Виды средних и методы их расчета.

Средние, применяемые в статистике, относятся к классу степенных средних. Общая формула средней:

, где

x - меняющаяся величины признака (варианта)

n - число вариант

m - показатель степени средней

å - знак суммы «сигма»

- средняя величина.

Существуют следующие виды средних:

1) средняя арифметическая ( простая и взвешенная)

2) средняя гармоническая

3) средняя геометрическая (применяется чаще при исчислении средних темпов динамики)

4) средняя квадратическая (при исчислении показателей вариации)

Средняя арифметическая

Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признака у отдельных единиц, например, ФЗП = сумма заработной платы, выплаченной отдельным рабочим.

Среднее арифметическое получают делением суммы значений варьирующего признака на число этих значений.

a) простая

b) взвешенная

Среднюю арифметическую используют, когда частота у каждой варианты = 1

Три приема расчета средней арифметической (в зависимости от характера исходных данных):

1) если имеются значения варьирующего признака, полученные из наблюдения, то техника вычисления сводится к суммированию и делению.

2) чаще в статистической практике: имеется общий объем значений и численность единиц совокупности – деление (ФЗП и ср/сп. численность Þ ср. з/пл)

3) средняя арифметическая на базе вариационного ряда:

- дискретного (по формуле средней арифметической взвешенной)

- интервального

Для расчета средней в интервальном ряду надо перейти к дискретному ряду, т.е. по каждой группе исчисляется средняя по простой арифметической

При открытых интервалах (до 700руб.) берут значение последующего интервала или предыдущего.

Свойства средней арифметической

1) произведение средней на сумму частот равно сумме произведений вариант на частоты.

2) если от каждой варианты отнять какое-либо число, то новая средняя уменьшится на то же число

3) если к каждой варианте прибавить какое-либо число, то новая средняя увеличится на то же число

4) если каждую варианту разделить на какое-либо число, то средняя арифметическая уменьшится во столько же раз

5) если каждую варианту умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая увеличится во столько же раз

6) если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая от этого не изменится так как не изменится удельный вес каждой частоты

7) сумма отклонений вариант от средней арифметической всегда равняется 0

Эти свойства применяются для упрощения расчетов средней, особенно в интервальных рядах

, где , где

m₁ – момент первого порядка

i – величина интервала

A – произвольная постоянная величина, обычно центральная варианта ряда.

Такой способ расчета средней называется способом моментов или способом отсчета от условного нуля.

II. Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической, то есть рассчитанная из обратных значений признака. Применяется, когда веса приходится не умножать, а делить на варианты или умножать на их обратные значения.

, где w=x*f
Таблица 3.

Расчет среднего процента выполнения плана.

- если за веса взять факт, то есть нет данных по плану
(102,5%), то есть средняя гармоническая применяется, когда нет данных о частотах (весах) по отдельным вариантам, но есть информация об их произведении (варианты*частоты). В практике чаще применяется средняя гармоническая взвешенная (как в примере); бывает простой; она применяется, если произведения (объемы явлений) по каждому признаку равны, взяты за единицу.

III. Средняя геометрическая – средний показатель, который вычисляется как корень n-ой степени из произведения вариант х (х1,х2…)

IV. Средняя квадратическая – показатель вариации признака,