Действия с приближенными числами

При решении физических задач редко приходиться иметь дело с точными числами. Значения физических величин, заданные в условиях задач, обычно являются приближенными, так как получены в результате измерений. Истинное же значение физической величины, как правило, абсолютно точно определить нельзя, что обусловлено ограниченной точностью измерительных приборов и несовершенством наших органов чувств. Поэтому результаты измерений дают не истинное, а приближенное значение измеряемой величины. Источниками приближенных чисел являются также некоторые математические операции, например:

1,414; ln 2 0,6931.

Приближенными являются многие константы, приводимые в справочниках. К примеру, при расчетах число π обычно принимают равным 3,14. Более точное значение этой величины π = 3,1416. Однако и это значение в свою очередь является приближенным, так как получено путем округления.

Приближенными являются и все вычисления, которые выполняют при решении физических задач. При таких расчетах необходимо соблюдать правила действий с приближенными числами.

Результатамиматематических операций с приближенными числами являются числа, которые могут содержать верные, сомнительные и неверные цифры. Верной цифрой обычно называют такую, погрешность которой не превышает половины единицы ее разряда. Сомнительная цифра – следующая за верной. Неверными считаются цифры, которые стоят справа от сомнительной (или двух сомнительных). Неверные цифры принято отбрасывать путем округления.

Правила округления

1. Если первая отбрасываемая цифра меньше пяти, то последняя сохраняемая цифра не изменяется (0,1438 ≈ 0,14).

2. Если первая отбрасываемая цифра больше пяти или равна пяти, но за ней стоят цифры отличные от нуля, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу (0,1468 0,15).

3. Если отбрасывается одна цифра пять, а следующие цифры нули
или неизвестны, то последняя сохраняемая цифра не изменяется,
если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная
(42,85 42,8; 42,75 42,8).

Экспоненциальная форма записи чисел

При выполнении расчетов часто используют экспоненциальную (показательную) форму записи чисел в виде ± М∙10 ^Е, где М – мантисса числа, Е – порядок. Если мантисса числа записана так, что в разряде единиц стоит цифра от 1 до 9, а все остальные цифры – в десятичных разрядах после запятой, то говорят, что число представлено в нормализованном виде. Например, число 0,000314 в экспоненциальной форме с нормализованной мантиссой записывают в виде 3,14∙10⁻⁴, число 2483 – в виде 2,483∙10³.

Количество значащих цифр в числе

К значащим относят все верные и сомнительные цифры. К незначащим – нули слева и те нули справа, которые заменяют отброшенные путем округления или неизвестные цифры. Например, в числе 0,00401 – 3 значащие цифры; в числе 8400 – 4 значащие цифры. Чтобы избежать недоразумений, не следует писать нули вместо отброшенных или неизвестных цифр. В этом случае принято использовать экспоненциальную форму записи чисел. Так число 8400, если оно имеет 2 значащие цифры, следует записать, например, как 84∙10² или 8,4∙10³ и т.п.

Для того чтобы можно было судить о точности приближенного числа, его необходимо записывать так, чтобы оно не содержало неверных цифр. Если по каким-то причинам неверные цифры не отброшены, они считаются незначащими.

Точность расчетов

При решении задач обычно используют микрокалькулятор или персональный компьютер, которые позволяют существенно сократить затраты времени на вычисления. Однако результаты расчетов, выполненных с помощью вычислительной техники, необходимо анализировать, так как не все цифры, которые будут получены, могут быть значащими. Проиллюстрируем это примером. Предположим, что необходимо выполнить расчеты по формуле

S = at ²∕ 2,

где а = 1,3 м/с²; t = 12,1 с.

В этой формуле число 2 – точное, а физические величины а и t являются числами приближенными. После подстановки числовых значений в расчетную формулу и вычислений можно получить такой результат:

S = 1,3∙12,1²∕ 2 = 95,1665 м.

Однако в полученном числе не все цифры являются достоверными. Действительно, в исходных данных последние значащие цифры являются сомнительными, так как могли быть получены, например, путем округления. Исходные значения величин могли быть такими: а = 1,34 м/с²; t = 12,14 с или а = 1,26 м/с²; t = 12,06 с. В результате вычислений могли быть соответственно получены следующие результаты:

S = 1,34·12,14²∕ 2 = 98,744332 м; S = 1,26·12,06²∕ 2 = 91,629468 м.

Сравнение результатов показывает, что они отличаются уже вторыми знаками слева. Следовательно, верным является только первый знак, второй – сомнительным. Остальные цифры не несут никакой информации и могут лишь ввести в заблуждение относительно высокой точности полученного результата. С учетом этого в рассмотренном примере результат следует округлить до двух значащих цифр, то есть считать, что S 95 м.

При выполнении математических операций с приближенным: числами необходимо соблюдать несколько правил.

1. При сложении и вычитании результат округляют так, чтобы он не имел значащих цифр в тех разрядах, которые отсутствуют хотя бы в одном из слагаемых. Например:

346 + 2,2 = 348,2 348.

2. При умножении и делении результат должен содержать столько значащих цифр, сколько их имеется в исходном числе с наименьшим количеством таких цифр. Например:

3,14·1,3 = 4,082 4,1.

3. При возведении в степень или извлечении корня любой степени, логарифмировании или вычислении какой-либо стандартной функции результат записывают с тем же количеством значащих цифр, какое содержит аргумент.

4. Для того чтобы исключить накопление погрешностей за счет округления, в промежуточных расчетах принято сохранять один лишний знак, который отбрасывают при записи окончательного результата.