Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс

Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru и импульс Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru , относительно точки (центра) О, называется векторное произведение радиус-вектора и импульса частицы:

Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru . (1.3.43)

Направление Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru определяется правилом правого винта.

Векторное произведение любых векторов определяется следующим образом:

Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru .

Закон изменения момента импульса:

Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru . (1.3.44)

Здесь Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ruмомент силы.

* Скорость изменения момента импульса частицы относительно некоторой точки равна моменту силы относительно той же точки.

Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru перпендикулярен векторам Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru и Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru , и образует с ними правую тройку векторов.

ê Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru ê= rFsina, (1.3.45)

l = rsina,

где l – кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы – плечо силы.

Проекция вектора момента силы на некоторую фиксированную (закрепленную) ось, например ось z, называется моментом импульса относительно оси:

Lz = Iw, (1.3.46)

где I – момент инерции частицы,

I = mR2. (1.3.47)

Закон изменения момента импульса относительно оси:

Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru , (1.3.48)

где Mz – проекция момента силы на ось z.

Спроектируем уравнение моментов для системы материальных точек Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru на ось вращения Oz , получим:

Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru или Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru .

Для абсолютно твердого тела I = const, поэтому

Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru , (1.3.49)

то есть,

* произведение момента инерции на угловое ускорение равно результирующему моменту внешних сил относительно закрепленной оси вращения.

Уравнение (1.3.49) – основное уравнение вращательного движения твердого тела относительно закрепленной оси.

Здесь I играет роль меры инертности (как масса при поступательном движении).

Как следует из основного уравнения,

* Если моменты всех сил относительно оси уравновешены, то есть, S Mz = 0, то момент импульса тела (или системы тел) относительно той же оси сохраняется: Lz = Iw = const. Это частный случай закона сохранения момента импульса.

Момент инерции тела относительно оси равен сумме произведений масс его материальных точек на квадраты их расстояний до оси вращения:

I = S miR2i.

Поскольку масса твердого тела распределена непрерывно, сумму следует заменить на интеграл. Тело разбивают на бесконечно малые объемы dV с массой dm = rdV.

Таким образом,

I = ò R2 dm = ò R2rdV, (1.3.50)

где R – расстояние от элемента dV до оси вращения.

Пример 17. Вычислить момент инерции тонкого однородного стержня массы m и длины l относительно оси, проходящей через середину стержня, перпендикулярно ему.

Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru l/2

Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru dm

Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru x

Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru

O C dx

ось

Решение. Ось, относительно которой нужно рассчитать момент инерции, проходит через центр масс стержня (точку С), так как по условию задачи он однороден. Выделим элемент массы dm стержня и длины dx. Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр масс, найдем из выражения (1.3.50), учитывая, что dV = dx, так как по условию задачи стержень тонкий, а масса единицы объема (в нашем случае масса единицы длины) определяется выражением r = m/l:

Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru .

Пример 18. Рассчитать момент инерции стержня (см. пример 17) относительно оси, проходящей через один из его концов (точку О).

Решение. Согласно (1.3.50),

Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru .

Моменты инерции тел относительно оси, проходящей через центр масс:

Тонкого обруча: IC = mR2; (1.3.51)

Диска (цилиндра): IC = (1/2) mR2; (1.3.52)

Шара: IC = (2/5) mR2. (1.3.53)

Если момент инерции IC относительно оси, проходящей через центр масс, известен, то можно легко вычислить момент инерции относительно любой параллельной ей оси О, проходящей на расстоянии d от центра масс по теореме Штейнера:

* Момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной ей и проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

I0 = IC + md2. (1.3.54)

Пример 19. Рассчитать момент инерции тонкого однородного стержня массы m и длины l относительно оси, проходящей через его конец (точку О), используя теорему Штейнера.

Решение. Момент инерции стержня относительно центра масс, согласно примеру 17, равно IC = ml2/12. Расстояние между осями d составляет d =l/2. По теореме Штейнера (1.3.54) имеем:

I0 = IC + m(l/2)2 = ml2/12 + ml2/4 = ml2/3.

Пример 20. Тонкий однородный стержень массы 1 кг и длиной 1 м вращается в вертикальной плоскости без трения вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень располагают под углом 30° к горизонту и отпускают без толчка. Найти угловое ускорение стержня в начальный момент времени. Ускорение свободного паления считать равным 10 м/с2.

Дано: m = 1 кг;

l = 1 м;

a = 30°;

g = 10 м/с2.

Найти: e.

Решение.

А В

Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru

a

r C

Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru

Введем следующие обозначения: АС = l, АВ = ВС = l/2, плечо силы тяжести (она действует на центр масс однородного стержня, находящегося в точке В, посередине стержня) r = (l/2)cosa. Тогда, используя основное уравнение динамики вращательного движения (1.3.49), запишем:

M = Ie,

откуда

e = M/I. (1.3.55)

Найдем момент силы тяжести М из (8.3):

М = mg = (mglcosa)/2. (1.3.56)

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через один из его концов, мы рассчитали в примере 18: Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru , поэтому, подставляя полученные выражения для момента инерции и момента сил (1.3.56) в (1.3.55), получим окончательно:

e = M/I = (3mglcosa)/(2ml2) = (3gcosa)/(2l) = 13 (рад/с2).

Ответ: 13 рад/с2.

Пример 21. Некоторое тело вращается вокруг закрепленной оси без трения. Его момент импульса относительно этой оси зависит от времени по закону L(t) = At2 + Bt + C. Через 0,5 секунд после начала вращения тело имело угловое ускорение 2 рад/с2. Найти зависимость момента инерции тела от времени и его величину через 0,5 секунд после начала вращения. А = 1 кг×м23, В = 2 кг×м22, С = 1 кг×м2/с.

Дано: L(t) = At2 + Bt + C;

t = 0,5 с;

e = 2 рад/с2;

А = 1 кг×м23, В = 2 кг×м22, С = 1 кг×м2/с.

Найти: I(t), I.

Решение. Запишем основное уравнение динамики вращательного движения (1.3.49), откуда выразим момент инерции:

Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru .

Чтобы рассчитать момент инерции тела в момент времени 0,5 с, подставим в полученное выражение значения углового ускорения и коэффициентов А и В:

I = (1/2)×(2×1×0,5 + 2) = 1,5 (кг×м2).

Ответ: I(t) = Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс - student2.ru ; I = 1,5 кг×м2.

Наши рекомендации