Расчётные схемы балок и определение реакции их опор

Задание

Задана горизонтальная двух опорная балка. Балка нагружена активными силами: сосредоточенной F, распределенной силой интенсивностью q и парой сил с моментом М (табл.2.1 и рис 2.6).

Цель работы – построить расчётную схему балки, составить уравнения равновесия балки, определить реакции ее опор и выявить наиболее нагруженную опору.

Теоретическое обоснование

Во многих машинах и сооружениях встречаются конструктивные элементы, предназначенные преимущественно для восприятия нагрузок, направленных перпендикулярно их оси. Расчетные схемы таких элементов (валы, части металлоконструкции и др.) могут быть представлены балкой. Балки имеют опорные устройства для передачи усилий и сопряжения с другими элементами.

Основными типами опор балок являются шарнирно – подвижная, шарнирно – неподвижная опоры и жесткая заделка.

Шарнирно – подвижная опора (рис.2.1,а) допускает поворот балки вокруг оси шарнира и линейное перемещение на незначительное расстояние параллельно опорной плоскости. Точкой приложения опорной реакции является центр шарнира. Направление реакции R – перпендикуляр к опорной поверхности.

Шарнирно – неподвижная опора (рис.2.1,6) допускает только поворот балки вокруг оси шарнира. Точкой приложения являются также центр шарнира. Направления реакции здесь неизвестно, оно зависит от нагрузки, приложенной к балке. Поэтому для такой опоры определяются две неизвестные – взаимно перпендикулярные составляющие R_x и R_y опорной реакции.

Жесткая заделка (защемление) (рис.2.1,в) не допускает ни линейных перемещений, ни поворота. Неизвестными в данном случае являются не только величина, но и её точка приложения. Таким образом, для определения опорной реакции необходимо найти три неизвестные: составляющие R_x и R_y по осям координат и реактивный момент MR относительно центра тяжести опорного сечения балки.

А б в

Рис.2.1

Равновесие балки под действием любой системы заданных сил, расположенных в одной плоскости, может быть обеспечено одной жёсткой заделкой или двумя опорами – подвижной и неподвижной. Балки называются соответственно консольными (рис.2.2,а) или двух опорными (рис.2.2,б)

А б

Рис.2.2

На балку действуют заданные силы и пары сил. Силы по способу приложения делятся на распределенные и сосредоточенные. Распределенные нагрузки задаются интенсивно q, Н/м и длиной 1, м. равномерно распределенные нагрузки условно изображаются в виде прямоугольника, в котором параллельные стрелки указывают, в какую сторону действует нагрузка (рис.2.3). В задачах статики равномерно – распределенную нагрузку можно заменять равнодействующей сосредоточенной силой Q, численно равной произведению q_*1, приложенной посредине длины и направленной в сторону действия q.

Рис.2.3 Рис. 2.4

Сосредоточенные нагрузки приложены на сравнительно небольшой длине, поэтому считается, что они приложены в точке. Если сосредоточенная сила приложена под углом к балке, то для определения реакции опор удобно разложить её на две составляющие – F_x = Fcos α и F_y =F sin α (рис.2.4).

Реакции опор балки определяются из условий равновесия плоской системы произвольно расположенных сил. Для плоской системы можно составить три независимых условия равновесия:

∑F_ix = 0; ∑F_iy = 0; ∑M_io = 0 или

∑М_ia = 0; ∑M_iB = 0; ∑M_iC = 0 или } (2.1)

∑M_iA = 0; ∑M_iB = 0; ∑F_ix = 0.

Где О, А ,В, С – центры моментов.

Рационально выбрать такие уравнения равновесия, в каждое из которых входила бы по одной неизвестной реакции.

Порядок выполнения работы

1. В соответствии с заданием изобразить балку и действующие заданные силы.

Выбрать расположение координатных осей: совместить ось х с балкой, а ось у направить перпендикулярно оси х.

1. Произвести необходимые преобразования: силу, наклоненную к оси балки под углом а, заменить двумя взаимно перпендикулярными составляющими, а равномерно распределенную нагрузку – её равнодействующей.

2. Освободить балку от опор, заменив их действие реакциями опор, направленными вдоль осей координат.

3. Составить уравнения равновесия балки, чтобы решением каждого из трёх уравнений было определение одной из неизвестных реакций опор.

4. Проверить правильность определения реакций опор по уравнению, которое не было использовано для решения задач.

5. Сделать вывод о наиболее нагруженной опоре.

6. Ответить на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1.Сколько независимых уравнений равновесия можно составить для плоской системы параллельных сил?

2.Какие составляющие реакции опор балок возникают в шарнирно – подвижной, шарнирно – неподвижной опорах и жёсткой заделке?

3.Какую точку целесообразно выбрать в качестве центра момента при определении реакций опор?

4.Какая система является статически неопределимой?

Пример выполнения

1.Задание:

q = 5 H/м, F = 25 H, M = 2 H*м, α = 60°

2.Преобразование заданных сил:

F_x = F cos α = 25cos 60° = 12.500H, F_y = F sinα = 25 sin60° = 21.625H

Q = q*1 = 5*6 =30 H.

Рис.2.5

3.Составим расчётную схему (рис.2.5)

4.Уравнения равновесия и определение реакций опор:

а) ∑M_ia = 0; -Q *3 – F_y*7.5+ R_B* 8.5 – M = 0;

R_B =

б) ∑M_iB =0: - R_Ay*8.5 + Q *5.5 + F_y *1 – M = 0:

R_Ay =

в) ∑F_ix=0: R_Ax + F_x =0: R_Ax= - F_x = - 12.500H.

5.Проверка:

∑F_iy = 0; R_Ay = Q – F_y + R_B = 0; 21.724 – 30 – 21.651 + 29.927 = 0; 0 = 0

Вывод:

Наиболее нагруженной является опора В – R_B =29.927 Н. Нагрузка на опору А – R_A =

Литература:

Таблица 2.1

№ варианта	№ схемы на рис. 2.6	q , Н/м	F, Н	М, Н м	, град
		4,5
		2,5
		4,5
		3,5
		6,5
		1,5
		0,5

Рис.2.6

Практическая работа № 3