Принятые обозначения и символика

Лекция 1

Начертательная геометрия – это наука о способах изображения 3-х мерных форм на плоскости (чертеже).

Задачи НГ:

  1. изображение пространственных форм на плоскости;
  2. обратная задача: воссоздание по чертежу 3-х мерной модели
  3. способы решения позиционных, метрических и конструктивных задач.

Принятые обозначения и символика

1. Т-ки - прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, D… или цифрами 1, 2, 3, 4…

2. Прямые и кривые линии– строчными буквами латинского алфавита: a, b, c,d….

3. Поверхности (пл-ти – простейшая пов-ть) – прописными буквами греческого алфавита: Σ, Г,

4. Углы - строчными буквами греческого алфавита: α, β, γ…..

5. Линии уровня: горизонталь – h, фронталь – f

6. Основные операции:

∩- пересечение или сечение;

Принятые обозначения и символика - student2.ru- объединение, союз;

≡- тождество, совпадение ;

Î (Ï ) - принадлежность;

^ - перпендикулярность;

|| - параллельность;

Þ - результат действия;

−- касание;

Принятые обозначения и символика - student2.ru - перекрещивание, скрещивание

Требования, предъявляемые к чертежу:

1. Наглядность чертежа.

2. Обратимость чертежа, т.е. возможность определять по данному чертежу формы, размеры и положение в пространстве изображаемого предмета.

3. Точность построений чертежа.

4. Простота изображения.

В основе всех способов плоского изображения пространственных форм на плоскости, которые применяют при составлении чертежей, лежит операция проецирования.

Сущность операции проецирования

Принятые обозначения и символика - student2.ru В пространстве дан экран (пл-ть) П0, выбирается произвольная

точка А,

S – центр проецирования

А0 – проекция т-ки А на плоскость П0

Итак, чтобы получить проекцию т-ки на пл-ть проекций, необходимо из центра проекций и т-ку в пространстве провести проецирующий луч до пересечения с пл-тью проекций. Полученная т-ка наз-ся проекцией т-ки или изображением т-ки.

Эта простая задача лежит в основе НГ.

Обозначим все эти действия с помощью условных обозначений.

Дано: П0 и S

А А0 - ?

Решение: 1) S Принятые обозначения и символика - student2.ruА Þ SА - принцип проецирования

2) SА ∩ П0 Þ А0

Собственные элементы пространства (т-ка, прямая, пл-ть)- это элементы, расположенные на конечном расстоянии.

Несобственные элементы - это элементы, бесконечно удалённые от зрителя.

Собственная т-ка изображается след. образом: ° А

Принятые обозначения и символика - student2.ru

Несобственная задаётся направлением : А

Виды проецирования

В зависимости от положения т-ки S относительно пл-ти проекций, проецирование делится на 2 вида:

  1. Центральное проецирование

Принятые обозначения и символика - student2.ru

S – конечная т-ка (собственная).

А, В, С – произвольные т-ки, Î - щие линии ℓ.

Лучи создают коническую поверхность Σ, она пересекается с

плоскостью П1.

Σ ∩ П1

Σ Î ℓ. Þ ℓ11, В1, С1 ) – центральная проекция линии ℓ.

  1. Параллельное проецирование

Принятые обозначения и символика - student2.ru

Создали цилиндрическую поверхность Σ и решили ту же задачу, что и выше.

В свою очередь, параллельное проецирование делится на 2 вида, которые зависят от угла наклона проецирующих лучей к пл-ти проекций:

а)прямоугольное или ортогональное проецирование

Принятые обозначения и символика - student2.ru Каждый из лучей лежит относительно пл-ти П1 под углом 900.

б) косоугольное проецирование

Принятые обозначения и символика - student2.ru

φ - ∕ наклона проецирующего

луча к пл-ти проекций

Ортогональные проекции

(прямоугольные проекции или мет. Монжа)

Плоскости пр-ий

П3 – профильная пл-ть пр-ий.

Пересечение П1 и П2 - ось Х12,

Пересечение П1 и П3 - ось Y13,

Пересечение П2 и П3 - ось Z23.

А3 – профильная пр-ия т-ки А.

О – т-ка пересечения осей.

Пл-ть П1 развернём вниз, а пл-ть П3 – назад. Ось Y раздваивается.

Развернув плоскости, получаем плоский чертёж.

На этом основан координатный способ построения т-ки.

Принятые обозначения и символика - student2.ru

Лекция 2

Определитель линии

Определитель – это совокупность условий, задающих геометрический образ.

Определитель линии – это т-ка и направление её движения.

Принятые обозначения и символика - student2.ru

Принятые обозначения и символика - student2.ru Частным случаем плоской линии является прямая линия. Определитель прямой – пара т-ек.

Прямые частного положения.

Прямые частного положения – это прямые, параллельные или перпендикулярные какой-либо пл-ти пр-ий. Существуют 6 прямых частного положения, которые, в свою очередь, делятся на две группы:

1. Прямые уровня – это прямые, параллельные какой-либо плоскости пр-ий, их три:

Принятые обозначения и символика - student2.ru

Принятые обозначения и символика - student2.ru Принятые обозначения и символика - student2.ru

f – фронталь h – горизонталь p-профиль. прямая

f || П2 в простр-ве h || П1 в простр-ве р || П3 в простр-ве

f2 – НВ на черт. h1 – НВ на черт. р3 – НВ на черт.

f1 || оси Х12 h 2 || оси Х12 р1 и р2 ^ Х12 на черт.

φ - угол с пл-тью П1 φ - угол с пл-тью П2

2. Принятые обозначения и символика - student2.ru Проецирующие прямые – это прямые, перпендикулярные какой-либо пл-ти пр-ий, их три:

Принятые обозначения и символика - student2.ru Принятые обозначения и символика - student2.ru

АВ ^ П1 в простр-ве СD ^ П2 в простр-ве КL ^ П3 в простр-ве

А2В2 ^ Х12 и явл-ся НВ С1D1 12 и явл-ся НВ K2 L2 и K1L1 || Х12 и

на черт. на черт. явл-ся НВ на черт.

А1≡ В1 – т-ка С2 ≡ D2 – т-ка K3 ≡ L3 – т-ка

АВ-горизонт. проецир. СD-фронт. проецир. KL-профильно

прямая прямая проецир. прямая

Если в пространстве прямая расположена в пл-ти пр-ий, то на черт. одна из её пр-ий совпадает с осью Х12

Принятые обозначения и символика - student2.ru

АВ Î П2 – в пространстве CD Î П1 – в пространстве

А1В1 ≡ Х12 – на черт. С2D2 ≡ Х12 – на черт.

Принадлежность т-ки линии.

Принятые обозначения и символика - student2.ru

Теорема : Т-ка принадлежит линии, если одноимённые пр-ии т-ки лежат на одноимённых пр-ях линии.

Следы прямой линии.

Принятые обозначения и символика - student2.ru

Определитель прямой m задаётся 2-мя т-ми: m (А, В).

m является прямой общего положения, т.е. произвольно наклонена к плоскостям пр- ий.

На прямой имеются характерные т-ки, т.е. следы прямой.

След прямой– это точка, в которой прямая пересекается с плоскостью пр-ий.

Прямая m пересекается с П1 – получаем горизонт. след прямой М, и соответственно, пересечение прямой m с фронт. пл-тью пр-ий дает нам фронт. след прямой – N.

Фронтальная пр-ия N совпадает с N2 , горизонт. пр-ия совпадает с N12. И, соответственно М ≡ М1 , М2 ≡ М12.

Теорема о прямом угле.

Лекция 3

Плоскость

Пл-ть - частный случай поверхности на чертеже и задаётся определителем:

∑ ( Г, А ), где ∑ - обозначение пл-ти (поверхности);

Г, А - совокупность условий, задающих закон

образования плоскости.

Пл-ти могут быть заданы следующими определителями:

1. Принятые обозначения и символика - student2.ru Тремя т-ми, не лежащими на одной прямой. (тремя несовпадающими т-ми).

∑ (А,В,С)

2. Принятые обозначения и символика - student2.ru Прямой и т-кой, не лежащей на ней.

∑ (ℓ, А)

Принятые обозначения и символика - student2.ru

3.Двумя пересекающимися прямыми.

∑ (a ∩ b)

Принятые обозначения и символика - student2.ru

4. Двумя параллельными прямыми.

∑ (a || b)

Принятые обозначения и символика - student2.ru

5. Плоской фигурой.

∑ (D АВС)

Принятые обозначения и символика - student2.ru

6. Следами.

∑ ( ∑П1, ∑П2 )

Следы плоскости.

Следами пл-ти называются линии пересечения её с пл-ми проекций.

Принятые обозначения и символика - student2.ru

∑ - пл-ть общего положения

П1 – горизонтальный след пл-ти – это линия пересечения пл-ти ∑ с горизонт. пл-тью пр-ий.

П2 – фронтальный след пл-ти – это линия пересечения пл-ти ∑ с фронт. пл-тью пр-ий.

12 – т-ка схода следов.

В зависимости от того как расположена заданная пл-ть относительно пл-тей пр-ий, различают:

I. Пл-ти общего положения – пл-ть ни параллельная, ни перпендикулярная ни одной из пл-тей пр-ий. Все чертежи таких плоскостей были рассмотрены выше в классификации определителей.

Принятые обозначения и символика - student2.ru

II. Пл-ти частного положения:

1. Пл-ти уровня– это пл-ти, || -ые одной из пл-тей пр-ий, и ^-ые двум остальным пл-тям пр-ий (дважды проецирующие).

а) Пл-ть горизонтального уровня - || П1

Принятые обозначения и символика - student2.ru

б) Пл-ть фронтального уровня - || П2

Принятые обозначения и символика - student2.ru

в) Пл-ть профильного уровня -|| П3

Принятые обозначения и символика - student2.ru

Свойство пл-тей уровня:

Лекция 4

Преобразование чертежа.

В НГ решаются три группы задач:

1) конструктивные – задачи на построение геометрических фигур, отвечающих заданным условиям.

2) позиционные – это задачи на взаимное расположение геометрических образов.

3) метрические задачи – это задачи на определение натуральных величин расстояний, углов и самих геометрических элементов.

Для решения метрических задач, возникает необходимость преобразования чертежей, т.е. изменения их. Это позволяет перевести геометрический элемент из общего положения в частное, при котором он будет проецироваться на плоскости пр-ий без искажения.

Итак, рассмотрим 2 вида преобразования чертежа:

  1. перемена пл-тей пр-ий;
  2. вращение.

Лекция 5

Способ вращения.

При решении задач способом вращения положение заданных геометрических элементов изменяют путём вращения их вокруг проецирующей оси.

Соответствующий выбор оси вращения, направления вращения и угла поворота заданной системы геометрических элементов даёт возможность привести эту систему в частное положение относительно той или иной плоскости пр-ий, при котором поставленная задача будет решена или упростится её решение. В некоторых случаях для этой цели геометрические элементы приходится вращать дважды: сначала вокруг одной, а затем и второй оси вращения.

Базовые пл-ти пр-ий остаются неизменными. Относительно этих пл-тей пр-ий меняется положение геометрического элемента. Желательно, чтобы ось вращения проходила хотя бы через одну т-ку отрезка, который необходимо повернуть, т.е. одна т-ка – неподвижна, другая – вращается.

Принятые обозначения и символика - student2.ru Известно, что т-ка при вращении

её вокруг какой-либо оси

описывает траекторию, представ-

ляющую собой окружность, распо-

ложенную в плоскости, ^ -ой к

оси вращения.

Рассмотрим задачи:

Задача 1. Повернуть т-ку вокруг проецирующей оси i на 900 : а) по часовой стрелке, при этом ось вращения – фронтально проецирующая;

б) против часовой стрелки, ось вращения – горизонтально проецирующая (самост.).

Решение:

Принятые обозначения и символика - student2.ru

Задача 2. Определить НВ отрезка АВ вращением вокруг проецирующей оси.

Принятые обозначения и символика - student2.ru Решение:

Задача 3. Определить НВ Δ АВС вращением вокруг проецирующих осей.

Принятые обозначения и символика - student2.ru Решение:

Лекция 6

Поверхности

Поверхности рассматриваются как непрерывное движение линии в пространстве по определённому закону, при этом линия, которая движется в пространстве и образует поверхность, называется образующей, а неподвижная линия, по которой движется образующая – направляющей.

На черт. любая поверхность задается определителем– совокупностью условий и геометрических элементов. Определитель записывается в символической форме:

Принятые обозначения и символика - student2.ru Σ ( Г, m ), где Г – геометрический элемент, который движется в пространстве, m – условие.

Для изображения пов-ти необходимо иметь данные, позволяющие построить непрерывный каркас. Каркасом пов-ти наз-ся множество линий, заполняющих пов-ть.

Также на черт. для наглядности строится очерк поверхности – это пр-ия линии контура поверхности на пл-ти пр-ий. Очерк пов-ти отделяет видимую часть пов-ти от скрытой, невидимой части на данной пл-ти пр-ий.

Принятые обозначения и символика - student2.ru

Условно все поверхности в НГ разделены на 5 групп:

1. линейчатые поверхности;

2. винтовые поверхности;

3. поверхности вращения;

4. циклические поверхности;

5. графические поверхности.

Линейчатые поверхности.

Линейчатые поверхности образуются непрерывным движением прямойобразующей по некоторой направляющей, которая может быть прямой, ломаной или кривой линией.

1. Линейчатые поверхности с одной направляющей

И т-кой (вершиной)

Эти поверхности образуются движением прямой образующей, один конец которой проходит через неподвижную т-ку S, а второй - перемещается по направляющей m. В зависимости от того, какой линией является направляющая, образуется тот или иной вид поверхности.

Определительтакой поверхности имеет вид: Σ (S, m),

где S – конечная т-ка, m – направляющая.ъ

Поверхности, образующиеся в данной группе:

а) коническая поверхность образуется движением прямолинейной образующей ℓ, по криволинейной направляющей m и проходящей через одну фиксированную т-ку (вершину) S.

Принятые обозначения и символика - student2.ru

б) пирамидальная поверхность образуется движением прямолинейной образующей ℓ по ломаной направляющей m и проходящей через одну фиксированную т-ку (вершину) S.

Принятые обозначения и символика - student2.ru

в) цилиндрическая поверхностьобразуется движением прямолинейной образующей ℓ, по криволинейной направляющей m, при условии, что S бесконечно удалена. (т.е. все образующие двигаются относительно друг-друга параллельно)

Принятые обозначения и символика - student2.ru

г) призматическая поверхность образуется движением прямолинейной образующей ℓ по ломаной направляющей m, при этом S бесконечно удалена.

Принятые обозначения и символика - student2.ru

2. Поверхности, образованные 2-мя направляющими и пл-тью параллелизма

Поверхности данной группы образуются при движении в пространстве прямой образующей ℓ по двум направляющим m и n, оставаясь при этом параллельной заданной пл-ти Г, которая называется пл-тью параллелизма.

Принятые обозначения и символика - student2.ru

В данную группу входят следующие поверхности:

а) цилиндроид – поверхность, образованная движением прямой образующей ℓ ||-но плоскости параллелизма Г по двум криволинейным направляющим m и n, не лежащим в одной плоскости.

Принятые обозначения и символика - student2.ru

б) коноид образуется движением прямой образующей ℓ ||-но плоскости параллелизма Г по двум направляющим m и n, одна из которых является прямой линией, а вторая – какой-либо кривой.

Принятые обозначения и символика - student2.ru

в) гиперболический параболоид (гипар) образуется движением прямолинейной образующей ℓ ||-но плоскости параллелизма Г по двум прямолинейным направляющим m и n, представляющие собой две скрещивающиеся прямые.

Принятые обозначения и символика - student2.ru

Рассмотрим решение задач.

Задача 1: По заданному определителю построить каркас и очерк поверхности. Построить недостающую пр-ию т-ки А, принадлежащую данной поверхности.

Решение:

Итак, поверхность задана определителем Σ (S, m), S-конечная точка, проекция направляющей – ломаная линия, следовательно, это пирамидальная поверхность.

Принятые обозначения и символика - student2.ru

Винтовые поверхности.

Винтовые поверхности образуются при сложном винтовом движении прямой образующей, когда каждая т-ка этой образующей вращается вокруг неподвижной оси, а один конец этой образующей равномерно перемещается по этой оси. Т.е. это совокупность 2-х движений образующей – поступательного перемещения вдоль оси поверхности и вращательного вокруг оси.

Определительповерхности:

Σ (ℓ, i, H, φ ), где ℓ – образующая; i – ось; Н – шаг винтовой линий; φ - угол наклона образующей к оси.

Поверхность, образованная при вращательном поступательном движении прямой образующей, наз-ся геликоидом. В зависимости от угла наклона образующей к оси геликоид может быть прямой (φ = 900) и наклонный (φ ≠ 900). Если образующая пересекается с осью поверхности, геликоид называют закрытым (б), если не пересекается – открытым (а). (Поверхность пандусов многоэтажных гаражей и некоторых других зданий представляет собой прямой открытый геликоид).

Принятые обозначения и символика - student2.ru

Принятые обозначения и символика - student2.ru

Открытый геликоид Закрытый геликоид

Лекция 7

Лекция 8

Пересечение поверхностей.

Большое место в НГ уделяется решению позиционных задач, в которых рассматривается взаимная принадлежность геометрических образов относительно плоскостей проекций и друг друга.

Итак, к позиционным задачам начертательной геометрии относятся задачи на пересечение поверхностей.

Линия пересечения2-х поверхностей – это линия, каждая т-ка которой принадлежит одновременно обеим поверхностям. Строится она в общем случае методом вспомогательных секущих поверхностей или, иначе, методом посредников. В качестве посредников могут применяться пл-ти уровня, пл-ти общего положения, сферические поверхности и т.д. Это зависит от конкретных условий задачи.

Решение задачи упрощается, если обе поверхности или одна из них занимает частное положение в пространстве, т.е. являются проецирующими. В этом случае одна из пр-ий линии пересечения (ЛП) будет лежать на следе проецирующей поверхности, и задача сводится к построению недостающей пр-ии линии, лежащей на поверхности.

Свойство проецирующей поверхности:

Принятые обозначения и символика - student2.ru Если одна из пр-ий линии, принадлежит проецирующей поверхности, то другая проекция линии совпадает со следом этой поверхности

Конические сечения

Линии, образующиеся при пересечении прямого кругового конуса различными проецирующими плоскостями, называются коническими сечениями.

Возможны 5 сечений конуса:

а) окружность

Принятые обозначения и символика - student2.ru пл-ть Г ^ оси i и || основанию

m2 – линия, m2 ≡ Г П2

m1 – окружность

б) эллипс

Принятые обозначения и символика - student2.ru m2 – линия, m2 ≡ Г П2

пл-ть Г ∩ось i

m1 – эллипс

в) парабола

Принятые обозначения и символика - student2.ru

пл-ть Г || одной образующей

m2 – линия, m2 ≡ Г П2

m1 – парабола

г) гипербола

Принятые обозначения и символика - student2.ru

пл-ть Г || двум образующим,

т.е. || оси конуса

m2 – линия, m2 ≡ Г П2

m1 – гипербола

д) образующая

Принятые обозначения и символика - student2.ru пл-ть Г Î S (проходит через вершину)

Задача 6 Построить ЛП поверхностей вращения.

Принятые обозначения и символика - student2.ru

Решение:

∑ ∩ Г _ m – ЛП, m - ?

∑ ^ П1

m1 Î ∑П1 , m1 –окружность

.

Лекция 9

Лекция 10

Развёртки поверхностей.

Построение развёрток – это инженерная задача, встречающаяся при выполнении технических деталей из тонкого листового материала, например, кожух вентилятора, воздуховод, патрубки и колпаки в вентиляционной системе и т.д.

Итак, развёрткой поверхности наз-ся плоская фигура, получаемая при последовательном совмещении пов-ти с пл-тью, без образования складок и разрывов.

К развёртываемым линейчатым поверхностям относятся только три поверхности: цилиндрическая, коническая, торсовая.

Развёртки прямых круговых конусов и цилиндров могут быть выполнены точно. Боковая поверхность цилиндрапредставляет собой прямоугольник со сторонами Н, πD. Боковая поверхность конусапредставляет собой сектор круга, радиус которого равен ℓ - длине образующей конуса, а угол при его вершине j = 3600 R / ℓ.

Принятые обозначения и символика - student2.ru

Развёртки наклонного конуса и цилиндра – приближённые. В первый вписывается n – гранная пирамида, во второй – n –гранная призма.

Поверхности вращения (исключая конус и цилиндр) относятся к неразвёртываемым поверхностям. Для них строят условные развёртки, заменяя части этих поверхностей отсеками развёртываемых поверхностей.

Т.к. все элементы поверхности на развёртке изображаются в нат. величину, то построение её сводится к определению нат. величин элементов заданной поверхности.

Между поверхностью и развёрткой существует взаимооднозначное соответствие, т.е. каждой т-ке поверхности соответствует единственная т-ка на развёртке, и наоборот.

Свойства взаимооднозначного соответствия:

  1. Прямая на пов-ти переходит в прямую на развёртке.
  2. || - ые прямые на пов-ти переходят в || -ые прямые на разв-ке.
  3. Длины линий на развёртке и на поверхности равны.
  4. Площадь поверхности равна площади развёртки.

Лекция 1

Начертательная геометрия – это наука о способах изображения 3-х мерных форм на плоскости (чертеже).

Задачи НГ:

  1. изображение пространственных форм на плоскости;
  2. обратная задача: воссоздание по чертежу 3-х мерной модели
  3. способы решения позиционных, метрических и конструктивных задач.

Принятые обозначения и символика

1. Т-ки - прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, D… или цифрами 1, 2, 3, 4…

2. Прямые и кривые линии– строчными буквами латинского алфавита: a, b, c,d….

3. Поверхности (пл-ти – простейшая пов-ть) – прописными буквами греческого алфавита: Σ, Г,

4. Углы - строчными буквами греческого алфавита: α, β, γ…..

5. Линии уровня: горизонталь – h, фронталь – f

6. Основные операции:

∩- пересечение или сечение;

Принятые обозначения и символика - student2.ru- объединение, союз;

≡- тождество, совпадение ;

Î (Ï ) - принадлежность;

^ - перпендикулярность;

|| - параллельность;

Þ - результат действия;

−- касание;

Принятые обозначения и символика - student2.ru - перекрещивание, скрещивание

Требования, предъявляемые к чертежу:

1. Наглядность чертежа.

2. Обратимость чертежа, т.е. возможность определять по данному чертежу формы, размеры и положение в пространстве изображаемого предмета.

3. Точность построений чертежа.

4. Простота изображения.

В основе всех способов плоского изображения пространственных форм на плоскости, которые применяют при составлении чертежей, лежит операция проецирования.

Наши рекомендации