Сравнение нескольких дисперсий

Пусть признаки Х₁, Х₂, ..., Х_рраспределены нормально. Требуется при заданном уровне значимости по выборочным исправленным дисперсиям проверить нулевую гипотезу Н₀:D(Х₁) = D(Х₂) = ... =D(X_p) о равенстве всех дисперсий. Другими словами, требуется установить, значимо или незначимо различаются выборочные дисперсии. Пусть объем каждой выборки равен n.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем критерий Кочрена G - отношение максимальной исправленной дисперсии к сумме всех исправленных дисперсий

.

Если , то нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве дисперсий, где - критическая точка распределения Кочрена (приложение 4), - уровень значимости, n-1 - число степеней свободы, p - количество выборок. Если , то гипотезу отвергают.

Пример. Установить с уровнем значимости 5% факт влияния ставки таможенной пошлины на объем экспорта продукции в стоимостном выражении (тыс. долл.).

	Значение ставки пошлины
Номер наблюдения	5%	10%	15%

Решение. Вычислим групповые средние и исправленные дисперсии S²_j.

	Значение ставки пошлины
Показатель	5%	10%	15%
Средние,	29,00	22,57	14,57
Исправленные дисперсии, S2j	9,33	6,29	7,62

Чтобы воспользоваться дисперсионным анализом необходимо проверить гипотезу о равенстве дисперсий. Воспользуемся критерием Кочрена. Критическая точка распределения Кочрена =0,6771, S²_max=9.33, а критерий Кочрена G=0.4. Поскольку , гипотеза о равенстве дисперсий принимается.

Вычислим факторную и остаточную дисперсии , , а также критерий Фишера . По таблице для уровня значимости 5% находим критическую точку Фишера F_кр( )=3.55. Поскольку F_набл >F_кр( ), гипотеза о влиянии фактора принимается c уровнем значимости 5%.

Вывод Изменение таможенной пошлины влияет на стоимостные объемы экспорта данной продукции.

Приложение 1

Таблица значений функции

X	Ф (x)	x	Ф (x)	х	Ф (x)	x	Ф (x)
0,00	0,0000	0,24	0,0948	0,48	0,1844	0,72	0,2642
0,01	0,0040	0,25	0,0987	0,49	0,1879	0,73	0,2673
0,02	0,0080	0,26	0,1026	0,50	0,1915	0,74	0,2703
0,03	0,0120	0,27	0,1064	0,51	0, 1950	0,75	0,2734
0,04	0,0160	0,28	0,1103	0,52	0,1985	0,76	0,2764
0,05	0,0199	0,29	0,1141	0,53	0,2019	0,77	0,2794
0,06	0,0239	0,30	0,1179	0,54	0,2054	0,78	0,2823
0,07	0,0279	0,31	0,1217	0,55	0,2088	0,79	0,2852
0,08	0,0319	0,32	0,1255	0,56	0,2123	0,80	0,2881
0,09	0,0359	0,33	0,1293	0,57	0,2157	0,81	0,2910
0,10	0,0398	0,34	0,1331	0,58	0,2190	0,82	0,2939
0,11	0,0438	0,35	0,1368	0,59	0,2224	0,83	0,2967
0,12	0,0478	0,36	0,1406	0,60	0,2257	0,84	0,2995
0,13	0,0517	0,37	0,1443	0,61	0,2291	0,85	0,3023
0,14	0,0557	0,38	0,1480	0,62	0,2324	0,86	0,3051
0,15	0,0596	0,39	0,1517	0,63	0,2357	0;87	0,3078
0,16	0,0636	0,40	0,1554	0,64	0,2389	0,88	0,3106
0,17	0,0675	0,41	0,1591	0,65	0,2422	0,89	0,3133
0,18	0,6714	0,42	0,1628	0,66	0,2454	0,90	0,3159
0,19	0,0753	0,43	0,1664	0,67	0,2486	0,91	0,3186
0,20	0,0793	0,44	0,1700	0,68	0,2517	0,92	0,3212
0,21	0,0832	0,45	0,1736	0,69	0,2549	0,93	0,3238
0,22	0,0871	0,46	0,1772	0,70	0;2580	0,94	0,3264
0,23	0,0910	0,47	0,1808	0,71	0,2611	0,95	0,3289

Продолжение Приложения 1

x	Ф (x)	x	Ф (x)	x	Ф (x)	x	Ф (x)
0,96	0,3315	1,37	0,4147	1,78	0,4625	2,36	0,4909
0,97	0,3340	1,38	0,4162	1,79	0,4633	2,38	0,4913
0,98	0,3365	1,39	0.4177	1,80	0,4641	2,40	0,4918
0,99	0,3389	1,40	0,4192	1,81	0,4649	2,42	0,4922
1,00	0,3413	1,41	0,4207	1,82	0,4656	2.44	0,4927
1,01	0,3438	1,42	0,4222	1,83	0,4664	2,46	0,4931
1,02	0,3461	1,43	0,4230	1,84	0,4671	2,48	0,4934
1,03	0,3485	1,44	0,4251	1,85	0,4678	2.50	0,4938
1,04	0,3508	1,45	0,4265	1,86	0,4686	2,52	0,4941
1,05	0,3531	1,46	0,4279	1,87	0,4693	2,54	0,4945
1,06	0,3554	1,47	0,4292	1,88	0,4699	2,56	0,4948
1,07	0,3577	1,48	0,4306	1,89	0,4706	2,58	0,4951
1,08	0,3599	1,49	0,4319	1,90	0,4713	2,60	0,4953
1,09	0,3621	1,50	0,4332	1,91	0,4719	2,62	0,4956
1,10	0,3643	1,51	0,4345	1,92	0,4726	2,64	0,4959
1,11	0,3665	1,52	0,4357	1,93	0,4732	2,66	0,4961
1,12	0,3686	1,53	0,4370	1,94	0,4738	2,68	0,4963
1,13	0,3708	1,54	0,4382	1,95	0,4744	2,70	0,4965
1,14	0.3729	1,55	0,4394	1,96	0,4750	2,72	0,4967
1,15	0,3749	1,56	0,4406	1,97	0,4756	2,74	0,4969
1,16	0,3770	1,57	0,4418	1,98	0,4761	2,76	0,4971
1,17	0,3790	1,58	0,4429	1,99	0,4767	2,78	0,4973
1,18	0,3810	1,59	0.4441	2,00	0,4772	2,80	0,4974
1,19	0,3830	1,60	0,4452	2,02	0,4783	2,82	0,4976
1,20	0,3849	1,61	0,4463	2,04	0,4793	2,84	0,4977
1,21	0,3869	1,62	0,4474	2,05	0,4803	2,86	0,4979
1,22	0,3883	1,63	0.4484	2,08	0,4812	2,88	0,4980
1,23	0,3907	1,64	0,4495	2,10	0,4821	2,90	0,4981
1,24	0.3925	1,65	0,4505	2,12	0,4830	2,92	0,4982
1,25	0,3944	1,66	0,4515	2,14	0,4838	2,94	0,4984
1,26	0,3962	1,67	0,4525	2,16	0,4846	2,96	0,4985
1,27	0.3980	1,68	0,4535	2,18	0,4854	2.98	0,4986
1,28	0,3997	1,69	0,4545	2,20	0,4861	3,00	0,49865
1,29	0,4015	1,70	0,4554	2,22	0,4868	3,20	0,49931
1,30	0,4032	1,71	0,4564	2,24	0,4875	3,40	0,49966
1,31	0,4049	1,72	0,4573	2,26	0,4881	3,60	0,499841
1,32	0,4066	1,73	0,4582	2,28	0,4887	3,80	0,499928
1,33	0,4082	1,74	0,4591	2,30	0,4893	4,00	0,499968
1,34	0,4099	1,75	0,4599	2,32	0,4898	4.50	0,499997
1,35	0,4115	1,76	0,4608	2,34	0,4904	5,00	0,499997
1,36	0,4131	1,77	0,4616

Приложение 2

Критические точки распределения Стьюдента

	Уровень значимости (двусторонняя критическая область)
Число степеней свободы
0,10	0,05	0,02	0,01	0,002	0,001
	6,31	12,7	31,82	63,7	318,3	637,0
	2,92	4,30	6,97	9,92	22,33	31,6
	2,35	3,18	4,54	5,84	10,22	12,9
	2,13	2.78	3,75	4,60	7,17	8,61
	2,01	2.57	3,37	4,03	5,89	6,86
	1,94	2,45	3,14	3,71	5,21	5,96
	1,89	2,36	3,00	3,50	4,79	5,40
	1,86	2,31	2,90	3,36	4,50	5,04
	1,83	2,26	2,82	3,25	4,30	4,78
	1,81	2,23	2,76	3,17	4,14	4,59
	1,80	2,20	2,72	3,11	4.03	4.44
	1,78	2,18	2,68	3,05	3,93	4,32
	1,77	2,16	2,65	3,01	3,85	4,22
	1,76	2,14	2,62	2,98	3,79	4,14
	1,75	2,13	2,60	2,95	3,73	4,07
	1,75	2,12	2,58	2,92	3,69	4,01
	1,74	2,11	2,57	2,90	3,65	3,96
	1,73	2,10	2,55	2,88	3,61	3,92
	1,73	2,09	2,54	2,86	3,58	3,88
	1,73	2,09	2,53	2.85	3,55	3,85
	1,72	2.08	2,52	2,83	3,53	3,82
	1,72	2,07	2,51	2,82	3,51	3,79
	1,71	2,07	2,50	2,81	3,49	3,77
	1,71	2,06	2,49	2,80	3,47	3,74
	1,71	2,06	2,49	2,79	3.45	3,72
	1,71	2,06	2,48	2,78	3,44	3,71
	1,71	2,05	2,47	2,77	3,42	3,69
	1,70	2,05	2,46	2,76	3,40	3,66
	1,70	2,05	2,46	2,76	3,40	3,66
	1,70	2,04	2,46	2,75	3,39	3,65
	1,68	2,02	2,42	2,70	3,31	3,55
	1,67	2,00	2,39	2,66	3,23	3,46
	1,66	1,98	2,36	2,62	3,17	3,37
	1,64	1,96	2,33	2,58	3,09	3,29
	0.05	0,025	0,01	0,005	0,001	0,0005
	Уровень значимости критическая (односторонняя область)

Приложение 3

Критические точки распределения Фишера — Снедекора

(k₁- число степеней свободы большей дисперсии, k₂ - число степеней свободы меньшей дисперсии)

Уровень значимости =0,01
k2	k1
	98,49	99,01	99,17	99,25	99,30	99,33	99,34	99,36	99,38	99,40	99,41	99,42
	34,12	30,81	29,46	28,71	28,24	27,91	27,67	27,49	27,34	27,23	27,13	27,05
	21,20	18,00	16,69	15,98	15,52	15,21	14,98	14,80	14,66	14,54	14,45	14,37
	16,26	13,27	12.06	11,39	10,97	10,67	10,45	10,27	10,15	10,05	9,96	9,89
	13,74	10,92	9,78	9,15	8,75	8,47	8,26	8,10	7,98	7,87	7,79	7,72
	12,25	9,55	8,45	7,85	7,46	7,19	7,00	6,84	6,71	6,62	6,54	6,47
	11,26	8,65	7,59	7,01	6,63	6,37	6,19	6,03	5,91	5,82	5,74	5,67
	10,56	8,02	6,99	6,42	6,06	5,80	5,62	5,47	5,35	5,26	5,18	5,11
	10,04	7,56	6,55	5,99	5,64	5,39	5,21	5,06	4,95	4,85	4,78	4,71
	9,86	7,20	6,22	5,67	5,32	5,07	4,88	4,74	4,63	4,54	4,46	4,40
	9,33	6,93	5,95	5,4!	5,06	4,82	4,65	4,50	4,39	4,30	4,22	4,16
	9,07	6,70	5.74	5,20	4,86	4,62	4,44	4,30	4,19	4,10	4,02	3,96
	8,86	6,51	5,56	5,03	4,69	4,46	4,28	4,14	4,03	3,94	3,86	3,80
	8,68	6,36	5,42	4,89	4,56	4,32	4,14	4,00	3,89	3,80	3,73	3,67
	8,53	6,23	5,29	4,77	4,44	4,20	4,03	3,89	3,78	3,69	3,61	3,55
	8,40	6,11	5,18	4,67	4,34	4,10	3,93	3,79	3,68	3,59	3,52	3,45

Продолжение Приложения 3

Уровень значимости =0,05
k2	k1
	18,51	19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,36	19,37	19,38	19,39	19,40	19,41
	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,88	8,84	8,81	8,78	8,76	8,74
	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,09	6,04	6,00	5,96	5,93	5,91
	6,61	5,79	5,41	5.19	5,05	4,95	4,88	4,82	4,78	4,74	4,70	4,68
	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,21	4,15	4,10	4,06	4,03	4,00
	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,79	3,73	3,68	3,63	3,60	3,57
	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,50	3,44	3,39	3,34	3,31	3,28
	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23	3,18	3,13	3,10	3,07
	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14	3,07	3,02	2,97	2,94	2,91
	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	3,01	2,95	2,90	2,86	2,82	2,79
	4,75	3,88	3,49	3,26	3,11	3,00	2,92	2,85	2,80	2,76	2,72	2,69
	4,67	3,80	3,41	3,18	3,02	2,92	2,84	2,77	2,72	2,67	2,63	2,60
	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,77	2,70	2,65	2,60	2,56	2,53
	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2.70	2,64	2,59	2,55	2,51	2,48
	4,49	3,63	3.24	3,01	2,85	2,74	2,66	2,59	2,54	2,49	2,45	2,42
	4,45	3,59	3.20	2,96	2,81	2,70	2,62	2,55	2,50	2,45	2,41	2,38

Приложение 4

Критические точки распределения Кочрена

(k – число степеней свободы, l – количество выборок)

Уровень значимости =0,05
l		k
	0,9985	0,9750	0,9392	0,9057	0,8772	0,8534	0,8332
						0,5598
	0,8412	0,6338	0,5981	0,5440	0,5063		0,4564
	0,6798	0,5157	0,4377	0,3910	0,3595	0,3362	0,3185
	0,5410	0,3924	0,3624	0,2880	0,2624	0,2439	0,2299
	0,3434	0,2354	0,1907	0,1656	0,1493	0,1374	0,1286
	0,1737	0,1131	0,0895	0,0765	0,0682	0,0623	0,0583

Продолжение Приложения 4

Уровень значимости =0,05
l	k
	0,8159	0,8010	0,7880	0,7341	0,6602	0,5813	0,5000
	0,4387	0,4241	0,4118	0,3645	0,3066	0,2013	0,2000
	0,3043	0,2926	0,2829	0,2462	0,2022	0,1616	0,1250
	0,2187	0,2098	0,2020	0,1737	0,1403	0,1100	0,0833
	0,1216	0,1160	0,1113	0,0942	0,0743	0,0567	0,0417
	0,0552	0,0520	0,0497	0,0411	0,0316	0,0234	0,0167

Литература

1. Авторский коллектив (Лисов А.Ф.). Таможенная статистика. Учебное пособие выпуск. 1 - М: РИО РТА 1996

2. Авторский коллектив. ( Копылова О.Ф и др). Таможенная статистика. Учебное пособие. Выпуск 2. - М: РИО РТА 1997.

3. Вайну Я. Я.-Ф. Корреляция рядов динамики. М.: Статистика. 1977.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов. – М.: Высш. Шк., 1998.

5. Гусаров В.М. Статистика: Учебное пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.

6. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. -Общая теория статистики. Учебник.- М.:ИНФРА-М, 1996.

7. Теория статистики. Учебник. Под ред. проф. Р.А.Шмойловой.– 3-е изд., перераб. – М.: Финансы и статистика, 1999.

8. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности: Учебник/ Под редакцией О.Э. Башиной, А.А. Спирина.-М.:Финансы и статистика, 2000.

9. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник – М.: Финансы и статистика, 1995.

10. Практикум по теории статистики: Учебное пособие /под ред. Р.А.Шмойловой. – М.: Финансы и статистика, 1999.

11. Ефимова М.Р., Ганченко О.И., Петрова Е.В. Практикум по общей теории статистики: Учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 1999.

Журналы «Вопросы экономики», «Вопросы статистики», «Коммерсант», «Статистическое обозрение», газеты «Экономика и жизнь», «Финансовая газета».