уравнения не даст такой простой гармонической формы. Колебания не будут гармоническими.

Закон движения математического маятника можно представить и в несколько ином виде. Предположим, что отклонение тела маятника от положения равновесия по горизонтали равно x. Дифференциальное уравнение движения тела маятника запишем по второму закону динамики в проекциях на горизонтальное направление. Проекцию равнодействующей силы на горизонтальное направление можно определить как . При малых отклонениях выполняется условие Поэтому , где знак"-" означает, что горизонтальная проекция равнодействующей силы направлена противоположно смещению l. С учётом сказанного дифференциальное уравнение движения можно представить в виде

Уравнение, как видно, также представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний, решением которого является гармоническая функция x=x₀*sin(wt+j). Таким образом, линейные отклонения тела маятника от положения равновесия также изменяются по гармоническому закону с той же циклической частотой

(продолжение2)47.Математ-ский маятник. Пружинные маятники.

Пружинные маятники представляют собой тела, укреплённые на упругих пружинах. При этом упругостью самого тела и массой пружины пренебрегают.

В зависимости от способа крепления маятника и предоставляемой ему свободы перемещения его перемещение может происходить только под действием силы упругости(горизонт) или под действием сил упр. и силы тяжести тела маятника при верт-ном расположении маятника. На рис.87 представлены оба маятника.

Рассм.Гориз.Пруж. маятник. Если телу маятника сообщить отклонение от положения равновесия x, то на него будет действовать сила упругости пружины, пропорц.ная при малых отклонениях первой степени смещения и противоположно ему направленная. Под действием этой силы и будет происходить дальнейшее движение тела маятника. По 2-ому з. динамики дифф-оеур-ие движения принимает вид: . Т.е. является уравнением гармонических колебаний, решением которого является гармоническая функция: .

Циклическая частота равна , а период, соответственно,

Т.о. период колебаний (циклическая частота) определяется параметрами маятника, что же касается амплитуды коле и начальной фазы, то они, как было сказано ранее, определяются из начальных условий. При верт-ом располож. маятника на характер движения тела будет оказывать влияние не только сила упр. пружины, но и сила тяжести тела. При отклонении тела от положения равновесия на x, на него будут действовать сила упр. и сила тяжести. При малых отклонениях сила упр. Пропор-на 1-ой степени смещения и противоположно ему направлена . По второму закону динамики запишем дифф-ноеур-ние движения: или

Правая часть ур-ния не равна нулю, уравнение является неоднородным. Решением такого уравнения ищемв виде . Подставим ур-ниедвиж-я полу­чаем тождество .Как видно тождество выполняется при условии, что .дополнительный постоянный член в решении означает смещение тела маятника в положении равновесия под дей­ствием силы тяжести.