Сложное отношение точек в координатах

Пусть на прямой l дан проективный репер . Рассмотрим А, В, С, D Îl

Пусть точка D в репере R имеет координаты D(х₁:х₂)

Определение 27

Число называется сложным (двойным или ангармоническим) отношением четырех точек и записывается (АВ, СD), т.е.

. (5.3)

Теорема 4 (о существовании и единственности точки D)

Если А, В, С – различные точки прямой, а l – любое действительное число, то на данной прямой существует одна и только одна
точка Х, такая, что (АВ, СХ)=l

Дано: прямая l, точки А, В, СÎ l,

l – действительное число,

Доказать: $(!)Х / ХÎ l, (АВ, СХ)=l

Доказательство.

На прямой l введем репер .

Рассмотрим точку Х(l; 1)

1) Существование.

По определению сложного отношения

Значит, точка Х, удовлетворяющая требованиям существует.

2) Единственность.

Предположим противное.

Пусть существует точка Х′(х₁; х₂),

такая, что (АВ, СХ′)=l.

Тогда по определению

Это означает, что точки Х(l; 1) и Х′(х₁; х₂) имеют пропорциональные координаты и задают на прямой l одну и ту же точку, т.е. Х=Х′

Теорема 5 (о координатах точки D)

Если точки А, В, С, D, принадлежащие прямой l, имеют в репере R координаты A(а₁:а₂), B(b₁:b₂), C(с₁:с₂), D(d₁:d₂), причем точки A, B, C различны и точка D не совпадает с точкой А, то

. (5.4)

Дано: произвольный репер R,

прямая l, точки А, В, С, D Î l,

Точки A, B, C различны, D≠А,

A(а₁:а₂)_R, B(b₁:b₂)_R, C(с₁:с₂)_R, D(d₁:d₂)_R

Доказать:

Доказательство.

Рассмотрим репер из данных точек . Запишем матрицу перехода от R к R₀:

, где – условие согласованности координат.

Найдем коэффициенты a, b:

, , ,

откуда по формулам Крамера

.

Запишем формулы преобразования при переходе от R к R₀:

.

Так как точка D(d₁:d₂)_R, и D(х₁:х₂)_R′, тогда формулы будут выглядеть так:

.

Откуда , , ,

откуда по формулам Крамера:

Тогда

Таким образом,

Теорема 2 позволяет вычислить сложное отношение по координатам точек и, наоборот, координаты точки D (х₁:х₂), если известно сложное отношение точек (АВ, СD).

Задача.

Дано: , А(1:0),В(1:1),С(0:1),D (d₁:d₂).

Найти: (АВ, СD).

Решение.

По теореме 2

(5.5)

Пример 1. Дано: ,

А(1:0),В(1:1),С(0:1), (АВ, СD)=2

Найти координаты точки D.

Решение.

Так как (АВ, СD)=2, то

.

Откуда D (1:–1)с точностью до пропорциональности.

Свойства сложного отношения (АВ, СD):

1. Двойное отношение обладает свойством симметричности

(АВ, СD)=(ВА, DС)

2. Сложное отношение не изменится от перестановки базисной и делящей пар точек

(АВ, СD)= (СD, АВ)

3. Если D=С, то (АВ, СС)=1

4. Если D=В, то (АВ, СВ)=0

5. Если (АВ, СD)<0, то пара АВ разделяет пару СD.

6. Если (АВ, СD)>0, то пара АВ не разделяет пару СD.

7. ,

если (АВ, СD)≠0

8. (АВ, СD)=(ВА, DС).

9. (АВ, СD)+(АС, ВD)=1.

Понятие разделенности пар точек не зависит от порядка рассматриваемых пар точек.

(Задание: свойства 3,4,7-9 самостоятельно «проверить на определителях»)

Геометрический смысл сложного отношения точек

Теорема 6

Если А, В, С, D – собственные точки расширенной прямой l, а Р_¥ – ее несобственная точка, то

, (8.1)

(АВ, СР_¥)= – (АВ, DР_¥), (8.2)

где и – простые отношения соотв. точек.

Доказательство

(по определению 2).

Можно показать, что это выполняется и по теореме 2.

Выберем репер .

Запишем координаты базисных точек:

Р_∞(1:0),А(0:1),В(1:1).

Пусть C(с₁:с₂), D(d₁:d₂). Пусть

, .

1) Тогда по формуле (7):

т.к. .

2) Если А(х₁:х₂) – проективные координаты точки и , то А(l) – аффинные координаты .

Тогда А(0), В(1), С(с), D(d) – координаты в аффинной системе координат .

(8.3)

,

,

(8.4)

Сложное отношение

Четырех прямых пучка

Определение 28

Простым отношением трех прямых пучка называют отношение

,

где прямая с – делящая, прямые а и b – основные (базисные).

Определение 29

Сложным (двойным или ангармоническим) отношением четырех прямых пучка называется отношение двух простых отношений прямых этого пучка

(8.5)

Точки А, В называют базиснойпарой, точки C, D – делящей парой.

(Задание 4: понятие сложного отношения четырех прямых пучка – с.32-34-Ат.)