Частные случаи расположения т-ек в пространстве

Т-ка А, расположенная в пространстве, наз-ся т-кой оригинала. На эпюре она отсутствует, но, если т-ка Î к какой-либо пл-ти пр-ий, то в этом случае точка-оригинал совпадает со своей проекцией.

Возьмём т-ку А, расположенную в горизонт. пл-ти пр-ий. _ её горизонт. пр-ия А₁ совпадает с А (А ≡ А₁). Фронт. пр-ия совпадает с осью Х₁₂ (А₂ ≡ А₁₂).

Аналогично рассм. т-ку В, расположенную на фронт. пл-ти пр-ий : В ≡ В₂ , В₁ ≡ В₁₂ .

Т-ка С одновременно Î и пл-ти П₁ и П₂.

Построение дополнительной профильной

Плоскости пр-ий

П₃ – профильная пл-ть пр-ий.

Пересечение П₁ и П₂ - ось Х₁₂,

Пересечение П₁ и П₃ - ось Y₁₃,

Пересечение П₂ и П₃ - ось Z₂₃.

А₃ – профильная пр-ия т-ки А.

О – т-ка пересечения осей.

Пл-ть П₁ развернём вниз, а пл-ть П₃ – назад. Ось Y раздваивается.

Развернув плоскости, получаем плоский чертёж.

На этом основан координатный способ построения т-ки.

Лекция 2

Линии. Изображение линии на эпюре Монжа.

Простейшим геометрическим образом является линия. В НГ приняты 2 способа образования линии:

1. Кинематический, т.е. линия рассматривается как траектория т-ки, непрерывно перемещающейся в пространстве.

2. Линия – это пересечение 2-х поверхностей.

На эпюре Монжа линия изображается двумя проекциями:

ℓ ₁

ℓ ₁ - горизонт пр-ия,

Х₁₂ ℓ ₂ – фронт. пр-ия.

ℓ ₂

Линии бывают плоские и пространственные.

Плоские линии – такие, все т-ки которых лежат в одной пл-ти (окружность, эллипс, гипербола, парабола и т.п.).

Пространственные – это линии, все т-ки которых не лежат в одной пл-ти (винтовая линия).

Для кривой линии вводится такая характеристика как порядок кривой. Порядок плоской кривой определяется числом т-ек пересечения её прямой линией.

Например, кривые II порядка: окружность, эллипс, гипербола.

Определитель линии

Определитель – это совокупность условий, задающих геометрический образ.

Определитель линии – это т-ка и направление её движения.

Частным случаем плоской линии является прямая линия. Определитель прямой – пара т-ек.

Изображение прямой общего положения на эпюре.

Если прямая не || и не ^ ни одной из пл-тей пр-ий – она наз-ся прямой общего положения.

Прямые частного положения.

Прямые частного положения – это прямые, параллельные или перпендикулярные какой-либо пл-ти пр-ий. Существуют 6 прямых частного положения, которые, в свою очередь, делятся на две группы:

1. Прямые уровня – это прямые, параллельные какой-либо плоскости пр-ий, их три:

f – фронталь h – горизонталь p-профиль. прямая

f || П₂ в простр-ве h || П₁ в простр-ве р || П₃ в простр-ве

f₂ – НВ на черт. h₁ – НВ на черт. р₃ – НВ на черт.

f₁ || оси Х₁₂ h ₂ || оси Х₁₂ р₁ и р₂ ^ Х₁₂ на черт.

φ - угол с пл-тью П₁ φ - угол с пл-тью П₂

2. Проецирующие прямые – это прямые, перпендикулярные какой-либо пл-ти пр-ий, их три:

АВ ^ П₁ в простр-ве СD ^ П₂ в простр-ве КL ^ П₃ в простр-ве

А₂В₂ ^ Х₁₂ и явл-ся НВ С₁D₁ ^Х₁₂ и явл-ся НВ K₂ L₂ и K₁L₁ || Х₁₂ и

на черт. на черт. явл-ся НВ на черт.

А₁≡ В₁ – т-ка С₂ ≡ D₂ – т-ка K₃ ≡ L₃ – т-ка

АВ-горизонт. проецир. СD-фронт. проецир. KL-профильно

прямая прямая проецир. прямая

Если в пространстве прямая расположена в пл-ти пр-ий, то на черт. одна из её пр-ий совпадает с осью Х₁₂

АВ Î П₂ – в пространстве CD Î П₁ – в пространстве

А₁В₁ ≡ Х₁₂ – на черт. С₂D₂ ≡ Х₁₂ – на черт.

Принадлежность т-ки линии.

Теорема : Т-ка принадлежит линии, если одноимённые пр-ии т-ки лежат на одноимённых пр-ях линии.

Следы прямой линии.

Определитель прямой m задаётся 2-мя т-ми: m (А, В).

m является прямой общего положения, т.е. произвольно наклонена к плоскостям пр- ий.

На прямой имеются характерные т-ки, т.е. следы прямой.

След прямой– это точка, в которой прямая пересекается с плоскостью пр-ий.

Прямая m пересекается с П₁ – получаем горизонт. след прямой М, и соответственно, пересечение прямой m с фронт. пл-тью пр-ий дает нам фронт. след прямой – N.

Фронтальная пр-ия N совпадает с N₂ , горизонт. пр-ия совпадает с N₁₂. И, соответственно М ≡ М₁ , М₂ ≡ М₁₂.