Сущность и значение средней величины. Средняя арифметическая

Большое распространение в статистике коммерческой деятельности имеют средние величины. В средних величинах отображаются важнейшие показатели товарооборота, товарных запасов, цен. Средними величинами характеризуются качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

Средние величины - это обобщающие показатели, в которых находят выражение действие общих условий, закономерность изучаемого явления.

Имеется несколько видов средних величин, которые отличаются друг от друга способами исчисления.

Средняя арифметическая - наиболее распространенный вид средней. Она исчисляется в тех случаях, когда объем осредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности.

В зависимости от характера исходных данных средняя арифметическая определяется следующим образом. 1. Предположим, что требуется вычислить средний стаж десяти работников торгового предприятия 6, 5, 4, 3, 3, 4, 5, 4, 5, 4, т. е. дан ряд одиночных значений признака, тогда рассчитывается как

т.е. как средняя арифметическая простая (невзвешенная) делением количества сводного признака на число показаний:

Часто приходится рассчитывать среднее значение признака по ряду распределения, когда одно и то же значение признака встречается несколько раз. Объединив данные по величине признака (т. е. сгруппировав) и подсчитав число случаев повторения каждого из них, мы получим следующий вариационный ряд (табл. 10).

Таблица 10. Ряд распределения работающих на торговом предприятии по стажу работы

Продолжительность стажа работы (варианты)	Число работников торгового предприятия (частоты)	Отработано человеко-лет	Доля работников к общей численности работников (частости)
Итого

Тогда средняя равна:

или как средняя арифметическая взвешенная

Следовательно, для исчисления взвешенной средней выполняются следующие последовательные операции: умножение каждого варианта на его частоту, суммирование полученных произведений, деление полученной суммы на сумму частот.

В ряде случаев роль частот при исчислении средней играют какие-либо другие величины. Например, при исчислении средней урожайности единственно правильным будет взвешивание по размеру площади посева, а не по числу участков.

Частоты отдельных вариантов могут быть выражены не только абсолютными величинами, но и относительными величинами - частостями ( ;). Заменив в этом примере абсолютные значения частот соответствующими относительными величинами, получим тот же результат

Средняя арифметическая взвешенная, следовательно, не какой-то особый вид средней, а такая средняя арифметическая, в которой сложение заменено умножением значений признака на их повторяемость (частоту) в случае, когда каждое значение повторяется в совокупности более чем один раз. Простая средняя арифметическая - частный случай средней арифметической взвешенной.

Средняя гармоническая

В некоторых случаях для расчета средней пользуются формулой средней гармонической.

Средняя гармоническая - это величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака.

Простая средняя гармоническая имеет следующую формулу:

Средняя гармоническая взвешенная имеет формулу

Пусть имеются следующие данные об урожайности и валовом сборе пшеницы в 3-х колхозах (графы 2 и 3 табл. 11).

Таблица 11.

Колхозы	Урожайность в ц с га	Валовый сбор пшеницы	Посевная площадь в га
Итого

Требуется определить среднюю урожайность пшеницы. По-видимому, средняя урожайность может быть определена, если валовой сбор, полученный со всей площади, разделить на величину этой площади.

В графе 4 рассмотренной таблицы приведены данные о посевных площадях каждого колхоза, рассчитанные путем деления валового урожая колхоза на его урожайность.

Для определения средней урожайности следует разделить итог графы 3 на итог графы 4:

Запишем, как был получен этот результат из первоначальных данных, приведенных во 2-й и 3-й графах таблицы:

Считая, что графа вторая содержит индивидуальные значения признака, или, как их обычно обозначают, , а третья - веса, обычно обозначаемые , можем записать этот результат в виде следующей формулы:

Итак, в данном случае для расчета средней урожайности была использована формула средней гармонической.

Отметим, что веса в данном случае не являлись частотами значений признака в совокупности, а представляли собой произведение самого значения признака на его частоту.

Отсюда можно сделать два вывода: 1) средняя гармоническая рассчитывается в тех случаях, когда располагают данными не о частотах различных значений признака, а об их произведениях на величину признака; 2) вместо средней гармонической всегда можно рассчитывать среднюю арифметическую, рассчитав предварительно на основе исходных данных частоты отдельных значений признака в совокупности.

Средняя геометрическая

В тех случаях, когда необходимо рассчитать средний коэффициент роста, пользуются средней геометрической.

Пусть имеются данные о росте продукции завода за несколько лет.

Таблица 12.1.

Показатели	Годы
Выпуск продукции в млрд. руб.	20,0	33,3	66,7	160,0
Коэффициент роста выпуска по сравнению с предыдущим годом	-	1,67	2,0	2,4

В таблице дан выпуск продукции в млн. руб. и приведены коэффициенты роста выпуска в каждом году по сравнению с выпуском предшествующего года, полученные делением выпуска данного года на выпуск предыдущего.

Необходимо найти средний годовой коэффициент роста выпуска с 1990 по 1993 г. Обозначим величины выпуска через а коэффициенты роста через тогда

Необходимо найти среднюю так, чтобы изменение выпуска в последнем году по сравнению с первым осталось неизменным при замене действительных коэффициентов роста их средней величиной. Из написанных выше равенств следует, что

Заменим средним коэффициентом роста каждый из данных:

отсюда

или

Если дано не три коэффициента роста, а n, то формула среднего коэффициента роста будет

Это - формула средней геометрической. Можно определить средний коэффициент роста, пользуясь величинами последнего и первого уровня интересующего нас явления. Если

Таблица 12.2.

Заработная плата в тыс. руб.	Число рабочих	Общая сумма заработной платы
Итого

Выбор формулы средней определяется характером исходных данных.

Если располагаем данными граф первой и второй, то среднюю заработную плату необходимо исчислять, как среднюю арифметическую:

Если располагаем данными граф первой и третьей, то среднюю заработную

плату необходимо исчислять как среднюю гармоническую:

Если необходим расчет средних коэффициентов роста, то прибегают к средней геометрической. Таким образом, выбору вида средней должен предшествовать анализ взаимосвязи имеющихся в распоряжении данных.