Средних темпов роста и прироста.
По показателям изменения уровней ряда динамики (абсолютные приросты, темпы роста и прироста), полученным в результате анализа исходного ряда, могут быть рассчитаны обобщающие показатели в виде средних величин - средний абсолютный прирост, средний темп роста, средний темп прироста.
Средний абсолютный прирост может быть получен по одной из формул:
или 
,
где n - число уровней ряда динамики;
- первый уровень ряда динамики;
- последний уровень ряда динамики;
- цепные абсолютные приросты.
Средний темп роста можно определить, пользуясь формулами:
где n - число рассчитанных цепных или базисных темпов роста;
- уровень ряда, принятый за базу для сравнения;
- последний уровень ряда;
- цепные темпы роста (в коэффициентах);
- первый базисный темп роста;
- последний базисный темп роста.
Между темпами прироста 
и темпами роста К существует соотношение = К - 1, аналогичное соотношение верно и для средних величин.
Контрольная работа №2.
Задача №1.
Имеются данные о реализации продукции (млн. руб.) фирмой “Орион”. Для июля эта фирма состояла из восьми торговых точек, затем появились еще четыре точки.
| Месяц | |||||||||
| 8 торговых точек | - | - | - | - | |||||
| 12 торговых точек | - | - | - | - |
Приведите уровни ряда в сопоставимый вид.
Задача №2.
Имеются следующие данные о валовом сборе овощей в хозяйствах области, млн. ц.:
| 7,6 | 9,1 | 7,8 | 8,4 | 9,6 |
Определить средний уровень валового сбора овощей за пять лет.
Задача №3.
По следующим данным о товарных запасах в розничной сети торгующих организаций города определить величину среднеквартального запаса за 1989г., млн. руб.:
| 1 января | 64,1 | |
| 1 апреля | 57,8 | |
| 1 июля | 60,0 | |
| 1 октября | 63,2 | |
| 1 января | 72,3 |
Задача №4.
За январь 1990г. произошли следующие изменения в списочном составе работников предприятия, чел.:
| состояло по списку на 1.01.90г. | |
| выбыло с 5.01.90г. | |
| зачислено с 12.01.90г. | |
| зачислено с 26.01.90г. |
Определить среднедневную списочную численность работников предприятия за январь 1990г.
Задача №5.
Используя взаимосвязь показателей динамики, определите уровни ряда добычи нефти и недостающие в таблице цепные показатели динамики:
| Добыча | Цепные показатели динамики | ||||
| Год | нефти, млн.т | абсолют. прирост, млн.т. | темп роста, % | темп прироста, % | абс.значение 1% прироста |
| - | - | - | - | ||
| 106,1 | |||||
| 7,25 | |||||
| 4,59 | |||||
| 105,9 | |||||
| 5,72 |
Задача №6
Используя взаимосвязь показателей динамики, определите уровни ряда и недостающие в таблице базисные показатели динамики:
| Производство эл.энергии | Базисные показатели динамики | |||
| Год | млрд. кВт.ч. | абсолют. прирост, | темп роста, % | темп прироста, % |
| - | - | - | ||
| 115,6 | ||||
| 23,9 | ||||
| 131,7 | ||||
| 149,9 | ||||
| 55,2 | ||||
| 167,2 |
Продолжение контрольной работы №2 на странице 19.
Определение в рядах динамики
Общей тенденции развития.
Определение уровней ряда динамики на протяжении длительного периода времени обусловлено действием ряда факторов, которые неоднородны по силе и направлению воздействия, оказываемого на изучаемое явление.
Рассматривая динамические ряды, пытаются разделить эти факторы на постоянно действующие и оказывающие определяющее воздействие на уровни ряда, формирующие основную тенденцию развития, и случайные факторы, приводящие к кратковременным изменениям уровней ряда динамики. Наиболее важна при анализе ряда динамики его основная тенденция развития, но часто по одному лишь внешнему виду ряда динамики ее установить невозможно, поэтому используют специальные методы обработки, позволяющие показать основную тенденцию ряда. Методы обработки используются как простые, так и достаточно сложные. Простейший способ обработки ряда динамики, применяемый с целью установления закономерностей развития - метод укрупнения интервалов.
Суть метода в том, чтобы от интервалов, или периодов времени, для которых определены исходные уровни ряда динамики, перейти к более продолжительным периодам времени и посмотреть, как уровни ряда изменяются в этом случае.
Пример.
Данные о реализации молочной продукции в магазинах города по месяцам представлены таблицей (в тоннах)
| месяц | |||
| январь | 5,3 | 5,3 | 5,4 |
| февраль | 5,3 | 5,1 | 5,2 |
| март | 7,9 | 8,3 | 8,2 |
| апрель | 8,2 | 9,0 | 9,3 |
| май | 9,8 | 9,5 | 10,1 |
| июнь | 12,5 | 13,0 | 13,1 |
| июль | 11,8 | 12,2 | 12,5 |
| август | 10,3 | 10,4 | 10,8 |
| сентябрь | 8,2 | 8,0 | 8,3 |
| октябрь | 6,5 | 6,6 | 6,8 |
| ноябрь | 5,4 | 5,5 | 5,7 |
| декабрь | 5,5 | 5,5 | 5,6 |
| итого за год | 96,7 | 98,4 |
Исходные уровни ряда динамики подвержены сезонным изменениям; для определения общей тенденции развития переходят от ежемесячных уровней к годовым уровням:
1987г. - 96,7 тонн
1988г. - 98,4 тонн
1989г. - 101 тонна
Эти цифры, полученные в результате перехода к годовым уровням ряда динамики, показывают общую тенденцию роста реализации молочной продукции.
Другой способ определения тенденции в ряду динамики —метод скользящих средних. Суть метода заключается в том, что фактические уровни ряда заменяются средними уровнями, вычисленными по определённому правилу, например:
— исходные или фактические уровни ряда динамики заменяются средними уровнями:
...
...
...
В результате получается сглаженный ряд, состоящий из скользящих пятизвенных средних уровней 
. Между расположением уровней 
и 
устанавливается соответствие:
— — 
— — ,
сглаженный ряд короче исходного на число уровней 
, где k - число уровней, выбранных для определения средних уровней ряда.
Сглаживание методом скользящих средних можно производить по четырём, пяти или другому числу уровней ряда, используя соответствующие формулы для усреднения исходных уровней.
Полученные при этом средние уровни называются четырёхзвенными скользящими средними, пятизвенными скользящими средними и т.д.
При сглаживании ряда динамики по чётному числу уровней выполняется дополнительная операция, называемая центрированием, поскольку, при вычислении скользящего среднего, например по четырём уровням, 
относится к временной точке между моментами времени, когда были зафиксированы фактические уровни 
и 
. Схема вычислений и расположений уровней сглаженного ряда становится сложнее:
... — исходные уровни;
— — 
... — сглаженные уровни;
— — 
... — центрированные сглаженные уровни;
.
Метод скользящих средних не позволяет получить численные оценки для выражения основной тенденции в ряду динамики, давая лишь наглядное графическое представление (пример 1).
Пример.
Таблица 1.
| Годы | Валовый сбор хлопка-сырца, млн. т. | Скользящая средняя по 5 уровням |
| 4,3 | — | |
| 4,5 | — | |
| 4,3 | 4,72 | |
| 5,2 | 5,00 | |
| 5,3 | 5,30 | |
| 5,7 | 5,64 | |
| 6,0 | 5,78 | |
| 6,0 | 5,86 | |
| 5,9 | 6,10 | |
| 5,7 | 6,32 | |
| 6,9 | 6,58 | |
| 7,1 | 6,94 | |
| 7,3 | 7,48 | |
| 7,7 | 7,68 | |
| 8,4 | 7,92 | |
| 7,9 | 8,22 | |
| 8,3 | 8,38 | |
| 8,8 | 8,54 | |
| 8,5 | 8,94 | |
| 9,2 | 9,18 | |
| 9,9 | 9,30 | |
| 9,6 | — | |
| 9,3 | — |
На рис. 1 показан график, построенный по данным о валовом сборе хлопка-сырца в стране за ряд лет наблюдения и по расчетным данным, представленным в таблице 1.
Рис. 1. Валовый сбор хлопка - сырца.
Наиболее совершенным способом определения тенденции развития в ряду динамики является метод аналитического выравнивания. При этом методе исходные уровни ряда динамики 
заменяются теоретическими или расчетными , которые представляют из себя некоторую достаточно простую математическую функцию времени, выражающую общую тенденцию развития ряда динамики. Чаще всего в качестве такой функции выбирают прямую, параболу, экспоненту и др.
Например, 
,
где 
- коэффициенты, определяемые в методе аналитического выравнивания;
- моменты времени, для которых были получены исходные и соответствующие теоретические уровни ряда динамики, образующие прямую, определяемую коэффициентами .
Расчет коэффициентов ведется на основе метода наименьших квадратов:
Если вместо 
подставить 
(или соответствующее выражение для других математических функций), получим:
Это функция двух переменных 
(все 
и известны), которая при определенных достигает минимума. Из этого выражения на основе знаний, полученных в курсе высшей математики об экстремуме функций n переменных, получают значения коэффициентов .
Для прямой:
где n — число моментов времени, для которых были получены исходные уровни ряда .
Если вместо абсолютного времени выбрать условное время таким образом, чтобы 
, то записанные выражения для определения упрощаются:
Пример.
Нечетное число уровня ряда.
| абсолютное время | |||||||
| -3 | -2 | -1 | условное время |
Чётное число уровней ряда.
| абсолютное время | ||||||||
| -7 | -5 | -3 | -1 | условное время |
В обоих случаях .
Пример.
Выполняется аналитическое выравнивание ряда, отражающего производство стали в стране по годам (млн. т).
| 141,3 | 144,8 | 146,7 | 151,5 | 149,0 |
В качестве математической функции, отражающей тенденцию развития, выбирается прямая , определение производится для условного времени, в результате 
, 
.
| Год | Производство стали | Условное время | Теоретические уровни  |
| 141,3 | -2 | 142,2 | |
| 144,8 | -1 | 144,4 | |
| 146,7 | 146,7 | ||
| 151,5 | 148,9 | ||
| 149,0 | 151,1 |