Кривизна и радиус кривизны траектории

Кривизна кривой где – угол поворота касательной к кривой на участке длиной .

Радиус кривизны - величина, обратная величине кривизны:

Радиус кривизны окружности есть радиус этой окружности; радиус кривизны прямой бесконечно велик. Радиус кривизны измеряется в метрах.

Точка нормали, отстоящая от данной точки траектории в направлении вогнутости кривой на расстояние , называется центром кривизны кривой, соответствующим данной точке кривой. Геометрическое место центров кривизны образует эволюту исходной кривой (evolutus (лат.)– развернутый; voluto – катать, катить). Исходная кривая является эвольвентой относительно своей эволюты (evolventis – разворачивающий).

Если аппроксимировать траекторию на участке (рис. 2) дугой окружности, то её центр лежит в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных из середин хорд и . Предельное положение точки при условии , когда , есть центр кривизны траектории в точке М.

Если с катушки радиуса R сматывать нить, сохраняя отмотанную часть прямой, то конец нити опишет эвольвенту окружности, соответствующую той точке, с которой начал сматываться конец нити. На рис. 3,а изображена эвольвента окружности радиуса , соответствующая крайней правой начальной точке при сматывании нити против часовой стрелки. Параметрические уравнения этой эвольвенты

При эта кривая приближается к спирали Архимеда, уравнение которой в полярных координатах .

а б в

Рис. 3. Эвольвента окружности (а). Винтовые линии

Зубцы колес большинства зубчатых передач имеют эвольвентный профиль, благодаря чему минимизируется скольжение зубца по зубцу и упрощается изготовление самих зубчатых колес. Основу профилей зубцов составляют эвольвенты («развертки») основных окружностей зацепляющихся колес (см. «Теорию машин и механизмов»).

1.1.15. Естественный (сопровождающий) трехгранник (натуральный триэдр, репер Френе) - трехгранник, ребрами которого служат касательная, нормаль и бинормаль кривой. Орт бинормали определяется как ; тогда и . Соприкасающаяся плоскость проходит через касательную и нормаль. Плоскость, содержащая нормаль и бинормаль, называется нормальной плоскостью, а плоскость, содержащая бинормаль и касательную, - спрямляющей. Естественный трехгранник ориентирован в пространстве соответственно форме кривой. При движении точки трехгранник движется вместе с ней, поворачиваясь в пространстве. Угловая скорость натурального триэдра при равномерном движении точки вдоль ее траектории со скоростью, равной единице, называется вектором Дарбу.

Пространственной кривая независимо от её расположения относительно окружающих предметов может быть описана путем задания в каждой точке ее кривизны и кручения (греч. «каппа»).

.

Величина кручения где – угол поворота натурального репера вокруг касательной на участке длиной .

Имеют место формулы Серре – Френе:

, , .

Кривизна – положительный параметр. Кручение «правой» винтовой линии, изображенной на рис. 3, б, положительно. Кручение «левой» (рис. 3, в) – отрицательно.

1.1.16. Равнопеременное движение точки определяется условием ; тогда имеют место формулы:

При равномерном движении .