Аксиомы стереометрии и их следствия

Аксиомы стереометрии и их следствия

Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).
Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
Аксиома 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой. Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты.

3. Способы задания плоскости

· Плоскость в пространстве однозначно определяется:

· 3 точками, не лежащими на 1 прямой;

· прямой и точкой, не лежащими на 1 прямой;

· 2мя пересекающимися прямыми;

· 2мя параллельными прямыми.

· Каждое из заданий плоскости может быть преобразовано в другое из них.

4. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

	Общие точки	Взаимное расположение
	Более одной	Прямая лежит в плоскости
	Только одна	Прямая пересекает плоскость
	Ниодной	Прямая и плоскость параллельны

Параллельные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Теорема о трех прямых в пространстве. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (если a∥c и b∥c, то a∥b).

Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

6. скрещивающиеся прямые

Признак скрещивающихся прямых.

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

7.Признак параллельности прямой и плоскости Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Теорема. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Теорема.Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Параллельность плоскостей

Две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.

Однако в практических целях чаще используется признак параллельности плоскостей:

Плоскости параллельны друг другу, если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости.

13. Признак параллельных плоскостей:

1. Если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны друг другу.
2. Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.
3. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
   

14. Расстояние между плоскостями — равно длине перпендикуляра, опущенного с одной плоскости на другую.

Перпендикуляр и наклонная

Симметрия параллелограмма.

Большое число фигур обладает тем свойством, что при повороте плоскости чертежа на 180° вокруг некоторой точки новое положение фигуры совпадает с первоначальным. Такие фигуры называются центрально симметричными. Параллелограмм принадлежит к числу таких фигур, он центрально симметричен относительно точки пересечения его диагоналей (черт. 234).

В самом деле, так как ОС = ОВ и ОА = OD, то точки С и В, а также A и D симметричны относительно центра О. Если параллелограмм повернуть на 180° вокруг точки пересечения его диагоналей, то новое положение параллелограмма совпадёт с первоначальным.

Двугранный угол.

Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, и не принадлежащими одной плоскости.

	а - ребро двугранного угла, полуплоскости - грани его.
	Угол АОВ - линейный угол двугранного угла. Чтобы его построить, нужно выбрать произвольную точку О на ребре, а лучи ОА и ОВ должны быть перпендикулярны к ребру.

Определение. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера любого из его линейных углов.

Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если он равен 90o (меньше 90o, больше 90o). Пусть - тот из углов, который не превосходит любого из трёх остальных углов. Тогда угол между пересекающимися плоскостями равен . (0o< 90o)

Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90^o.

· 40. Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи, по которым грани двугранного угла пересекаются плоскостью, перпендикулярной ребру двугранного угла.

· У каждого двугранного угла сколько угодно линейных углов: через каждую точку ребра можно провести плоскость, перпендикулярную этому ребру; лучи, по которым эта плоскость пересекает грани двугранного угла, и образуют линейные углы.

· Все линейные углы двугранного угла равны между собой.

·

Коллинеарные векторы

Коллинеарные векторы это векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой).

Векторы а, b, c коллинеарны. Векторы АС, BD, и СВ коллинеарны.

Коллинеарные векторы могут иметь одно и то же направление (равнонаправленные векторы) или противоположные.

Так, векторы а и с равнонаправлены, векторы а и b (а также b и c) противоположно направлены. Векторы АС и BD равнонаправлены, векторы АС и СВ противоположно направлены.

47. Компланарные векторы

Векторы, которые параллельны одной плоскости или лежат на одной плоскости, называются компланарными векторами.

Три вектора называются компланарными, если они, будучи приведёнными к общему началу, лежат в одной плоскости.

Всегда возможно найти плоскость, параллельную двум произвольным векторам, поэтому любые два вектора всегда компланарные.

Eсли из трёх векторов два коллинеарны, то очевидно, что эти три вектора компланарны.

Правило треугольника

Сумма векторов a и b это третий вектор с, получаемый следующим построением: из произвольного начала О строим вектор OL, равный а; из точки L, как из начала строим вектор LM, равный b. Вектор с = ОМ есть сумма векторов a и b («правило треугольника»).

Правило параллелограмма

Если слагаемые a и b не коллинеарны, то сумму a + b можно найти следующим построением:

из любого начала О строим векторы ОА = а и ОВ = b; на отрезках ОА, ОВ строим параллелограмм ОАСВ. Вектор диагонали ОС = с есть сумма векторов a и b (так как АС = OB = b и ОС = ОА + АС).

Аксиомы стереометрии и их следствия

Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).
Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
Аксиома 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой. Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты.

3. Способы задания плоскости

· Плоскость в пространстве однозначно определяется:

· 3 точками, не лежащими на 1 прямой;

· прямой и точкой, не лежащими на 1 прямой;

· 2мя пересекающимися прямыми;

· 2мя параллельными прямыми.

· Каждое из заданий плоскости может быть преобразовано в другое из них.

4. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

	Общие точки	Взаимное расположение
	Более одной	Прямая лежит в плоскости
	Только одна	Прямая пересекает плоскость
	Ниодной	Прямая и плоскость параллельны