В. и. добролюбов в. а. никитин

В. И. Добролюбов В. А. Никитин

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Лабораторный практикум

Чебоксары 2009

УДК 531 (075.8) ББК22.21я73 Д563

Добролюбов, В. И. Теоретическая механика: лабораторный практикум / В. И. Добролюбов, В. А. Никитин. - Чебоксары : Чу­ваш, гос. пед. ун-т, 2009. - 56 с.

Печатается по решению ученого совета ГОУ ВПО «Чуваш­ский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева»

Рецензенты: Флегентов А. А., доцент, зав. кафедрой технологии и предпринимательства ГОУ ВПО «Чувашский государственный педа­гогический университет им. И. Я. Яковлева»;

Егоров В. П., канд. тех. наук, доцент кафедры эксплуатации сельскохозяйственных машин ФГОУ ВПО «Чувашская государ­ственная сельскохозяйственная академия»;

Никитин Г. А., канд. пед. наук, доцент, зав. кафедрой методи­ки преподавания технологии и предпринимательства ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева».

Практикум предназначен для проведения лабораторных работ по дисциплине «Автомобильные эксплуатационные материалы». Учебное издание адресовано студентам по специальностям 190603 Сервис транспортных и технологических машин и оборудования, 280104 Пожарная безопасность.

© Добролюбов В. П., Никитин В. А., 2009

© ГОУ ВПО «Чувашский государ­ственный педагогический уни­верситет им. И. Я. Яковлева», 2009

ВВЕДЕНИЕ

Изучение курса «Теоретическая механика» необходимо для приобретения знаний и навыков, правил, норм и методов конструирования, позволяющих рассчитать и подбирать, а также изучать устройства различных приводов, машин и механизмов.

Предлагаемое пособие предназначено для студентов заочной и дневной формы обучения по специальности: 190603 «Сервис транспортных и технологических машин и оборудования (автотранспорт)», 280104 «Пожарная безопасность». Оно имеет цель оказания им помощи в самостоятельном изучении таких тем, как статика, кинематика и динамика на примере расчёта и проектирования, ознакомления с основами конструкторского дела.

Выполнение лабораторных работ по теоретической механике базируется на знаниях физико-математических и общетехнических дисциплин: физики, математики, сопротивления материалов, технологии материалов, инженерной графики и др. Поэтому перед выполнением лабораторных работ следует вспомнить пройденный учебный материал по вышеназванным дисциплинам.

В основу методики выполнения лабораторных работ по­ложено их деление на ряд последовательно решаемых взаимо­связанных задач. Это создаёт необходимую ритмичность вы­полнения лабораторных работ, обеспечивает своевременность решения, как отдельных задач, так и выполнения всех лабора­торных работ. По каждой задаче показана последовательность её решения и приведены расчётные формулы.

Дисциплина ориентирует на техническое обслуживание транспортных и технологических машин и оборудования, её изучение способствует решению типовых задач в своей про­фессиональной деятельности.

Выполняя лабораторные работы, студенты должны решать следующие задачи:

- анализировать назначения и условия, в которых находится каждая исследуемая деталь;

- при исследовании использовать наиболее рациональное конструктивное решение с учётом технологических, монтажных, эксплуатационных и экономических требований;

- производить кинематические расчёты, определять силы, действующие на звенья узла, производить расчёты конструкций на прочность;

- решать вопросы, связанные с выбором материала и наиболее технологичных форм деталей;

- продумывать процесс сборки и разборки отдельных узлов и машины в целом;

- приобретать навыки использования справочной литературой при выборе конструкций и размеров деталей.

Задачи дисциплины продиктованы необходимостью фор­мирования у студентов знаний о статике, кинематике и динамике, и методах расчёта и проектирования конструкций.

Цели курса «Теоретическая механика» - изучение общих устройств, принципа работы, расчёта и проектирования кон­струкций.

1. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ ВЫПОЛ­НЕНИЯ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

Учебной программой по теоретической механике преду­смотрено выполнение лабораторных работ по каждой изучаемой теме.

Выполнение лабораторных работ определяет качественное и своевременное выполнение отдельных задач и работы в целом. Для этого рекомендуются следующий порядок подготовки и выполнения:

- в соответствии с содержанием задачи тщательно про­рабатывать теоретический материал по учебникам и конспектам;

- осмысливать цель задачи и изучать последовательность её выполнения;

- анализировать таблицы, графики, схемы и другие
справочные материалы, необходимые для решения задачи;

- добросовестно и внимательно относится к вычислении что допущенные ошибки в задаче приводят к серьёзным ос­ложнениям, ибо параметры, полученные в предыдущей задаче, являются, как правило, исходными данными для последующей задачи;

- решение задач осуществлять в последовательности, указанной в учебном пособии, что обеспечить правильность выполнения и постепенное накопление навыков конструкторской работы.

Выполненные работы представляют на проверку в уста­новленные сроки. После проверки принятые работы хранят на кафедре до начала экзаменационной сессии.

Если лабораторные работы содержат неверно выполненные задачи или значительное количество ошибок, то студент обязан вновь изучить рекомендуемый учебный материал, исправить допущенные ошибки и представить ее на повторную проверку.

Лабораторные работы выполняются на бумаге формата

А4.

Титульный лист отчёта оформляется чертежным шрифтом по ГОСТ 2.304-81. Он содержит следующие сведения:

1.Название учебного заведения (ГОУ ВПО Чувашский го­сударственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева).

2. Название факультета (Технолого-экономический факультет).

3. Название кафедры (Кафедра машиноведения).

4. Фамилия, имя и отчество студента и преподавателя.

5. Шифр студента (Номер зачетной книжки).

6. Название предмета (Теоретическая механика).

7. Год выполнения работы.

РАБОТА 1.

Порядок выполнения работы

Предметом исследования является пластина, вырезанная из тонкого стального листа. Пластина имеет вырез (рис. 1.3), ском­бинирована из фигур правильной геометрической формы. Для определения координат центра тяжести пластины провести сле­дующие работы.

1. Условно разбить пластину карандашом и линейкой на от­дельные фигуры правильной геометрической формы, для каждой из которых положение центра тяжести известно или легко можно вычислить.

2. Разместить заданную пластину в системе координат так, чтобы удобно было определять координаты центров тяжести ее частей.

3. Найти координаты центров тяжести каждой из фигур и вычислить их площади. При этом площадь, соответствующую вырезанной части тела, считать отрицательной. При определении

координат центров тяжести фигур использовать справочные ис­точники.

Рис. 1.3. Эскиз пластины для определения центра тяжести.

4. Результаты занести в таблицу и вычислить координаты центра тяжести пластины по формулам (1.3).

5. Найденное положение центра тяжести отметить на пластине соответствующим знаком.

6. Подвешивать тело на нити за различные его точки (для это­го предусмотрены на пластине отверстия). Отметить карандашом и линейкой направление нити на пластине после каждого подве­шивания и найти точку пересечения линий по этим направлениям.

7. Разместить заново пластину в системе координат так, как было в п. 2, и определить координаты точки пересечения линий по направлениям нити.

8. Вычислить погрешности опыта по формулам (1.4).

Содержание отчета

1. Номер и название работы.

2. Цель работы.

3.Эскиз пластины и схема ее разбивки на части для определения координат центра тяжести.

4. Результаты замеров и вычислений по форме:

Номера частей пластины	Координаты, мм	Площади частей пластины SK, мм2
хк	YK

5. Определение координат центра тяжести пластины по фор-

муле (1.3).

6. Вычисление погрешности опыта по формулам (1.4).

7. Выводы.

1.4. Контрольные вопросы

1. Что называется центром тяжести твердого тела?

2. От чего зависит положение центра тяжести однородного тела?

3. Зависит ли положение центра тяжести тела малых размеров от места нахождения в пространстве вблизи земной поверхности?

4. Может ли находиться центр тяжести вне пределов данного тела?

5. Правомерно ли использование формул (1.2) и (1.3) для оп­ределения центра тяжести неоднородных твердых тел?

РАБОТА.2.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТРЕНИЯ СКОЛЬ­ЖЕНИЯ

Цель работы - изучить методику определения коэффициента трения скольжения между

различными материалами.

Рис. 2.1. Схема к определению коэффициента трения скольжения между

Стержнем и шкивами.

Точку О , являющуюся серединой расстояния между осями шкивов, примем

за начало системы координат. Используя теоре­му о движении центра масс, составим

дифференциальное уравне­ние движения стержня в проекциях на ось ОХ в указанной систе­ме

координат:

mX_c=fN₁-fN_2t (2.1)

где Х_с- координата центра тяжести стержня.

Находим силы реакции связей N₁ и N₂ следующих уравнений равновесия стержня:

где l - расстояние между центрами шкивов. То есть

Подставив значения N₁ и N₂ в уравнение (2.1), после преобра­зований получим:

(2.2)

Сократив обе части равенства на т и вводя обозначениеK² = 2fg./l, приведем уравнение (2.2) к виду:

Х_с+К²Х_с=0 (2.3)

Как известно, общее решение этого дифференциального урав­нения имеет вид:

Х_с = С₁ sin kt + cos kt,

где С₁ и С₂ - постоянные интегрирования.

Если вместо постоянных C₁ и С₂ ввести постоянные А и α та­кие, что

С] = A cos а, С2 = A sin а, то получим:

Х_c = .A (sin kt • cos a + cos kt• sin a)

Или

X_c = A sin(kt + a) (2.4)

Дифференцируя это выражение по времени, получим:

Х_с = Ak cos(kt + a) (2.5)

Так как стержень начинает свое движение из состояния покоя при начальном смещении центра тяжести С от начала координат на величину Х₀, то начальными условиями для уравнений (2.4) и (2.5) являются:

t = 0,X_c = X_o,X_c = 0.

С учетом этих начальных условий из уравнений (2.4) и (2.5) получим:

Asinα = X₀,

Akcosα= 0. Откуда α=π/2, А= Х₀.

Тогда уравнение (2.4) примет конечный вид:

X_c = X₀coskt. (2.6)

Уравнение (2.6) представляет, собой уравнение гармоническо­го колебания стержня. Период колебаний его определяется по формуле:

(2.7)

Или с учетом получим:

Таким образом, зная период колебании стержня, расстояние между шкивами, можно определить коэффициент трения сколь­жения между материалами стержня и шкивов.

Содержание отчета

1. Номер и название работы.

2. Цель работы.

3. Схема к определению коэффициента трения скольжения

между стержнем и шкивами.

4. Результаты исследований по форме:

Номер опыта	Время пяти полных колеба­ний tt, с	Период колеба­ний Тi = τi / 5, с
Стержень №1	I
Среднее значение
Стержень №2	I
Среднее значение

5. Определение коэффициентов трения скольжения стержня по поверхности шкивов по формуле (2.7).

6. Выводы.

2.5. Контрольные вопросы.

1. Объясните причину гармонических колебаний стержня.

2. От каких факторов зависит период колебаний стержня?

3. От чего зависит амплитуда колебаний?

4. Оказывает ли влияние частота вращения шкивов на период колебаний стержня?

5. Грани стержня выполнены из разного материала. Произой­дет ли изменение периода и амплитуды колебаний, если стержень перевернуть на другую грань?

РАБОТА 3.

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ПОТЕРЬ В ЭЛЕК­ТРОДВИГАТЕЛЕ.

Цель работы - определение среднего значения момента сил сопротивления вращению ротора электродвигателя.

Порядок выполнения работы

1. Нажатием пусковой кнопки "Пуск" запустить электродви­гатель в работу.

2. При установившемся режиме работы электродвигателя за­мерить тахометром частоту вращения п₀„ ротора.

3. Вычислить угловую скорость вращения ротора по формуле:

_о

4. Нажатием кнопки "Стоп" отключить электродвигатель от сети питания, запустив одновременно в работу секундомер.

5. Зафиксировать время свободного вращения ротора до пол­ной остановки.

6. Определить по формуле (3.2) значение момента М_ср сил со­противления вращению ротора.

7. Действия, изложенные в п. 1, 2, 3, 4, 5 и 6, повторить три раза. Вычислить средние значения данных. Результаты занести в таблицу.

3.3. Содержание отчета

1. Номер и название работы.

2. Цель работы.

3. Схема к исследованию механических потерь в электродви­гателе.

4. Результаты исследований по форме:

Номер опыта	Частота вра­щения ротора п0, об/мин	Угловая ско­рость ротора а>о, рад/с	Время сво­бодного вращения ротора, с	Момент со­противления Мср, Нм
2 3
Сред, значен.

5. Выводы.

3.4. Контрольные вопросы

1. По какой причине ротор останавливается через некоторое время после отключения электродвигателя от сети питания?

2. От чего зависит время свободного вращения ротора после отключения электродвигателя от сети питания?

3. Назовите составляющие механических потерь в электро­двигателе.

4. Почему в правой части уравнения (3.1) значение момента представлено со знаком "-" ?

5. Какова зависимость момента сил сопротивления от частоты вращения ротора?

6. Какова зависимость времени свободного вращения ротора до полной остановки от его начальной угловой скорости ω₀?

РАБОТА 4.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛ МЕТО­ДОМ МАЯТНИКОВЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы - изучить методику определения момента инер­ции тел по законам маятниковых колебаний.

Рис. 4.1. Схема к исследованию маятниковых колебаний тела.

Полученное дифференциальное уравнение нелинейное, в обычных функциях не интегрируется. Поэтому ограничимся рассмотрением малых колебаний тела, считая угол φ малым и полагая sinφ ≈ φ. Тогда предыдущее уравнение примет вид:

+К²φ=0.

Решение этого уравнения ищем в виде: φ=cjsinkt + C2Coskt.

Полагая, что в начальный момент t=0 маятник отклонен на малый угол φ=φ₀ и отпущен без начальной скорости (φ₀= 0) ???, найдем для постоянных интегрирования c1=0 и c2=φо- Тогда за­кон малых колебаний маятника при данных начальных условиях будет

φ= φ₀ coskt.

Следовательно, малые колебания тела являются гармониче­скими. Период колебаний его, если заменить К значением из вы-ражения(4.1), определяется формулой:

T = 2π (4.2)

Откуда момент инерции тела

(4-3)

Используя формулу (4.2), можно также определить период колебаний соответствующего математического маятника. Для математического маятника, состоящего из одной материальной точки, справедливы равенства:

J_z= m₁l²,α =l,m=m₁

где -l - длина математического маятника; m₁ - масса математического маятника.

Подставляя эти величины в равенство(4.2), найдем, что пери­од малых колебаний математического маятника определяется формулой:

Если исследуемое тело и соответствующий ему математиче­ский маятник будут совершать колебания с равными периодами, то справедливо равенство:

Откуда

J_z = mla. (4.4) Таким образом, зная массу m тела, расстояние от оси подвеса

до его центра масс, длину -С соответствующего математического маятника, совершающего синхронные колебания с ним, можно определить момент инерции данного тела относительно оси под­веса по формуле (4.4).

Далее, момент инерции тела относительно оси OZ_h проходя­щей через его центр масс параллельно оси 02 , можно рассчитать, используя теорему Гюйгенса, т. е. по формуле:

J₁ =J₂- та². (4.5)

Порядок выполнения работы

1. Отцентрировать установку. Для этого при помощи регули­руемых опор 2 добиваются совмещения иглы 8 на шарике 7 с ост­рым индексом 9 на основании установки.

2. Подвесить исследуемое тело на призму, одев в отверстие на одном из его концов.

3. Отклонив исследуемое дело и математический маятник на небольшой угол (не более 10°), привести их в колебательное дви­жение.

4. Постепенным изменением длины математического маятни­ка добиваться синхронности колебаний его с исследуемым телом.

5. Замерить длину l математического маятника, расстояние а. от оси подвеса до центра масс исследуемого тела и определить массу т исследуемого тела.

6. Вычислить моменты инерции исследуемого тела относи­тельно оси подвеса и относительно оси, проходящей через центр масс, по соответствующим формулам (4.4) и (4.5).

7. Отклонив исследуемое тело на небольшой угол, снова при­вести его в колебательное движение. Замерить при помощи се­кундомера время 30 полных колебаний. Опыт повторить три раза. Результаты опытов занести в таблицу для подсчета момента инерции исследуемого тела относительно оси подвеса по формуле (4.3).

8. Провести сравнение значений момента инерции исследуе­мого тела, найденных по первому и второму способам.

9. Перевесить исследуемое тело другим концом и повторить действия, изложенные в п. 3, 4,5, 6, 7 и 8.

Содержание отчета

1. Номер и название работы.

2. Цель работы.

3. Схема к исследованию маятниковых колебаний твердого
тела.

4. Параметры исследований:
приведенная длина маятника -l -__ м;

расстояние от оси подвеса до центра масс исследуемого тела

α-____ м.

масса исследуемого тела т =_ кг.

5. Расчеты моментов инерции исследуемого тела, выполнен­
ные по соответствующим формулам (4.4) и (4.5).

Результаты исследований по определению моментов инерции

тела по второму способу по форме:

Но­мер опыта	Время три­дцати пол­ных колеба­ний tt, с	'Период ко­лебаний те­ла Т^ /30, с	Момент инерции тела, кг-м
Относи­тельно оси OZ	Относи­тельно оси OZ]
2 3
Сред, зна­чен.

7. Выводы.

4.5. Контрольные вопросы

1. Какие свойства тела характеризует момент инерции ?

2. От каких параметров тела зависит момент инерции ?

3. Какой маятник называется математическим ?

4. Что такое приведенная длина маятника ?

5. Относительно какой оси момент инерции тела имеет наи­меньшую величину ?

6. От каких факторов зависит период колебаний исследуемого тела ?

РАБОТА 5.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛ МЕТО­ДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы- определение момента инерции тел относитель­но нецентральных осей.

Содержание отчета

1. Номер и название работы.

2. Цель работы.

3. Схема к исследованию крутильных колебаний диска.

4. Результаты исследований по форме:

Номер опыта	Бремя тридцати полных коле­баний thc	Период колебаний T,= t,/30,c
	2
2 3	диска
Среднее значение
2 3	диска с эталонным телом
Среднее значение
2 3	диска с исследуемым телом
Среднее значение

5. Расчет момента инерции исследуемого тела по формуле (5.11).

6. Выводы.

5.5. Контрольные вопросы

1. Что называется моментом инерции тела относительно оси ?

2. Какие свойства тела характеризует момент инерции ?

3. Как изменится период колебаний диска, если удлинить его подвеску при том же сечении проволоки ?

4. Что характеризует крутильная жесткость и какова ее еди­ница измерения ?

5. Относительно какой оси определяется момент инерции ис­следуемого тела в данном опыте?

6. Можно ли на данной лабораторной установке определить момент инерции несимметричных тел ?

РАБОТА 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛ МЕТО­ДОМ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА

Цель работы - изучение методики определения момента инерции тел методом трифилярного подвеса.

Порядок выполнения работы

1. Замерить длину I нитей подвески и расстояние а от центра диска до точек крепления нитей подвески.

2. Определить массы диска и исследуемых тел.

3. Сообщить диску свободные крутильные колебания, повер­нув его вокруг вертикальной оси на малый угол (р (не более 10*)и отпустив без начальной скорости.

4. Замерить при помощи секундомера время 30 полных коле­баний. Опыт повторить три раза. Результаты занести в таблицу для подсчета периода крутильных колебаний диска.

5. Вычислить момент инерции диска по формуле (6.8).

6. Установить на диске исследуемое тело так, чтобы его центр масс также лежал на оси OZ, и повторить действия, изложенные в п. 3 и 4.

7. Вычислить момент инерции диска с грузом по формуле (6.9).

8. Вычислить искомый момент инерции исследуемого тела по формуле (6.10).

9.

Содержание отчета

1. Номер и название работы.

2. Цель работы.

3. Схема трифилярного подвеса тела для определения момента инерции.

4. Результаты исследований по форме:
длина нитей подвески I =__ м;

расстояние от центра диска до точек крепления нитей под­
вески а =___ м;

масса диска т =__ кг;

масса груза т, =__ кг.

Номер опыта	Время тридцати полных коле­баний tt, с	Период колебаний Tt= t/30, с
2 3	диска
Среднее значение
1 2 3	диска с исследуемым грузом"
Среднее значение

5. Результаты расчетов моментов инерции диска, диска с ис­следуемым телом и исследуемого тела, выполненных по соответ­ствующим формулам (6.8),(6.9) и (6.10).

6. Выводы.

6.5. Контрольные вопросы

1. В чем заключается причина возникновения крутильных колебаний диска ?

2. Чем объясняется изменение периода колебаний диска после прикрепления к нему исследуемого тела ?

3. От каких факторов зависит круговая частота колебаний диска ?

4. Относительно какой оси определяется момент инерции ис­следуемого теля в данном опыте ?

5. Зависит ли период крутильных колебаний диска от места нахождения на нем исследуемого тела ?

6. Какие факторы влияют на точность определения момента инерции тел данным методом.

РАБОТА 7.

Рис 7.1. Схема к исследованию динамических реакций опоры.

Присоединим к ним силы инерции маятника, приведя их к центру О . Силы инерции представлены двумя составляющими

и , а. также парой с моментом М₀. Модули их имеют зна­чения:

(7.1)

(7.2)

(7.3)

где l - длина стержня маятника (l = ОВ);

ω, ε - угловая скорость и угловое ускорение маятника.
Составляя для этой плоской системы сил уравнения равновесия и получим:
x₀-psinφ + = 0, (7.4)

y₀-pcosφ-R =0, (7.5)

(7.6)

Отсюда реакции опоры

x₀-psinφ -R =0, (7.7)

y₀-pcosφ+ R^u_n=0. (7.8)

В выражениях (7.7) и (7.8) составляющие р sinφи pcosφ

являются проекциями статической реакции, а и - проекциями динамической реакции. Как видно из выражений (7.1) и(7.2) проекции динамической реакции зависят от угловой скоро­сти ω, углового ускорения е маятника.

Для определения угловой скорости маятника в произвольном положении воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Учитывая, что при ω = ω₀ кинетическая энергия маятника Т₀ = 0, получим:

Откуда, приняв J₀=pl² /g, находим:

ω² = 2g(cos φ - cos φ₀)/l . Угловое ускорение s получим из выражения (7.6), предварительно заменив его выражением (7.3), т. е. по формуле:

е = gsinφ/l

При найденных значениях ε и ω² равенства (7.1) и (7.2) при­мут вид:

R = р sinφ,

R^u_n = 2_p(cosφ- cosφ₀)

Тогда модуль динамической реакции определяется по Формуле:

(7.9)

Как видно из выражения (7.9), динамическая реакция является величиной переменной. В момент, когда маятник проходит положение устойчивого равновесия (φ = 0) динамическая реакция примет максимальное значение, т. е. выражение (7.9) пред­ставится в виде:

R_g = 2р (1- cos φ₀)

Порядок выполнения работы

1.Настроить индикатор на "ноль" при покоящемся маятнике в положении устойчивого равновесия.

2. Оттарировать пружину. Для этого последовательно подве­шивать к маятнику грузы массой 0,5 , 1 , 1,5 кг. В каждом случае фиксировать показания индикатора и определять силу тяжести груза в Н по формуле p_r = mg ( здесь т- масса груза, g - ускорение свободного падения). По полученным данным построить та-рировочный график зависимости показаний индикатора от при­ложенных сил тяжести п =f(p_r)-

3. Отвести маятник на угол (р₀ = 15° от положения устойчиво­го равновесия и дать маятнику возможность совершать свободные колебания. В процессе колебаний зафиксировать наибольшее отклонение стрелки индикатора и определить величину соответ­ствующей ему динамической реакции tf_g по тарировочному гра­фику.

4. Сказанное в п. 3 повторить при отклонениях маятника на угол φ₀ = 25°, φ₀ = 35°и φ₀ = 45°. Данные занести в таблицу.

5. При заданных значениях φ₀ = 15°, φ₀ = 25°, φ₀ = 35° и φ₀ = 45° вычислить теоретические значения динамической реакции R_g по формуле (7.10).Результаты занести в таблицу и сравнить с экс­периментальными значениями динамической реакции R_g.

6. Определить относительное расхождение опытных данных от теоретических в процентах по формуле:

%

7.4. Содержание отчета

1. Номер и название работы. •

2. Цель работы.

3. Схема лабораторной установки для исследования динами-

ческой реакции опоры (рис. 7.2).

4. Тарировочный график п =f(p_r).

5. Результаты исследований по форме:

Номер опыта	Началь­ный угол отклоне­ния маят­ника сро	Показание индикато­рам	Значение динамиче­ской реакции, Н	относительное расхождение опытных дан­ных от теоре­тических 5, %
экспери­менталь­ное Кg	теоретиче­ское
1 2 3 4	15° 25° 35° 45°

6. Выводы.

7.5. Контрольные вопросы

1. От каких величин зависит динамическая реакция ?

2. В каком положении маятника динамическая реакция опоры максимальна ? Почему ?

3. Почему динамическая реакция опоры возрастает с увели­чением размаха колебаний ?

4. Зависит ли динамическая реакция опоры от длины стержня маятника ?

5. Когда динамическая реакция опоры равна 0 ?

РАБОТА 8.

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИИ МАТЕ­РИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Цель работы - экспериментально проверить теорию свобод­ных колебаний точки.

8.1. Теоретическое обоснование работы

Исследуем колебательное движение тела (материальной точки ), подвешенного на пружине, как показано на рис. 8.1,.

Рис. 8.1. Схема к исследованию свободных колебаний материальной точки.

На материальную точку М массы в любом промежуточном положении действуют сила тяжести mg и сила упругости пружи­ны F , Проекция силы F на ось ОХ согласно закону Гука

F_x=c(X_cm+x)

где с - жесткость пружины;

- деформация пружины под действием силы тяжести тела в положении равновесия;

х - координата материальной точки в промежуточном положении.

Найдем закон движения материальной точки М. Составляя дифференциальное уравнение движения в проекции на ось ОХ, получим

mх=mg-с( ⁺х)-

Учитывая mg = c уравнение (8.1) представим в виде:

Деля обе части равенства на т и вводя обозначение
с/т = к , (8.2)

окончательно получим:

х + к х = 0-

Уравнение (8.3) представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний точки. Решение этого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка ищем в виде х = e^nt. Полагая в уравнении (8.3) х = е^п', получим для определения п характеристическое уравнение п² +-к² = 0 . Поскольку корни этого уравнения являются чисто мнимыми (n_1,2 = ±ik), то, как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (8.3) имеет вид:

х = c₁ sinkt + с₂ coskt,

где c₁ и сг - постоянные интегрирования.

Если вместо постоянных c₁ и с₂ ввести постоянные А я а, та­кие, что с = Acos а, с2 = Asin а, то получим

x=Asin(Kt+a) (8.4)

(здесь А - амплитуда гармонических колебаний, а - начальная фаза).

Продифференцировав уравнение (8.4), получим скорость точ­ки в рассматриваемом движении:

v_x = Ak cos (Kt+ a) (8.5)

Параметры колебаний А и а определяются по начальным ус­ловиям. При t = 0 х = х₀, х = v₀. Тогда

x₀ = Asina (8.6)

= Akcos a, (8.7)

Решая совместно выражения (8.6) и (8.7), находим:

A= (8.8)

α=arctg . (8.9)

Промежуток времени Т , в течение которого точка совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний. По ис­течении периода колебаний фаза меняется на 2л. Следовательно, должно быть кТ= 2х, откуда

Т = 2π , (8.10)

к = 2π/Т (8.11)

Анализируя выражения (8.8), (8.9) и (8.10), приходим к выво­ду, что амплитуда колебаний А к начальная фаза а зависят от со­стояния системы в начальный момент, период колебаний зависит от массы тела m и от жесткости пружины с. На период колебаний не влияют ни амплитуда, ни начальные условия.

Из выражения (8.10) можно вычислить жесткость пружины, т. е.

с = 4тπ:²/Т² (8.12)

Жесткость пружины можно определить также, измерив вели­
чину растяжения пружины в состоянии статического равновесия
под действием силы тяжести груза, т. е. из соотношения:
c = 4m/.λ_ст (8.13)

Порядок выполнения работы

8.4.

1. Подвесить к пружине исследуемый груз (масса указана на нем).

2. Определить по шкале статическое удлинение l_cm пружины

3. Определить жесткость пружины по формуле (8.13).

4. Отклонить груз от положения равновесия на расстояние х₀

(х₀ брать от 30 до 100 мм).

5. Замерить амплитуду колебаний груза (точки М), как поло­вину размаха колебаний.

6. Замерить при помощи секундомера время 10 полных коле­баний.

7. Действия, изложенные в п. 4, 5, 6, повторить три раза. Ре­зультаты исследований занести в таблицу для вычисления периода колебаний.

8. Вычислить период колебаний системы по формуле (8.10) и сравнить с опытным значением.

9. Вычислить круговую частоту колебаний по формуле (8.11).

10. Определить начальную фазу а по формуле (8.9).

11. Найти закон движения точки М, подставив полученные значения А , к и а в уравнение (8.4).

12. Построить график зависимости х = f(t) по найденному за кону движения точки М.

Содержание отчета

1. Номер и название работы.

2. Цель работы.

3. Схема к исследованию свободных колебаний материальной точки.

4. Результаты исследований по форме:

статическое удлинение λ_с=___ м;

амплитуда колебаний А =__ м;

жесткость пружины с =__ Н/м;

круговая частота колебаний к =__ с";

начальная фаза колебаний а =__ рад.

Номер опыта	Время десяти полных ко­лебаний tt. с	Период колебаний Т, = t/10, с
1 2 3
Среднее значение

5. График зависимости х =f(t).

6. Выводы.

8.5. Контрольные вопросы