Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных статистических величин.

Богданов Ю.И.

Б.73 Физико- статистические основы квантовой информатики: учеб. пособие. М.ISBN 978-5-7256-0610-2: МИЭТ, 2010, 163 с.

Рассмотрено введение в новую область исследований, квантовую информатику, связанную с использованием законов квантовой физики для целей вычислений и связи.

Подробно описаны и проанализированы физико- статистические модели квантовых систем. Существенное внимание уделено фундаментальным аспектам квантовой информатики, таким, как статистический характер законов микромира, принцип дополнительности Н. Бора, неравенства Белла и др.

Пособие основано на курсе лекций, читаемом для студентов старших курсов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.

Предисловие

В настоящее время мы становимся свидетелями рождения новой фундаментальной научной дисциплины - квантовой информатики. Стимулом к рождению и развитию новой науки являются активно ведущиеся работы, основанные на применении квантовых систем к задачам вычислений и связи [1-6].

Следует отметить, что современные лазеры, твердотельные компьютеры и другие приборы также существенным образом базируются на законах квантовой физики. В чем же тогда специфика приборов квантовой информатики? Краткий (и упрощенный) ответ на этот вопрос может быть таким. Традиционные электронные приборы используют законы квантовой физики на уровне аппаратного обеспечения («железа»- hardware), новые же приборы квантовой информатики предполагают использование законов квантовой физики на уровне алгоритмов и программного обеспечения (software).

Технологическая революция XX века, связанная с использованием компьютеров, лазеров, ядерной энергии и других достижений физики, может быть названа первой квантовой революцией. Без преувеличения можно сказать, что развивающиеся в настоящее время методы и технологии квантовой информатики должны стать в XXI веке основой для новой (второй квантовой) технологической революции [5].

Оказывается, что использование законов квантовой теории не только на уровне “hardware”, но и на уровне “software” позволит квантовым компьютерам и приборам квантовой информатики решать задачи, недоступные никаким классическим компьютерам.

Направление квантовых вычислений стало активно развиваться после появления работ Р. Фейнмана [7,8]. Фейнман заметил, что моделирование квантовой физики на обычных компьютерах является экспоненциально сложной задачей. Отсюда он сделал вывод, что, возможно, компьютер, основанный на квантовых принципах вычислений, окажется экспоненциально более мощным по сравнению со своими классическими собратьями. Ранее аналогичные соображения высказывал Ю.И. Манин [9].

Среди основных разработанных (и частично реализованных на простых физических системах) квантовых алгоритмов отметим следующие: алгоритм формирования запутанного состояния, алгоритм Дойча- Джозсы (отличающий постоянные бинарные функции от переменных «сбалансированных» функций, имеющих различные значения для различных аргументов), алгоритмы квантовой телепортации и сверхплотного кодирования (dense coding), квантовый алгоритм поиска Гровера, квантовое дискретное преобразование Фурье и алгоритм факторизации П. Шора (разложение большого целого числа на простые множители) [10-12]. Среди наиболее важных результатов теории квантовых вычислений следует также отметить открытие универсального набора квантовых логических элементов (позволяющих выполнять любое унитарное преобразование-вычисление в системе квантовых битов- кубитов) [13,14], а также разработку квантовых алгоритмов коррекции ошибок [15].

Среди экспериментальных работ по реализации алгоритмов квантовой информатики отметим работы по таким направлениям, как квантовая телепортация и сверхплотное кодирование [16-18], а также приготовление белловских состояний [19,20].

Экспериментальные исследования по квантовому компьютингу ведутся в различных направлениях, среди которых отметим квантовую электродинамику резонаторов (КЭР) [21,22], линейные ионные ловушки [23-25] и ядерный магнитный резонанс (ЯМР)- жидкостной и твердотельный [26-28].

В настоящем учебном пособии мы стремились показать, что квантовая информатика является основой не только для грядущих технологических достижений. Не менее важно то, что новая научная дисциплина оказывает очень важное влияние на все теоретическое естествознание. Квантовая информатика позволяет лучше представить, что такое квантовая физика, понять природу случайности, дать содержательное естественно- научное истолкование таким понятиям, как информация, алгоритм, вычисление и др. Представления квантовой информатики могут существенно изменить физику, математику, информатику, химию, молекулярную биологию и другие естественные науки. Это будет уже не только технологическая, но и научная квантовая революция.

Учебное пособие состоит из пяти глав. В первой главе рассматривается вероятностная интерпретация векторов гильбертова пространства (на примере взаимно- дополнительных прямого и обратного преобразований Фурье). Основанный на квантовой информатике подход позволяет осветить с новых и более общих позиций некоторые вопросы классической математической статистики. Так, оказывается, что аппарат характеристических функций классической математической статистики содержит в себе в рудиментарной форме представление об операторе координаты в импульсном представлении и аналогичные представления об операторе импульса в координатном представлении. Однако, в отрыве от представлений квантовой информатики, классическая статистика содержит эти понятия в сильно завуалированном виде. Неполнота и ограниченность классической теории становится очевидной с более общих позиций квантовой информатики. С точки зрения принципов квантовой информатики недостаточность представлений классической математической статистики состоит в том, что последняя рассматривает только одно из возможных взаимно- дополнительных статистических распределений, игнорируя остальные. Использование квантовых представлений позволяет увидеть за распределениями вероятностей более простой и фундаментальный геометрический объект – вектор состояния.

Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с точностью статистических характеристик гильбертова пространства. Геометрический аппарат квантовой информатики делает совершенно естественным рассмотрение наряду с обычными для статистики координатными величинами других (импульсных) величин, связанных с производными по координатам. При таком подходе соотношение неопределенностей оказывается неравенством типа Коши- Буняковского. Наряду с элементарными сведениями по неравенству Коши- Буняковского и соотношению неопределенностей, в настоящей главе рассматриваются также соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона и многомерное обобщение соотношения неопределенностей Гейзенберга. Кроме того, основываясь на аппарате квантовой информатики, изучаются вопросы, связанные с информацией Фишера, неравенством Рао- Крамера и корневыми статистическими оценками.

В третьей главе формулируются постулаты квантовой информатики. Здесь выбор постулатов аналогичен аксиомам квантовой физики, изложенным в известной монографии М. Нильсена и И. Чанга [1], однако, в отличие от указанных авторов, в формулировке и интерпретации каждого постулата сделан акцент на его статистической природе. Тем самым подчеркивается, что постулаты квантовой информатики есть реализация программы, заложенной в известной 6-й проблеме Гильберта, которая направлена на построение особой теории вероятностей, основанной на геометрических понятиях и фундаментальных свойствах микромира. В качестве важного примера применения постулатов квантовой информатики рассматривается процедура перехода от классической механики к квантовой.

В четвертой главе принципы квантовой информатики прилагаются к описанию основных квантовых логических элементов. Рассматриваются произвольные унитарные вращения кубита, описываются элементы Паули, Адамара, управляемое НЕ (CNOT) и др. Представлена теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния, изучается важное для квантовой информатики явление запутанности квантовых состояний, описываются состояния Белла и анализируется неравенство Белла.

В пятой заключительной главе представлены некоторые фундаментальные квантовые алгоритмы, призванные продемонстрировать радикальное преимущество квантовой информатики над классической. Рассмотрены сверхплотное кодирование и телепортация, описан квантовый параллелизм, изучены алгоритмы Дойча, Дойча- Джозсы и квантового преобразования Фурье. Рассмотрены задачи нахождения периода функции и факторизации целых чисел, даны элементарные сведения по квантовой криптографии.

Данное учебное пособие написано для поддержки курса по физико-статистическим основам квантовой информатики, который читается для студентов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.

Для понимания содержания от читателя требуется знание математики и физики в объеме стандартных программ для технических университетов. Важная составная часть курса – это задачи. Их решение призвано дать читателю более глубокое понимание излагаемой теории и научить простейшим навыкам самостоятельной осмысленной работы в данной области.

Изменить окончание!

Автор благодарен академику К.А. Валиеву за поддержку, а также всем участникам семинара по физике квантовых компьютеров в Физико- технологическом институте РАН за обсуждение различных вопросов квантовой информатики. Особая благодарность В.В. Вьюркову, А.А. Кокину, С.П. Кулику, Ю.И. Ожигову, И.А. Семенихину и А.В. Цуканову, общение с которыми было очень полезным.

Информация Фишера

Рассмотрим квантовую систему, для которой пси- функция действительна: . Использование таких пси- функций представляет собой простейший способ дополнения классической плотности распределения до квантового состояния. Для такой системы средний импульс равен нулю, а квадрат импульса есть:

Здесь штрих означает производную по .

Введем информацию Фишера, связанную с дисперсией импульса:

Тогда соотношение неопределенностей запишется в виде следующего неравенства:

Полученное неравенство аналогично неравенству Рао- Крамера, рассматриваемому в следующем разделе

Неравенство Рао- Крамера

Рассмотрим снова ситуацию, когда плотность распределения дополняется до квантового состояния. Пусть распределение вероятностей и соответствующее квантовое состояние зависят от некоторого действительного параметра , т.е.:

.

Пусть есть несмещенная оценка неизвестного параметра , основанная на выборке объема в координатном пространстве, т.е. .

Условие несмещенности означает, что среднее значение (математическое ожидание) выборочной оценки совпадает с истинным значением параметра , т.е.

Примерами несмещенных оценок могут служить известные оценки математического ожидания и дисперсии [31]:

Пусть - оператор, канонически сопряженный параметру .

Нашей целью является вывод следующего соотношения, называемого неравенством Рао-Крамера:

Здесь введена информация Фишера, которая имеет вид:

Воспользуемся тем, что вектор состояния для выборки может быть определен следующим выражением

Проведем подробные вычисления. Пусть - кет вектор, где , как и ранее, произвольный действительный параметр, - соответствующий бра- вектор.

Заведомо неотрицательное выражение есть:

Здесь для сокращения записи мы полагаем, что ,

В развернутой записи имеем:

,

где

Можно показать, что . Для этого достаточно представить подинтегральное выражение с помощью формулы для производной произведения в виде

Интеграл от первого слагаемого равен нулю в силу несмещенности оценки. В результате, учитывая условие нормировки, получаем, что .

Из условия для дискриминанта получаем искомый результат – неравенство Рао-Крамера [38- 40]:

Заметим, что мы провели вычисления не только для предполагаемого случая действительных векторов состояния, но и для более общего случая комплексных пси- функций.

В этом случае информация Фишера есть:

Информация Фишера является аналогом дисперсии импульса и отличается от последней множителем 4 и тем, что под интегралом идет дифференцирование по параметру, а не по координате.

Для случая действительных пси- функций, как нетрудно показать, имеет место приведенное выше выражение для информации Фишера (6). При выводе следует воспользоваться легко проверяемым свойством аддитивности информации Фишера (информация от независимых представителей в раз превосходит информацию от одного представителя).

Полученное неравенство, очевидно, является наиболее сильным для случая, когда информация Фишера минимальна. Как и в случае соотношения неопределенности Гейзенберга, можно показать, что добавление произвольного фазового множителя к действительной пси- функции не может привести к уменьшению информации Фишера.

Выше мы видели, что соотношение неопределенностей из неравенства превращается в равенство для гауссова состояния. Аналогичный результат справедлив и для неравенства Рао- Крамера. Последнее превращается в равенство для оценок, имеющих нормальное распределение и только для них. Такие оценки называются эффективными.

Выше мы предполагали несмещенность статистической оценки. Однако, проведенные выкладки позволяют также получить более общее неравенство Рао- Крамера, пригодное и для смещенных оценок. В этом случае оно имеет вид:

(2.1)

где - смещение оценки. (2.2)

Заметим, что в представленном неравенстве слева вместо обычной дисперсии стоит величина, которая характеризует рассеяние выборочной оценки относительно истинного значения .

Задача 2.1 Обоснуйте неравенство Рао- Крамера (2.1)- (1.2), учитывающее возможную смещенность оценки.

Шестая проблема Гильберта

В знаменитом докладе Д. Гильберта «Математические проблемы», прочитанном 8 августа 1900 г. в Париже на 2-ом Международном конгрессе математиков, были сформулированы задачи, оказавшие существенное влияние на развитие математики и связанных с ней наук в XX веке.

Всего Гильберт поставил 23 проблемы, из которых для нас наибольший интерес представляет 6-ая проблема, сформулированная как «математическое изложение аксиом физики».

«С исследованиями по основаниям геометрии», говорится в докладе, «близко связана задача об аксиоматическом построении по этому же образцу тех физических дисциплин, в которых уже теперь математика играет выдающуюся роль: это в первую очередь теория вероятностей и механика.

Что касается аксиом теории вероятностей, то мне казалось бы желательным, чтобы параллельно с логическим обоснованием этой теории шло рука об руку строгое и удовлетворительное развитие метода средних значений в математической физике, в частности в кинетической теории газов» ([58] с.415).

Сегодня, по прошествии более ста лет с момента постановки задачи, можно сказать, что слова Гильберта, прозвучавшие на рубеже XIX и XX веков, были почти пророческими.

Примечательно, что математическая формулировка основ теории вероятностей связывается Гильбертом в единый конгломерат с наукой о микромире. В то время в роли таковой выступала молекулярно- кинетическая теория, основы которой были заложены Максвеллом и Больцманом. Заметим, что всего через несколько месяцев после Гильберта был прочитан еще один доклад, который положил начало новой (квантовой) эре. Этот доклад был прочитан М. Планком 14 декабря 1900 г. на заседании немецкого физического общества.

Гильберт в своем докладе говорит, что искомая аксиоматическая теория вероятностей должна быть построена по аналогии с геометрией. Геометрия гильбертова пространства, заложенная в работах Гильберта, Шмидта и других ученых, как раз, и есть, как мы видели, основа квантовой информатики.

Заметим также, что при построении физических аксиом по образцу аксиом геометрии, как считает Гильберт, «возможно возникнет принцип классификации, который сможет использовать глубокую теорию бесконечных групп преобразования Ли» ([58], с.416). Очевидно, что Гильберт оказался прав и в этом своем предсказании, поскольку важность групп Ли в современной квантовой теории хорошо известна.

Отметим, наконец, что в качестве важной задачи Гильберт видит математически строгое описание перехода от микромира к макромиру. Здесь, по мнению Гильберта, в основу может быть положена «книга Больцмана о принципах механики, в которой следовало бы строго математически обосновать и провести те изложенные в ней процессы предельного перехода, которые ведут от атомистического понимания к теории движения твердого тела» ([58] с.415). Несмотря на колоссальный прогресс, достигнутый в понимании микромира в XX столетии, вопрос математического обоснования соответствующего предельного перехода от описания микроявлений к описанию макромира все еще остается дискуссионным (см., например, [59]).

Постановка 6-ой проблемы Гильбертом не была просто гениальной догадкой одного выдающегося человека. Актуальность рассматриваемой задачи определялась состоянием науки на рубеже XIX и XX веков. Так, знаменитая H- теорема, направленная на механико- статистическое обоснование второго начала термодинамики, была сформулирована Больцманом еще в 1872 г. [60]. Эта работа вызвала жаркие многолетние дискуссии. С резкой критикой работы Больцмана выступили многие известные ученые, в том числе выдающийся математик и теоретик естествознания А. Пуанкаре. Проблема заключалась в том, что обратимость законов классической механики вступала в противоречие с необратимым характером второго начала термодинамики. Хотя с физической точки зрения ответы Больцмана на возражения против его теории были весьма убедительны, с принципиальной математической точки зрения вопрос оставался открытым. Любой симбиоз представлений классической механики и статистики неизбежно оказывался непоследовательным и внутренне противоречивым. Отметим, в то же время, что подход Больцмана к статистической термодинамике не был чисто классическим. В той же, посвященной H- теореме работе [60], Больцман за 28 лет до Планка использовал (в методических целях) представления о квантованном характере энергии. Как мы теперь понимаем, любые попытки объединения механики и статистики логически должны были вести к квантовым представлениям (пусть и в неявной форме, как у Больцмана). Таким образом, на рубеже XIX и XX столетий, Гильберту и другим ученым было ясно, что развитие механики, теории вероятностей и молекулярно- кинетической теории не могло далее проходить независимо. Прогресс науки настоятельно требовал объединения указанных разделов, однако такое объединение неизбежно оказывалось противоречивым. Формулируя свою знаменитую 6-ую проблему, Гильберт, вероятно, надеялся путем аксиоматизации снять имеющиеся трудности и получить единую универсальную непротиворечивую теорию. На роль такой теории, как мы видим сегодня, вполне может претендовать квантовая информатика.

Обсуждение

Рассмотрим коротко историю развития 6-ой проблемы Гильберта в XX веке.

Прежде всего, основываясь на своем тезисе о необходимости сочетания исследований по теории вероятностей с развитием кинетической теории газов, Гильберт применил свою теорию интегральных уравнений к кинетическому уравнению Больцмана. В рамках этих исследований Гильберту удалось найти эффективный способ приближенного решения кинетического уравнения [61]. Кинетическое уравнение Больцмана было для Гильберта примером такого уравнения, которое являлось интегральным по своей сути в том смысле, что не сводилось ни к каким дифференциальным уравнениям.

Возникновение квантовой механики, ознаменованное появлением 1925 г. работ В. Гейзенберга [62], Борна и Иордана [63], а также Гейзенберга, Борна и Иордана [64], побудило Гильберта заняться исследованием математических основ новой теории. Над этой задачей он работал совместно со своими ассистентами – фон Нейманом и Нордгеймом. Результаты исследований были опубликованы в работе [65], в которой авторы впервые попытались осмыслить принципы квантовой теории с математической точки зрения.

В свою очередь, сотрудничество с Гильбертом побудило фон Неймана к систематическим исследованиям по математическому обоснованию квантовой теории. Результатом работы, которая продолжалась несколько лет, стала книга [49]. Эта книга до сих пор считается основной среди работ, посвященных математическим аспектам квантовой механики. В своей монографии фон Нейман последовательно развил концепцию гильбертова пространства как арены, на которой развиваются квантовые события, ввел понятие матрицы плотности, развил теорию квантовых измерений, основанных на ортогональных разложениях единицы, провел исследование по обоснованию квантовой статистической механики.

Свое видение фундаментальных статистических основ квантовой механики фон Нейман попытался выразить в своей известной теореме о невозможности введения скрытых параметров в структуру квантовой теории. Эта теорема, по мнению фон Неймана, должна была обеспечить водораздел между квантовой и классической теориями статистики. Теорема о скрытых параметрах в течение долгого времени не вызывала никаких возражений, пока не была подвергнута жесткой критике со стороны Белла [66]. Позитивным итогом исследований Белла стали известные неравенства, носящие его имя. Эти неравенства показывают невозможность объяснения результатов статистических экспериментов над квантовыми объектами посредством концепции классического вероятностного пространства. С этой точки зрения неравенства Белла выражают в количественной форме то, что фон Нейман сформулировал в своей теореме на качественном уровне. Пример наиболее известного неравенства Белла будет рассмотрен в разделе 4.10.

Формальные математические инструменты, разработанные фон Нейманом, были существенно усовершенствованы и обобщены другими авторами. Так, в современной теории квантовых измерений рассматривают не только основанные на проекторах ортогональные разложения единицы, введенные фон Нейманом, но и общие разложения единицы. Соответствующие объекты называют положительными операторнозначными мерами (Positive Operator- Valued Measure - POVM). Техника POVM будет кратко описана в нижеследующем Приложении.

Современное изложение математических аспектов квантовой механики содержится в книгах А.С. Холево [36, 67, 68]. История аксиоматики классической теории вероятностей излагается в [69].

П. Приложение. Разложение Шмидта и формализм матрицы плотности.

Пусть вектор состояния (амплитуда вероятности) составной системы зависит от переменных двух подсистем. Оказывается, что вектор состояния составной системы может быть разложен по векторам, относящимся к отдельным подсистемам. Соответствующее представление называется разложением Шмидта [1,2,37]:

(3.18)

Здесь - весовые (заведомо неотрицательные) множители, удовлетворяющие условию нормировки

Мы предполагаем, что слагаемые в разложении (3.18) представлены в порядке убывания (невозрастания) коэффициентов .

Разложение Шмидта дает наглядный математический аппарат для исследования запутанности. Например, регистрация подсистемы №1 наблюдателем в состоянии означает, что подсистема №2 с необходимостью будет зарегистрирована (наблюдателем ) в состоянии (при том же самом ).

Функции (векторы) и называются модами Шмидта. Предположим, что каждая из подсистем описывается гильбертовым пространством размерности . Тогда, каждый из наборов функций и ( ) будет полным набором, образующим ортонормированный базис.

Опишем алгоритм численной экстракции мод Шмидта. Пусть матрица размера с элементами , задающими амплитуду вероятности найти подсистемы в базисных состояниях и соответственно. Введем матрицу следующего вида:

(3.19)

Найдем собственные функции и собственные значения матрицы . В результате, рассматриваемая матрица будет представлена в виде:

, (3.20)

Здесь - унитарная матрица, составленная из собственных векторов матрицы (каждый столбец матрицы есть некоторый собственный вектор матрицы ). Матрица есть диагональная матрица, составленная из собственных значений матрицы . Будем предполагать также, что выстроены на диагонали в порядке убывания (невозрастания).

Диагональные элементы матрицы есть искомые весовые множители разложения Шмидта. При этом мода дается - ым столбцом матрицы .

Для нахождения мод введем матрицу согласно формуле:

(3.21)

В задачах высокой размерности матрица , как правило, содержит элементы, практически равные нулю. Это может приводить к формальному делению на ноль при вычислении матрицы . Для предотвращения этого явления можно поступить двумя практически эквивалентными способами. Можно вводить небольшие ненулевые слагаемые ( например, порядка - ) в диагональ . Результаты фактически не зависят от уровня «малости» вводимых величин (они нужны только для того, чтобы избежать деления на машинный ноль). Те же результаты можно получить, если «урезать» размерность матрицы , оставив в ней на диагонали только заведомо ненулевых элементов (при этом в матрице также необходимо оставить только первые столбцов).

Теперь для получения моды остается только взять - ую строку матрицы .

С использованием матриц и матрица амплитуд вероятностей может быть записана в виде:

(3.22)

где - диагональная матрица, неотрицательные диагональные элементы которой расположены в порядке убывания (невозрастания). Разложение (3.22) есть сингулярное разложение матрицы (singular value decomposition, сокращенно- svd), а параметры - сингулярные значения (singular values) матрицы.

Представленный алгоритм показывает, что определение мод Шмидта есть самосогласованная по переменным подсистем процедура. Так, каждый столбец матрицы (каждая мода ) определяется с точностью до независимого несущественного фазового множителя. Добавление такого множителя, однако, приведет, согласно (3.21), к согласованному изменению фазы моды , запутанной с исходной модой.

Задача 3.1Явным расчетом покажите, что алгоритм, задаваемый формулами (3.19)- (3.22) действительно определяет разложение Шмидта (3.18) для составной системы.

Основная числовая характеристика, связанная с разложением Шмидта есть число Шмидта , которое характеризует эффективное число мод в разложении:

По своему определению, в силу условия нормировки для , число заведомо не ниже единицы (и равно единице только в том случае, когда в разложении Шмидта имеется единственное ненулевое слагаемое). В случае систем, описываемых конечномерным вектором состояния, число лежит в интервале , где - размерность гильбертова пространства квантовой подсистемы.

Наблюдатель , для которого доступна подсистема №1 и недоступна подсистема №2, не имеет возможности восстановить вектор состояния полной системы. Он вынужден ограничиться описанием подсистемы №1 посредством матрицы плотности:

Аналогично, наблюдатель , которому доступна только подсистема №2, имеет дело с матрицей плотности

Матрица плотности является инструментом неполного описания квантовых систем. Такое описание может быть искусственно домыслено (дополнено) до описания посредством вектора состояния. Например, наблюдатель , не имея возможности установить действительную систему №2, с которой запутана его система №1, может рассмотреть некоторую другую вспомогательную систему №2’ и соответствующий ей базисный набор . Вместо действительного вектора состояния составной системы , такой наблюдатель будет рассматривать некоторое другое состояние

Важно отметить, что в отношении описания отдельно взятой системы №1 векторы состояния и эквивалентны.

Унитарный оператор , действующий на переменные подсистемы, задает следующее преобразование матрицы плотности (здесь и далее мы опускаем индекс №1, идентифицирующий рассматриваемую подсистему):

Для оператора рассматриваемое преобразование эквивалентно квантовому уравнению Лиувилля (3.15) из раздела 3.2.

В формализме матрицы плотности принято рассматривать следующие обобщенные измерения над системой [36,67,68]. Предположим, что результатом измерения может быть один из исходов: . Вероятность исхода дается формулой

Здесь ( ) набор эрмитовых операторов, образующих POVM (положительную операторнозначную меру).

По определению, операторы неотрицательно определены:

Кроме того, предполагается, что рассматриваемые операторы задают разложение единицы

,

где - тождественный оператор (единичная матрица).

В силу эрмитовости и неотрицательной определенности, каждый оператор может быть представлен в виде:

,

где ( ) – некоторые операторы измерения.

Частным случаем операторов являются хорошо известные в квантовой механике ортогональные проекторы.

Пусть, например, задан ортонормированный базис