Определение жесткости пружины и параметров затухания колебаний при помощи пружинного маятника

Цель работы:определение жесткости пружины статическим и динамическим методами; изучение затухающих колебаний на примере упругих колебаний пружинного маятника.

Оборудование:лабораторный стенд, закрепленный на нем горизонтальный стержень с отверстием для крепления пружины, секундомер,пружина, набор грузов, метровая линейка.

Теоретическое введение

Деформации

В физике часто используют понятие абсолютно твердого тела - тела, которое ни при каких условиях не может деформироваться, а именно при всех условиях расстояние между двумя точками (точнее между двумя частицами) этого тела остается постоянным. Но понятие абсолютно твердого тела является физической моделью. Другими словами можно сказать, что таких тел в природе не существует, т.е. все тела в природе являются в той или иной степени деформируемыми. Под действием приложенных сил они могут изменять своюформу и размеры. Такие изменения называются деформациями.

В механике твердого тела различают два предельных случая: деформации упругие и деформации пластические. Упругиедеформации – это такие деформации, при которых тело после прекращения действия приложенных к нему сил сохраняет первоначальные размеры и форму. Пластическими(остаточными)деформацияминазывают такие деформации, которые сохраняются в теле, по крайней мере, частично, и после прекращения действия внешних приложенных сил. На пластических деформациях основана холодная обработка металлов — штамповка, ковка и пр.

Окажется ли деформация упругой или пластическойв конечном счете зависит не только от материала тела, но и от приложенных сил. Если сила (точнее, напряжение - сила, отнесенная к единице площади поперечного сечения) не превосходит известной величины, называемой пределом упругости, то возникает упругая деформация. Если же эта сила превосходит названный предел, то возникающая деформация становится пластической. Предел упругости имеет различные значения для разных материалов.

Разделение тел на абсолютно упругие и пластические оказывается в какой-то мере условным. Строго говоря, на практике все деформации после прекращения действия внешних сил исчезают не полностью, а поэтому относятся к пластическим. Однако, если остаточными деформациями в условиях конкретной задачи можно пренебречь, то во многих случаях такие деформации принимаются упругими. Насколько великаможет быть остаточная деформация, чтобы допустить такие условности, зависит от поставленных целей исследования. В некоторых случаях, например, можно пренебречь остаточными деформациями, если они не превосходят 0,1% от максимальных значений, достигавшихся под действием приложенных сил. В других случаях этот предел должен быть снижен до 0,01 % и т. д.

В настоящей работе мы ограничимся изучением только упругих деформаций, уделяя внимание изучению данного явления с точки зрения прикладной механики, которая описывает упругие свойства тел посредством некоторых эмпирически вводимых упругих постоянных, различных для различных тел и зависящих от их физических характеристик (например, от температуры). Более обоснованным с научной точки зрения является теоретический метод, рассматривающий деформацию с атомистической точки зрения. Такой метод исследования имеет преимущества в физикетвердого тела.

В условиях данной лабораторной работы все тела мы будем считать идеально упругими. Так называются идеализированные тела, которые могут претерпевать только упругие, но не пластические деформации. Еще раз напомним, что такими идеализациями можно воспользоваться, когда силы, приложенные к реальным телам, не превосходят предела упругости. Для идеально упругих тел существует однозначная зависимость между действующими силами и вызываемыми ими деформациями. В случае пластических деформаций такой однозначной связи не существует. Это видно хотя бы из того, что до и после пластической деформации тело может приобретать различные формы.

В ходе выполнения лабораторной работы мы ограничимся изучением только малых деформаций, т. е. таких упругихдеформаций, которые подчиняютсязакону Гука. Согласно этому законудеформации пропорциональны силам, их вызывающим.Стоит отметить, что этот закон выполняется только в строго ограниченных пределах, а именно до так называемого предела пропорциональности.

Теория колебаний

Основным физическим объектом, используемым в ходе выполнения данной работы, является тело, подвешенное на пружине – пружинный маятник. Если это тело вывести из положения равновесия, то оно будет совершать колебательное движение (колебания) под действием квазиупругой силы, определяемой законом Гука.

Колебательным движением называется процесс, при кото­ром система многократно отклоняясь от положения равнове­сия, каждый раз вновь возвращается к нему.

В зависимости от характера воздействия на колебательнуюсистему различают свободные (собственные) и вынужденныеколебания.

Свободные колебания

Свободные колебания имеют место в том случае, когда тело совершает колебания только под действием возвращающей силы , которая стремит­ся вернуть тело, отклоненное от положения равновесия, в исходноесостояние. Свободные колебания являются незатухающими, если не происходит диссипация (рассеяние) энергии в окружающее пространство. В противном случае мы говорим, что на тело, кроме возвраща­ющей силы, действует сила сопротивления (или сила трения), и колебания становятся затухающими. Вынужденные колебания совершаются под действием внешней периодически изменяющейся силы, которая называется вынужда­ющей.

В данной работе изучаются закономерности свободных колеба­ний пружинного маятника. Пружинной маятник представляет собой груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине жесткостью k, и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы(рис.1). В случае положения равновесия (груз в покое, x = 0) сила тяжести m уравновешивается упругой силой растяжения пружины ( _упр=m ). Если отклонить тело от положения равновесия на величину x=A₀, а затем отпустить его, то оно будет совершать колебания. При определённых условиях (небольшом смещении, достаточно тяжёлом грузе, при большой жёсткости пружины, за небольшой промежуток времени) колебания можно счи­тать незатухающими, совершаемыми под действием силы упру­гости, которая по закону Гука определяется следующим образом:

F_упр = - kx (1)

где k – коэффициент жесткости пружины.

Согласно II закону Ньютона:

F = ma, (2)

где ,

таким образом, учитывая (1), получаем: ,

или (3)

Выражение (3) является дифференциальным уравнением свободных незатухающих колебаний. Решение этого уравнения представляет собой зависимость x(t), которая имеет вид:

,(4)

где А₀ – амплитуда – величина наибольшего отклонения от положения равновесия, ее значение определяется величиной начального воздействия, которым система была выведена из положения равновесия;ω – круговая (циклическая) частота; периодически изменяющийся аргумент косинуса - фаза колебаний; φ₀ – начальная фаза, которая показывает смещение колеблющейся величины от положения равновесия в начальный момент времени.

График этой зависимости представлен на рис.2.

Подставляя (4) в (3) и, учитывая, что:

, при φ₀=0получаем:

или

Выразим период: (5)

Из (5) следует, что для данной пружины квадрат периода коле­баний прямо пропорционален массе тела.