Связь между линейными и угловыми

Предисловие

Решение задач является неотъемлемой частью изучения курса физики. Настоящее пособие предназначено в основном для выдачи контрольных заданий студентам заочного отделения инженерно-технических специальностей ВУЗов, но также может быть использовано в практической работе со студентами других форм обучения, в том числе дневного.

В данном пособии основной учебный материал первой части курса общей физики (механики) разбит на восемь разделов. В каждом разделе приведено по 30 задач (исходя из возможного числа студентов в учебной группе), соответствующих теме раздела. Таким образом, каждое контрольное задание содержит по восемь задач, охватывающих практически весь материал, изучаемый в соответствии с программой курса. Такое распределение задач рекомендательно. Большое количество предложенных задач, пронумерованных отдельно внутри раздела, позволяет обеспечить индивидуальным вариантом задания каждого студента учебной группы. Номера задач, входящих в контрольное задание, и их число определяются кафедрами физики ВУЗов.

Уровень сложности задач соответствует общепринятым стандартам, причем задачи “в одно действие” (для решения которых достаточно найти соответствующую формулу, подставить в нее исходные данные и посчитать ответ) практически отсутствуют.

Кроме того, в пособии приведена сводка основных формул, даны общие методические указания и примеры оформления решения задач, посылаемых для рецензирования. Справочные значения некоторых физических величин, необходимых при решении, приведены непосредственно в тексте условия задачи.

Общие методические указания

Решение задач производится в порядке возрастания их нумерации. Условие задачи переписывается полностью. Если необходимо, решение задачи сопровождается аккуратно выполненным рисунком, на котором указываются буквенные обозначения величин. Новые величины, которых нет в условии, должны поясняться. Например: “Пусть v₁₂ - скорость первого автомобиля относительно второго”; или “Обозначим: H₁ – высота, с которой упало тело, а p₁ – его импульс непосредственно перед ударом о пол”. Если в задаче требуется найти какую-либо векторную величину, например силу, скорость и т.п., то как правило, имеется в виду модуль этой величины (найденные значения должны быть положительными). При нахождении скалярной величины возможны и отрицательные значения.

Решать задачу нужно в общем виде, т.е. выразить искомую величину в буквенных обозначениях. При таком способе решения не производится вычисление промежуточных значений. Подставив в окончательную формулу числовые значения (в системе СИ и без единиц измерения), следует произвести расчет и записать ответ с тремя значащими цифрами с обязательным указанием единицы измерения найденной величины. Ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли в расчетах следует брать равным g = 10 м/с². В задачах раздела 7 (релятивистская механика):

1) скорость частиц, как правило, указывается в долях скорости света в вакууме с = 3·10⁸ м/с, поэтому в ответах рассчитанную скорость частиц можно приводить так же в долях скорости света (там, где не требуется в системе СИ);

2) используется внесистемная единица энергии (электрон-вольт): 1эВ = 1,6·10^–19 Дж;

3)при расчетах следует принять массу покоя электрона равной m = 9,11·10^–31кг, энергию покоя Е₀ = 0,511 МэВ; для протона m = 1.67·10^–27кг и Е₀ = 938 МэВ.

Примеры оформления решения задач

1.Тело массой m = 2 кг бросили вертикально вверх со скоростью v₁ = 20 м/с. Поднявшись на высоту h = 15 м, тело упало на землю со скоростью v₂ = 16 м/с. Чему равна работа силы сопротивления воздуха при подъеме тела вверх и при падении на землю? Объясните полученные результаты.

Решение:

Приращение полной механической энергии тела равно работе силы сопротивления воздуха. Примем потенциальную энергию тела на уровне земли за нуль. Тогда приращение полной механической энергии при подъеме равно E₂ – E₁ = A₁₂, а при падении E₃ – E₂ = A₂₃, где

E₁ = m(v₁)²/2 – полная энергия в момент броска;

E₂ = mgh – полная энергия на высоте h;

E₃ = m(v₂)²/2 – полная энергия при падении на землю.

Таким образом, работа силы сопротивления воздуха при подъеме равна:

A₁₂ = mgh – m(v₁)²/2 = 2 10 15 – 2 20²/2 = – 100 Дж,

а при падении:

A₂₃ = m(v₂)²/2 – mgh = 2 16²/2 – 2 10 15 = – 44 Дж.

Полученные отрицательные значения объясняются тем, что направление силы сопротивления воздуха противоположно направлению скорости тела, а работа в этом случае бывает отрицательной. Отличие модулей работ связано с тем, что при движении тела вверх его скорость в каждой точке траектории больше, чем в той же точке при падении вниз, а сила сопротивления пропорциональна скорости. Так как перемещения тела и зависимость силы сопротивления от скорости в обоих случаях одинаковы, то > .

Ответ: А₁₂ = –100 Дж ; A₂₃ = –44 Дж.

2.Два стержня с одинаковой собственной длиной L₀ движутся навстречу друг другу параллельно общей горизонтальной оси. В системе отсчета, связанной с одним из стержней, промежуток времени между моментами совпадения левых и правых концов оказался равным Δt. Какова скорость одного стержня относительно другого?

Решение:

Рассмотрим движение стержней в прямоугольной системе отсчета К, связанной с одним из стержней, например стержнем 1. Пусть v скорость второго стержня в К системе (искомая скорость). Обозначим длину второго стержня в К системе L (стержень будет испытывать релятивистское сокращение в направлении движения). Тогда: ΔL = L₀ – L = L₀ – L₀ = L₀ (1 – (1),

где: L₀ – длина покоящегося стержня 2 (собственная длина).

С другой стороны (см.рис.):

ΔL = vΔt (2).

Выразим скорость в долях скорости света:

β = v/c (3).

Тогда выражения (1) и (2) можно переписать в виде:

ΔL = L₀ – L₀ (4),

ΔL = βсΔt (5).

Приравнивая левые части выражений (4) и (5), после соответствующих математических преобразований, получаем:

β = (6).

Или, с учетом (3), окончательно находим:

v= .

Ответ: v= .

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

КИНЕМАТИКА

Средняя путевая скорость v_ср. = ,

где L – длина пройденного пути, t – затраченное время.

Вектор средней скорости v_ср. = ,

где S – вектор перемещения за время t.

Закон сложения скоростей (Галилея) v_абс = v_отн + v_пер,

где v_пер – скорость подвижной системы отсчета, v_отн – скорость точки относительно подвижной системы отсчета, v_абс – скорость точки относительно неподвижной системы отсчета.

Относительная скорость v₂₁ = v₂ – v₁,

где v₂₁ – скорость точки 2 относительно точки 1.

Мгновенная скорость v = ,

где r –радиус–вектор точки.

Вектор среднего ускорения a_ср. = ,

где Δv = v₂ – v₁ – приращение скорости за время t.

Мгновенное ускорение a = .

Закон равнопеременного движения (a – const) r = r₀ + v₀t + at², v = v₀ + at,

где r₀ и v₀ – радиус-вектор и скорость в начальный момент времени.

Полное ускорение a = a_τ + a_n.

Тангенциальное ускорение a_τ = τ,

где τ – единичный вектор касательной.

Нормальное ускорение a_n = n,

где n – единичный вектор нормали, R – радиус кривизны траектории.

Модуль угловой скорости ω = .

Модуль углового ускорения: = .

Закон равноускоренного вращения , .

ДИНАМИКА

Импульс материальной точкиp =mv.

где m –масса материальной точки, v –вектор ее скорости.

Точки (системы)

Момент инерции материальной точки относительно осиI = mr²,

где r – расстояние точки от оси.

Момент инерции системы материальных точек относительно осиI = , где r_i – расстояние точки от оси.

Моменты инерции тел массыmотносительно

oси, проходящей через центр масс:

тонкостенного цилиндра (кольца) радиусом R,

если ось вращения совпадает с осью цилиндра I = mR²;

сплошного цилиндра (диска) радиусом R,

если ось вращения совпадает с осью цилиндра I = ;

шара радиусом R I = ;

тонкого стержня длиной l, если ось вращения

перпендикулярна стержню и проходит через его середину I = .

КИНЕМАТИКА

1.1. Материальная точка движется в плоскости xy согласно уравнениям x=A₁+B₁t+C₁t² и y=A₂+B₂+C₂t², где B₁=7м/с, C₁=-2 м/с², B₂=-1м/с, C₂=0,2 м/с². Найти модули скорости и ускорения точки в момент времени t=5 с.

1.2. Первый вагон поезда прошел мимо наблюдателя. стоящего на платформе, за 1 с, а второй – 2 с. Длина вагона 12 м. Найти ускорение поезда и его скорость в тот момент, когда первый вагон поравнялся с наблюдателем.

1.3. Свободно падающее тело спустя некоторый промежуток времени после начала падения находится на высоте 1100 м, а еще через 10 с – на высоте 120 м над поверхностью земли. С какой высоты падало тело?

1.4. Тело падает с высоты 500 м без начальной скорости. Найти среднюю скорость на последних 95 м пути.

1.5. Точка движется вдоль прямой по закону x=At⁴-Bt³-Ct², где A=1 м/с⁴, B=4 м/с³, C=8 м/с². Найти путь, пройденный точкой за время 5 с

1.6. Камень бросили с земли вертикально вверх со скоростью 8 м/с. Когда он поднялся на максимальную высоту, с земли был брошен второй камень с такой же скоростью. На какой высоте они встретятся?

1.7. Из точек А и В, расположенных по вертикали (точка А выше) на расстоянии 100м друг от друга, бросают одновременно два тела с одинаковой скоростью 10м/с: из А – вертикально вниз, а из В – вертикально вверх. Через сколько времени и в каком месте они встретятся?

1.8. Два тела брошены вертикально вверх из одной и той же точки с одинаковой начальной скоростью 20 м/с с промежутком времени 0,5 с. Через какое время после бросания второго тела и на какой высоте они встретятся?

1.9. Материальная точка движется по окружности радиуса 1 м согласно уравнению s=8t-0,2t³. Найти скорость, тангенциальное и полное ускорение в момент времени 3 с.

1.10. Под углом 60^о к горизонту брошено тело с начальной скоростью 20 м/с. Через сколько времени оно будет двигаться по углом 45^о к горизонту?

1.11. Тело брошено под углом 30^о к горизонту со скоростью 20м/с. Через сколько времени и на каком расстоянии по горизонтали тело будет находиться на высоте 5м? Найти тангенциальное и нормальное ускорения камня в этот момент времени.

1.12. Мотоциклист и велосипедист стартовали с одного места одновременно по кольцевому треку радиусом R. Спустя время t₁ мотоциклист догнал велосипедиста, повернул обратно и вновь повстречал его через время t₂. Найти скорость каждого из них.

1.13. Автомобиль первую треть пути ехал со скоростью v₁=30км/ч, оставшуюся часть пути он ехал со скоростью, в два раза большей средней скорости на всем пути. Найти скорость автомобиля на второй части пути.

1.14. Поезд начинает движение из состояния покоя и равномерно увеличивает свою скорость. На первом километре она выросла на Δv₁=1м/с. На сколько возрастет скорость на втором километре?

1.15. Камень, брошенный с земли под углом α=45⁰ к горизонтальной плоскости, через t=0,8 с после начала движения имел вертикальную составляющую скорости v_в=12м/с. Чему равно расстояние между точкой бросания и местом падения камня? Ускорение силы тяжести g=10м/с.

1.16. С какой высоты падает без начальной скорости тело, если путь . пройденный им за последнюю секунду движения, в n=7 раз больше пути, пройденного за первую секунду? Ускорение силы тяжести g=10м/с.

1.17. В последнюю секунду свободного падения тело прошло путь вдвое больший, чем в предыдущую секунду. С какой высоты падало тело?

1.18. Ракета стартует и движется вертикально вверх с ускорением a=2g. Через t₀=2с полета двигатель отключается. Через какое время после старта ракета упадет на землю?

1.19. С какой скоростью надо бросить вертикально вниз мяч с высоты H=20 м, чтобы после абсолютно упругого удара о поверхность Земли его подъем на высоту H занял t=3с?

1.20. Маленький шарик падает с высоты h=50 см на наклонную плоскость, составляющую угол 45⁰ с горизонтом. Найдите расстояние между точками первого и второго соударений шарика с плоскостью. Соударения считать абсолютно упругими, сопротивлением воздуха пренебречь.

1.21. Два тела одновременно брошены из одной точки. Начальная скорость первого тела равна v₁=10м/с и направлена вертикально вверх, второго – v₂=20 м/с и направлена под углом α=30⁰ к горизонту. Определите расстояние между телами через одну секунду после броска.

1.22. Конькобежец проходит путь s=450 м с постоянной скоростью v, а затем тормозит до остановки с ускорением, модуль которого a=0,5 м/с. При некотором значении v общее время движения конькобежца будет минимальным. Чему оно равно?

1.23. Скорость свободно падающего тела увеличилась за время t₁=2с в n₁=5 раз. Во сколько раз увеличится его скорость по сравнению с начальной через t₂=6с после начала падения?

1.24. При свободном падении тела средняя скорость его движения за последнюю секунду оказалась в 1.25 раза больше, чем за предыдущую. Определить высоту, с которой падало тело.

1.25. С какой высоты падает тело без начальной скорости, если путь, пройденный им за последнюю секунду движения в 3 раза больше пути, пройденного за первую секунду?

1.26. Снаряд запущен вертикально вверх с начальной скоростью 105м/с. Найти путь снаряда за одиннадцатую секунду после выстрела.

1.27. Камень, брошенный с земли под углом к горизонту, упал на землю со скоростью 10м/с. Чему равна максимальная высота подъема камня во время полета, если известно, что во время движения его максимальная скорость была в 2 раза больше минимальной?

1.28. Камень брошен горизонтально с горы, угол наклона которой к горизонту равен 30⁰. Определить начальную скорость камня, если он упал на склон на расстоянии 43,2м от точки бросания.

1.29. Первый шарик бросают вертикально вверх с начальной скоростью 5 м/с. Когда он достигает наивысшей точки подъема, из той же начальной точки бросают вверх второй шарик с начальной скоростью 10м/с. Определить отношение модуля скорости второго шарика к модулю скорости первого шарика в момент их встречи.

1.30. При прямолинейном равноускоренном движении тела с некоторой начальной скоростью величина перемещения тела за пятую секунду движения оказалась больше величины перемещения за вторую секунду на 12 м. Определить ускорение тела.

1.31. Тело начинает двигаться по окружности радиусом R, с постоянным тангенциальным ускорением a_τ. Какова зависимость от времени полного ускорения тела? (

2. ДИНАМИКА. СИЛЫ. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА

2.1.Брусок массы 2 кг прижат к вертикальной стене силой 100 Н. Определить наименьшую вертикальную силу, которую необходимо приложить к бруску, чтобы: а) удержать его в покое, б) равномерно двигать вверх. Коэффициент трения бруска о стену 0,1.

2.2. Груз массы 50 кг поднят при помощи каната вертикально вверх в течение 2 с на высоту 10 м. Определить силу натяжения каната, если движение груза было равноускоренным.

2.3. Канат лежит на столе так, что часть его свешивается со стола, и начинает скользить тогда, когда длина свешивающейся части составит 25% всей его длины. Чему равен коэффициент трения каната о стол?

2.4. Какого веса балласт надо сбросить с равномерно опускающегося аэростата, чтобы он начал равномерно подниматься с той же скоростью? Вес аэростата с балластом 16000 Н, подъемная сила аэростата 12000 Н. Силу сопротивления считать одинаковой при подъеме и при спуске.

2.5. К нити подвешена гиря. Если поднимать эту гирю с ускорением 2 м/с, то натяжение нити будет вдвое меньше того натяжения, при котором нить разрывается. С каким ускорением надо поднимать эту гирю, чтобы нить разорвалась?

2.6. Сколько времени лыжник будет скатываться с горы длиной 30 м и уклоном 30^о, если коэффициент трения 0,1, а начальная скорость лыжника равна нулю?

2.7. Камень толкнули со скоростью 10 м/с от подножья вверх по наклонной плоскости. С какой скоростью он вернется к подножью, если коэффициент трения 0,2, а угол наклона плоскости 30^о?

2.8. Тело массы 4 кг равномерно соскальзывает по наклонной плоскости и при этом на него действует сила трения 20 Н. Чему равен коэффициент трения между телом и плоскостью?

2.9. Вертикально расположенная пружина соединяет два груза. Масса верхнего груза m₁=2 кг, а нижнего m₂=3 кг. Когда система подвешена за верхний груз, длина пружины равна L₁=10 см. Если систему поставить на подставку, длина пружины оказывается равной L₂=4 см. Определите длину ненапряженной пружины.

2.10. Гимнаст висит на канате, перекинутом через блок. К другому концу каната привязан противовес массой m. В начальный момент блок заторможен. Затем блок освободили, а гимнаст стал скользить по канату вниз. В момент времени t скорость противовеса была больше скорости человека относительно земли на величину Δv. Пренебрегая массой каната и блока, найдите силу трения, возникающую при спуске гимнаста. Масса гимнаста M > m.

2.11. Минимальная горизонтальная сила, которую необходимо приложить к телу, находящемуся на наклонной плоскости, чтобы удержать его от соскальзывания, равна F=70 Н. С каким ускорением тело будет соскальзывать с плоскости, если его не удерживать? Масса тела m=20 кг, угол наклона плоскости α=30⁰.

2.12. Небольшой брусок пускают вверх по наклонной плоскости, составляющей угол α=60⁰ с горизонтом. Коэффициент трения μ=0,8. Определить отношение времени подъема бруска вверх t₁ ко времени его соскальзывания t₂ до первоначальной точки.

2.13. Брусок массы m=1 кг равномерно втаскивают за нить по наклонной плоскости, составляющей угол α=30⁰ с горизонтом. Коэффициент трения μ=0,8. Найти угол β, который должна составлять нить с наклонной плоскостью, чтобы натяжение нити было наименьшим. Чему оно равно?

2.14. Через блок, движущийся вертикально вверх с ускорением a, переброшена невесомая и нерастяжимая нить, на концах которой прикреплены грузы массой m₁ и m₂ (m₂ > m₁). Определить ускорения, с которыми движутся грузы относительно Земли,

2.15. Два мальчика, массы которых m₁=45 кг и m₂=55 кг, стоят на коньках на льду. Первый мальчик отталкивается от второго, действуя на него с силой F=10 Н в течение Δt=1 с. Через сколько времени после прекращения отталкивания расстояние между мальчиками составит L=10 м? Трением можно пренебречь.

2.16. На горизонтальной поверхности лежат два тела с массами m₁=2,5 кг и m₂=3,5 кг, прикрепленные к концам пружины с коэффициентом жесткости k=50 Н/м. Длина пружины в недеформированном состоянии L₀=0,2 м. На какое максимальное расстояние x друг от друга могут быть удалены тела, чтобы они оставались в покое, если коэффициент трения между телами и поверхностью μ=0,2?

2.17. Человек, масса которого M=72 кг, бежит по длинной доске с ускорением a₀=0,5 м/с² относительно доски. Доска лежит на гладком полу. Ее масса m=18 кг. С каким ускорением доска движется относительно пола?

2.18. Брусок массы m=0,51 кг, лежащий на горизонтальной плоскости, совершает прямолинейное равноускоренное движение под действием горизонтально направленной силы, равной F=5 Н. Если увеличить массу бруска в α=2 раза, то его ускорение под действием той же силы уменьшится в β=3 раза. Пользуясь этими данными, вычислите коэффициент трения бруска о плоскость.

2.19. Желоб состоит из двух досок, образующих двугранный угол, у которого ребро горизонтально, а плоскости составляют равные углы α=30⁰ с горизонтом. В желобе лежит цилиндр массы m=4 кг, образующая которого параллельна ребру желоба. Какую силу нужно приложить в горизонтальном направлении к основанию цилиндра, чтобы он двигался вдоль желоба равномерно? Коэффициент трения между поверхностями желоба и цилиндра μ=0,1.

2.20. На доске длиной L=0,5 м и массы M=0,9 кг у ее левого торца лежит небольшой брусок массы m=0.1 кг. Какую минимальную скорость v₀ нужно сообщить бруску, чтобы он соскользнул с доски у ее правого торца? Коэффициент трения бруска о доску μ =0,5. Доска находится на гладкой горизонтальной поверхности.

2.21. На наклонную плоскость длиной 5 м и высотой 3 м кладут груз массы 40 кг. Какую минимальную силу, направленную вдоль наклонной плоскости, надо приложить к грузу, чтобы он не скользил вниз по наклонной плоскости? Коэффициент трения груза о плоскость μ=0,25.

2.22. Через какое время тело, свободно падающее с высоты 9 м, достигнет поверхности земли, если сила сопротивления постоянна и составляет 20% от силы тяжести?

2.23.С аэростата сбросили два маленьких шарика массами 2∙10^{-2 кг и 7∙10-2 кг, связанных тонкой невесомой нитью. Найти силу натяжения нити в полете после того, как установится вертикальное движение системы с постоянной скоростью. Выталкивающей силой воздуха пренебречь. Силы сопротивления воздуха, действующие на каждый шарик, одинаковы.}

2.24. На однородный горизонтально расположенный стержень длиной 1 м действуют две горизонтальные силы: 10 Н на правый конец и 5 Н на левый. Силы направлены вдоль стержня в противоположные стороны (от стержня). С какой по величине силой растянут стержень в сечении, находящемся на расстоянии 0,2 м от его левого конца?

2.25. Удлинение неподвижной пружины под действием подвешенного к ней груза составляет ΔL. Во сколько раз уменьшится удлинение той же пружины под действием того же груза, если пружина с грузом движутся равноускоренно вниз с ускорением 2 м/с²?

2.26. Однородная цепочка длиной 50 см свешивается со стола и удерживается в равновесии силой трения. Найти коэффициент трения, если наибольшая длина свисающего конца, при которой цепочка еще не начинает скользить, равна 10 см.

2.27. На длинную горизонтальную ленту транспортера, движущегося с постоянной скоростью 3 м/с, положили брусок и сообщили ему скорость относительно земли 4 м/с, направленную против движения ленты. Спустя время 2 с скорость бруска сравнялась со скоростью ленты. Определите коэффициент трения между бруском и лентой.

2.28. По шероховатой наклонной плоскости с углом наклона 30⁰ к горизонту снизу вверх пускают шайбу, которая в течение 2 с проходит до верхней точки 16 м, после чего соскальзывает вниз. Сколько времени длится соскальзывание?

2.29. Гирька массы 100 г, привязанная к резиновому шнуру, вращается с угловой скоростью 10 рад/с по окружности в горизонтальной плоскости так, что шнур составляет угол 60⁰ с вертикалью. Найдите длину нерастянутого шнура, если его жесткость равна 40 Н/м.

2.30. Два груза массами 2 кг и 1 кг прикреплены к концам невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через легкий блок, причем первоначально тяжелый груз находится на 1 м выше легкого. С каким ускорением перемещают ось блока, если грузы оказались на одинаковом уровне через 0,5 с?

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ

.

6.1. Сосуд с водой уравновешен на одной из чашек рычажных весов. В сосуд опускают подвешенный на нити металлический брусок массы m так, что он оказывается полностью погруженным в воду, но не касается стенок и дна сосуда. Какой груз и на какую чашку надо положить, чтобы восстановилось равновесие? Плотность металла ρ_м, воды ρ_в.

6.2. Деревянный кубик плавает в воде так, что в воду погружено 90% его объема. Какая часть объема будет погружена в воду, если поверх воды налить слой масла с плотностью ρ=0,8 г/см³, полностью закрывающий кубик? Плотность воды ρ_в.

6.3. В сообщающихся сосудах, диаметры которых относятся как 1:2, находится вода. В широкий сосуд наливают дополнительно столб масла высотой H₀. На сколько поднимется уровень воды в узком сосуде? Плотность воды ρ₁, масла ρ₂<ρ₁.

6.4. Два тела, имеющие одинаковый объем v и плотности ρ и 2ρ, неподвижно висят в жидкости, связанные нитью. Определить натяжение нити.

6.5 На границе раздела двух несмешивающихся жидкостей с плотностями ρ₁ и ρ₂ плавает шар так, что отношение объемов погруженных в жидкости частей шара равно V₁/V₂=n. Найти плотность вещества шара.

6.6. Сплошное однородное тело, погруженное в жидкость с плотностью ρ₁, весит P₁, а в жидкость с плотностью ρ₂ – весит P₂. Найти плотность вещества тела.

6.7. В жидкостях с плотностями ρ₁ и ρ₂ вес тела равен P₁ и P₂ соответственно. Найти вес тела в жидкости с плотностью ρ₃.

6.8. В сосуд с вертикальными стенками и сечением S налита жидкость с плотностью ρ. Чему равно изменение уровня жидкости, если в сосуд опустить тело массой m, которое не тонет?

6.9. Слиток сплава двух металлов с плотностями ρ₁ и ρ₂ весит в воздухе P₁, а в воде –P₂. Найти вес каждого из металлов в слитке.

6.10. Из трубы сечением S₁ бьет вертикально вверх струя воды. Найти сечение струи на высоте h над отверстием трубы. Расход воды из трубы равен Q.

6.11. При переходе из моря в реку с корабля сняли груз, при этом осадка судна не изменилась. Масса корабля с оставшимся грузом составляет 4000 т, плотность морской воды равна 1030 кг/м³, речной–1000кг/м³. Чему равна масса снятого груза?

6.12. Гидравлический пресс, заполненный водой, имеет поршни сечением 1000 см² и 10 см². На большой поршень становится человек массой 80 кг. На какую высоту поднимется при этом малый поршень? Плотность воды ρ_в.= 1000 кг/м³.

6.13. Льдина площадью поперечного сечения S=1 м² и высотой H=0,4 м плавает в воде. Какую работу A надо совершить, чтобы полностью погрузить льдину в воду? Плотность воды ρ_в.= 1000 кг/м³, льда ρ_л=900кг/м³.

6.14. Резиновый мячик с массы m и радиусом R погружают в воду на глубину h и отпускают. Найти высоту, на которую подпрыгнет мячик в воздухе. Плотность воды равна ρ. Сопротивлением воздуха пренебречь.

6.15. Шарик массы m=60 г лежит на дне пустого сосуда. В сосуд наливают жидкость так, что объем погруженной в жидкость части шарика в k=6 раз меньше его собственного объема. Найти силу давления шарика на дно сосуда, если плотность материала шарика в n=3 раза меньше плотности жидкости.

6.16. Насос должен подавать ежесекундно объем воды V на высоту h по трубе постоянного сечения S. Какова должна быть мощность насоса? Плотность воды ρ, начальная скорость воды равна нулю.

6.17. В широкой части горизонтально расположенной трубы нефть течет со скоростью v₁=2 м/с. Определить скорость нефти в узкой части трубы, если разность давлений в широкой и узкой ее частях равна Δр=6.55 кПа. Плотность нефти 800 кг/м³.

6.18.Два шарика радиусами R₁и R₂ изготовленные из материалов с плотностями ρ₁ и ρ₂ , соединены невесомым стержнем длиной L. Затем вся система помещена в жидкость с плотностью ρ_, причем ρ < ρ₁ и ρ < ρ₂. В какой точке стержня нужно его подвесить, для того чтобы система находилась в равновесии при горизонтальном положении стержня?.

6.19. Шарик с плотностью материала ρ падает с высоты h в жидкость с плотностью ρ₁ (ρ < ρ₁). Найти глубину погружения и время подъема шарика на поверхность жидкости.

6.20. Аквариум имеет форму куба со стороной а=60 см. До какой высоты h надо налить в него воду, чтобы сила давления на боковую стенку была в 6 раз меньше, чем на дно? Атмосферное давление не учитывайте.

6.21. Направленная горизонтально струя воды бъет в вертикальную стенку. С какой силой F струя давит на стенку, если скорость истечения воды v = 10 м/с. и вода поступает через трубку с сечением S = 4 см² ? Считать, что после удара вода стекает вдоль стенки.

6.22. Площадь поршня в шприце равна S₁, а площадь отверстия на выходе равна S₂. Ход поршня равен L. На поршень действует сила F. Найти скорость и время вытекания воды из шприца, если он расположен горизонтально, а скорость движения поршня постоянна. Плотность воды ρ.

6.23. Определить силу натяжения нити, связывающей два шарика объемом V=10 см³, если верхний шарик плавает, наполовину погрузившись в воду. Нижний шарик в три раза тяжелее верхнего. Плотность воды ρ=1000 кг/м³.

6.24. В дне цилиндрического сосуда имеется круглое отверстие диаметром d=1 см. Диаметр сосуда D=0,5 м. Найти зависимость скорости v понижения уровня воды в сосуде от высоты h этого уровня. Найти численное значение этой скорости для высоты h=0,2 м. Плотность воды ρ=1000 кг/м³.

6.25. В сосуд льется вода, причем за одну секунду наливается V=0,2 л воды. Каков должен быть диаметр d отверстия в дне сосуда. Чтобы вода в нем держалась на постоянном уровне, равном h=8,3 см? Плотность воды ρ=1000 кг/м³.

6.26. Шарик всплывает с постоянной скоростью в жидкости, плотность которой в 4 раза больше плотности материала шарика. Во сколько раз сила трения, действующая на шарик, больше веса этого шарика?

6.27. Найти скорость течения по трубе углекислого газа, если известно, что за полчаса через поперечное сечение трубы протекает 0,51 кг газа. Плотность газа принять равной 7,5 кг/м³. Диаметр трубы равен 2 см.

6.28. Полый шар с плотностью материала ρ₁ плавает на поверхности жидкости с плотностью ρ₂. Найти плотность вещества, которым следует заполнить полость, чтобы шар находился в состоянии безразличного равновесия внутри жидкости. Радиус шара равен R₁, радиус полости-R₂ .

6.29.На столе стоит цилиндрический сосуд высоты Н, наполненный доверху водой. Пренебрегая вязкостью воды, определить высоту h, на которой нужно сделать в сосуде небольшое отверстие, чтобы вытекающая из него струя попадала на стол на наибольшем удалении от сосуда.

6.30. Стеклянный шарик весит в воздухе P₀=0,5 Н, в воде P₁=0,32 Н, и в спирте P₂=0,35 Н. Определите плотность стекла ρ₀ и спирта ρ_2.

Найдите зависимость сечения круглой трубы от координаты x, при которой идеальная жидкость будет двигаться по ней с ускорением a, если в сечении S₀, имеющем нулевую координату, скорость жидкости равна u₀? ( )

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА.

7.1. С какой скоростью движется электрон, если его кинетическая энергия 1,02 МэВ? Определить импульс электрона.

7.2. Найти скорость частицы, кинетическая энергия которой Е_к=500 МэВ и импульс p=865 МэВ/c, где c – скорость света.

7.3. Ядро с массой покоя m, движущееся со скоростью v=0,6 c, ударяет в такое же неподвижное ядро. Образуется новое составное ядро. Чему равна скорость составного ядра? Чему равна масса покоя составного ядра?

7.4. Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы Δt=10 нс. Какой путь пролетит эта частица до распада в лабораторной системе отсчета, где ее время жизни Δt=20 нс?

7.5. Два стержня одинаковой собственной длины L₀ движутся в продольном направлении навстречу друг другу параллельно общей оси с одной и той же скоростью v относительно лабораторной системы отсчета. Чему равна длина каждого стержня в системе отсчета, связанной с другим стержнем?

7.6. За промежуток времени Δt = 1,00 с, отсчитанный по часам некоторой системы отсчета К, частица, двигаясь прямолинейно и равномерно, переместилась из начала координат системы К в точку с координатами x = y = z= 1,5×10⁸ м. Найти промежуток собственного времени частицы Δt₀ , за который произошло это перемещение.

7.7. Скорость тела возросла на 20%. На сколько процентов при этом уменьшилась его длина?

7.8. Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость v=0,4с. В момент вылета из ускорителя ядро выбросило в направлении своего движения β–частицу (электрон) со скоростью u=0,75с относительно ускорителя. Найти скорость v₀ частицы относительно движущегося ядра.

7.9. Найти собственное время жизни частицы, если ее скорость отличается от скорости света в вакууме ( с= 3·10⁸ м/с ) на 20 %, а расстояние, пролетаемое до распада в лабораторной системе отсчета, равно 300 км.

7.10. Покоящаяся частица с массой m₁ распадается на две частицы, массы которых m₂ и m₃ . Найти энергию каждой образовавшейся частицы и модули их противоположно направленных импульсов.

7.11. Плотность вещества тела в форме куба равна ρ₀. Какова плотность вещества с точки зрения наблюдателя, двигающегося вдоль одного из ребер куба со скоростью 0,8c?

7.12. С какой скоростью двигались в К системе отсчета часы , если за время t= 5 c ( в К системе) они отстали от часов этой системы на 0,1 с ?

7.13. Две частицы, двигавшиеся в лабораторной системе отсчета по одной прямой с одинаковой скоростью v=3/4c, попали в неподвижную мишень с интервалом времени Δt= 50нс. Найти собственное расстояние между частицами до попадания в мишень.

7.14. Два стержня одинаковой собственной длины L₀ движутся навстречу друг другу параллельно общей горизонтальной оси. В системе отсчета, связанной с одним из стержней, промежуток времени между моментами совпадения левых и правых концов оказался равным Δt. Какова скорость одного стержня относительно другого ?.

7.15. Какую работу необходимо совершить, чтобы увеличить скорость частицы с массой m от 0,6с до 0,8с ?.

7.16. Найти скорость космической частицы, если ее полная энергия в пять раз больше энергии покоя.

7.17. Какую продольную скорость нужно сообщить стержню, чтобы его длина стала равной половине длины, которую он имеет в состоянии покоя?

7.18.