Глава 10. Природа математики.

«Структура реальности», которую я описывал до сих пор, была структурой физической реальности. Тем не менее, я свободно ссылал­ся на такие категории, которых нет нигде в физическом мире, — аб­стракции, такие как числа и бесконечные множества компьютерных программ. Да и сами законы физики нельзя отнести к физическим ка­тегориям в том смысле, в каком к ним относятся камни и планеты, Как я уже сказал, «Книга Природы» Галилео — всего лишь метафора. И кроме того, существует вымысел виртуальной реальности, несущест­вующие среды, законы которых отличаются от реальных физических законов. За пределами этих сред находится то, что я назвал средами «Кантгоуту», которые невозможно передать даже в виртуальной реаль­ности. Я сказал, что существует бесконечно много таких сред для каж­дой среды, которую можно передать. Но что значит сказать, что такие среды «существуют»? Если они не существуют ни в реальности, ни да­же в виртуальной реальности, то где они существуют?

А существуют ли абстрактные нефизические категории вообще? Являются ли они частью структуры реальности? В данной ситуации меня не занимают проблемы простого использования слов. Очевидно, что числа, физические законы и т. д. действительно «существуют» в не­котором смысле и не существуют в другом. Независимо от этого воз­никает следующий вопрос: как мы должны понимать такие категории? Какие из них являются всего лишь удобной формой слов, которые, в ко­нечном счете, ссылаются на обычную физическую реальность? Какие из них всего лишь преходящие особенности нашей культуры? Какие из них произвольны, как правила банальной игры, которые нужно толь­ко посмотреть в приложении? А какие, если такие вообще есть, мож­но объяснить только, если приписать им независимое существование? Все, что относится к последнему виду, должно быть частью структуры реальности, как она определяется в этой книге, потому что это необхо­димо понять, чтобы понять все, что понято.

Это говорит о том, что нам снова следует воспользоваться критери­ем доктора Джонсона. Если мы хотим знать, действительно ли сущест­вует данная абстракция, мы должны спросить, «дает ли она ответную реакцию» сложным, автономным образом. Например, математики ха­рактеризуют «натуральные числа» 1, 2, 3,... — прежде всего — точным определением:

1 — это натуральное число.

За каждым натуральным числом следует только одно число, кото­рое также является натуральным.

1 не следует ни за каким натуральным числом.

Подобные определения — это попытки абстрактного выражения интуитивного физического понятия последовательных значений дис­кретной величины. (Точнее, как я объяснил в предыдущей главе, в дей­ствительности это понятие является квантово-механическим). Ариф­метические действия, например, умножение и сложение, а также по­следующие понятия, подобные понятию простого числа, в этом случае определяют, ссылаясь на «натуральные числа». Но создав абстрактные «натуральные числа» через это определение и поняв их через эту ин­туицию, мы обнаруживаем, что осталось гораздо больше того, что мы все еще не понимаем о них. Определение простого числа раз и навсегда устанавливает, какие числа являются простыми, а какие не являются. Но понимание того, какие числа являются простыми, — например, про­должается ли последовательность простых чисел бесконечно, как они сгруппированы, насколько и почему они «случайны», — влечет за со­бой новое понимание и изобилие новых объяснений. В действительнос­ти оказывается, что сама теория чисел — это целый мир (этот термин используют часто). Для более полного понимания чисел мы должны определить множество новых классов абстрактных категорий и посту­лировать много новых структур и связей между этими структурами. Мы обнаруживаем, что некоторые подобные структуры связаны с ин­туицией другого рода, которой мы уже обладаем, но которая вопреки этому не имеет ничего общего с числами — например, симметрия, вра­щение, континуум, множества, бесконечность и многое другое. Таким образом, абстрактные математические категории, с которыми, как нам кажется, мы знакомы, тем не менее, могут удивить или разочаровать нас. Они могут неожиданно возникнуть в новых нарядах или масках. Они могут быть необъяснимы, а впоследствии подойти под новое объяснение. Таким образом, они являются сложными и автономными, и, сле­довательно, по критерию доктора Джонсона, мы должны сделать вывод об их реальности. Поскольку мы не можем понять их ни как часть себя, ни как часть чего-либо еще, что мы уже понимаем, но можем понять их как независимые категории, следует сделать вывод, что они являются реальными, независимыми категориями.

Тем не менее, абстрактные категории неосязаемы. Они не дают ответной физической реакции так, как это делает камень, поэтому экс­перимент и наблюдение не могут играть в математике такую же роль, какую они играют в науке. В математике такую роль играет доказа­тельство. Камень доктора Джонсона оказал ответное воздействие тем, что в его ноге появилась отдача. Простые числа оказывают ответное воздействие, когда мы доказываем что-то неожиданное относительно них, особенно, если мы можем пойти дальше и объяснить это. С тра­диционной точки зрения ключевое различие между доказательством и экспериментом состоит в том, что доказательство не ссылается на физический мир. Мы можем осуществить доказательство в своем соб­ственном разуме или внутри генератора виртуальной реальности, ко­торый передает среду с неправильной физикой. Единственное условие заключается в том, что мы следуем правилам математического вывода, а потому должны получить тот же самый ответ, что и кто-либо еще. II вновь широко распространено мнение, что, не считая возможности появления грубых ошибок, когда мы доказали что-либо, мы абсолютно определенно знаем, что это истина.

Математики весьма гордятся этой абсолютной определенностью, а ученые склонны немного этому завидовать. Дело в том; что в науке невозможно быть определенным относительно какого-либо высказыва­ния. Неважно, насколько хорошо чьи-либо теории объясняют существу­ющие наблюдения, в любой момент кто-то может предоставить новое, необъяснимое наблюдение, которое поставит под сомнение всю сущест­вующую объяснительную структуру. Хуже того, кто-то может достичь лучшего понимания, которое объясняет не только все существующие наблюдения, но и то, почему предыдущие объяснения казались подхо­дящими, но, несмотря на это, были весьма ошибочными. Галилео, на­пример, обнаружил новое объяснение векового наблюдения, что земля под нашими ногами находится в состоянии покоя, объяснение, которое влекло за собой идею о том, что в действительности земля движется. Виртуальная реальность — которая может сделать так, что одна среда будет казаться другой — подчеркивает тот факт, что когда наблюдение выступает как высший судья теорий, никогда не может возникнуть хоть какая-то определенность, что существующее объяснение, каким бы очевидным оно ни было, хотя бы отдаленно является истиной. Но когда в качестве судьи выступает доказательство, определенность счи­тается возможной.

Говорят, что правила логики впервые сформулировали, надеясь, что они обеспечат объективный и обоснованный метод разрешения всех споров. Эту надежду невозможно оправдать. Изучение самой ло­гики открыло, что область действия логической дедукции как сред­ства раскрытия истины жестко ограничена. При наличии существу­ющих допущений о мире можно сделать выводы дедуктивно; но эти выводы ничуть не более обоснованны, чем допущения. Единственные высказывания, которые может доказать логика, не прибегая к допу­щениям, — это тавтологии — такие утверждения, как «все плане­ты — это планеты», которые ничего не утверждают. В частности, все реальные научные вопросы находятся за пределами той области, где можно уладить споры с помощью одной логики. Однако счита­ется, что математика находится в пределах этой области. Таким об­разом, математики ищут абсолютную, но абстрактную истину, в то время как ученые утешают себя мыслью, что они могут обрести ре­альное и полезное знание физического мира. Но они должны при­нять, что это знание не имеет гарантий. Оно вечно экспериментально и вечно подвержено ошибкам. Идея о том, что науку характеризу­ет «индукция», метод доказательства, который считается аналогом дедукции, но чуть более подверженным ошибкам, — это попытка извлечь все возможное из этого постижимого второсортного стату­са научного знания. Вместо дедуктивно доказанных определенностей, возможно, мы удовольствуемся индуктивно доказанными «почти-определенностями».

Как я уже сказал, не существует такого метода доказательст­ва как «индукция». Идея доказательства каким-то образом достигну­той «почти-определенности» в науке — миф. Каким образом я мог бы «почти-определенно» доказать, что завтра не опубликуют удивитель­ную новую физическую теорию, опровергающую мои самые неоспори­мые допущения относительно реальности? Или то, что я не нахожусь внутри генератора виртуальной реальности? Но я говорю все это не для того, чтобы показать, что научное знание действительно «второсортно». Ибо идея о том, что математика дает определенности - это тоже миф.

С древних времен идея о привилегированном статусе математи­ческого знания часто ассоциировалась с идеей о том, что некоторые абстрактные категории, по крайней мере, не просто являются частью структуры реальности, но даже более реальны, чем физический мир. Пифагор считал, что регулярности в природе есть выражение матема­тических отношений между натуральными числами. «Все вещи есть числа» — таков был его девиз. Он не имел это в виду буквально, одна­ко Платон пошел еще дальше и отрицал реальность физического мира вообще. Он считал, что наши мнимые ощущения этого мира ничего не стоят и вводят в заблуждение, и доказывал, что физические объекты и явления, которые мы понимаем, — всего лишь «тени» несовершен­ных копий их истинных сущностей («Форм» или «Идей»), существую­щих в отдельной области, которая и есть истинная реальность. В этой области, кроме всего прочего, существуют Формы чистых чисел, таких, как 1, 2, 3, ... , и Формы математических действий, таких, как сложе­ние и умножение. Мы можем воспринять некоторые тени этих Форм, когда кладем на стол одно яблоко, потом еще одно и видим, что на столе два яблока. Однако яблоки выражают «наличие одного» и «наличие двух» (и, в данном случае, «наличие яблок») несовершенно. Они не являются совершенно идентичными, а потому, в действительности на столе ни­когда нет двух примеров чего-либо. На это можно возразить, что число два можно также представить, положив на стол два различных объекта. Но и такое представление несовершенно, потому что в этом случае мы должны допустить, что на столе также есть клетки, отпавшие от яблок, пыль и воздух. В отличие от Пифагора. Платон занимался не только на­туральными числами. Его реальность содержала Формы всех понятий. Например, она содержала Форму совершенного круга. «Круги», которые мы видим, никогда не являются действительно кругами. Они не совер­шенно круглые, не совершенно плоские; у них есть конечная толщина и т.д. Все они несовершенны.

Затем Платон указал задачу. Принимая во внимание все это Зем­ное несовершенство (и он мог бы добавить, наш несовершенный сен­сорный доступ даже к Земным кругам), как вообще мы можем знать то, что мы знаем о реальных, совершенных кругах? Очевидно, что мы обладаем знанием о них, но каким образом? Где Евклид приобрел зна­ние геометрии, которое выразил в своих знаменитых аксиомах, когда у него не было ни истинных кругов, ни точек, ни прямых? Откуда ис­ходит эта определенность математического доказательства, если никто не способен ощутить те абстрактные категории, на которые оно ссы­лается? Ответ Платона заключался в том, что мы получаем все это знание не из этого мира теней и иллюзий. Мы получаем его непосред­ственно из самого мира Форм. Мы обладаем совершенным врожденным знанием того мира, которое, как он считал, забывается при рождении, а затем скрывается под слоями ошибок, вызванных тем, что мы доверяем своим чувствам. Но реальность можно вспомнить, усердно применяя «разум», впоследствии дающий абсолютную определенность, которую никогда не может дать ощущение.

Интересно, кто-нибудь когда-нибудь верил в эту весьма сомни­тельную фантазию (включая самого Платона, который все-таки был очень компетентным философом, считавшим, что публике стоит гово­рить благородную ложь)? Тем не менее, поставленная им задача — как мы можем обладать знанием, не говоря уж об определенности, абстрактных категорий — достаточно реальна, а некоторые элемен­ты предложенного им решения с тех пор стали частью общепринятой теории познания. В частности, фактически все математики до сегод­няшнего дня без критики принимают основную идею того, что мате­матическое и научное знание проистекают из различных источников и что «особый» источник математического знания дает ему абсолют­ную определенность. Сейчас этот источник математики называют ма­тематической интуицией, однако он играет ту же самую роль, что и «воспоминания» Платона об области Форм.

Математики много и мучительно спорили о том, открытия каких в точности видов совершенно надежного знания можно ожидать от на­шей математической интуиции. Другими словами, они согласны, что математическая интуиция — источник абсолютной определенности, но не могут прийти к соглашению относительно того, что она им говорит! Очевидно, что это повод для бесконечных, неразрешимых споров.

Большая часть таких споров неизбежно касалась обоснованности или необоснованности различных методов доказательства. Одно из раз­ногласий было связано с так называемыми «мнимыми» числами. Новые Теоремы об обычных, «вещественных» числах доказывали, обращаясь на промежуточных этапах доказательства к свойствам мнимых чисел. Например, таким образом были доказаны первые теоремы о распределе­нии простых чисел. Однако некоторые математики возражали против мнимых чисел на том основании, что они не реальны. (Современная терминология все еще отражает это старое разногласие даже сейчас, когда мы считаем, что мнимые числа так же реальны, как и «вещест­венные»). Я полагаю, что учителя в школе говорили этим математикам, что нельзя извлекать квадратный корень из минус одного, и, поэтому они не понимали, почему кто-либо другой может это сделать. Нет со­мнения в том, что они называли этот злостный порыв «математической интуицией». Однако другие математики обладали другой интуицией. Они понимали, что такое мнимые числа, и как они согласуются с ве­щественными. Почему, думали они, человеку не следует определять новые абстрактные категории, имеющие свойства, которые он предпо­читает? Безусловно единственным законным основанием запретить это была бы логическая несовместимость требуемых свойств. (Это, по су­ществу, современное мнение, выработанное всеобщими усилиями, ма­тематик Джон Хортон Конуэй грубо назвал «Движением Освобождения «Математиков»). Однако общеизвестно, что никто не доказал и то, что обычная арифметика натуральных чисел является самосогласованной.

Подобным разногласиям подверглась и обоснованность использо­вания бесконечных чисел, а также множеств, содержащих бесконечно много элементов, и бесконечно малых величин, используемых при ис­числении. Дэвид Гильберт, великий немецкий математик, предоставив­ший большую часть инфраструктуры как общей теории относительнос­ти, так и квантовой теории, заметил, что «математическая литература переполнена бессмыслицами и нелепостями, проистекающими из бес­конечности». Некоторые математики, как мы увидим, вовсе отрицали обоснованность рассуждения о бесконечных категориях. Легкий доступ к чистой математике в девятнадцатом веке мало что сделал для разре­шения этих разногласий. Напротив, он только усугубил их и породил новые. По мере своего усложнения математическое рассуждение неиз­бежно удалялось от повседневной интуиции, что возымело два важных противоположных следствия. Во-первых, математики стали более пе­дантичными в отношении доказательств, которые, прежде чем быть принятыми, подвергались все более суровым проверкам на соответ­ствие нормам точности. Но во-вторых, изобрели более мощные методы доказательства, которые не всегда можно было обосновать с помощью существующих методов. И из-за этого часто возникали сомнения, был ли какой-то частный метод доказательства, несмотря на свою самооче­видность, абсолютно безошибочным.

Таким образом, к 1900 году наступил кризис основ математики, который заключался в том, что этих основ не было. Но что же про­изошло с законами чистой логики? Их перестали считать способными разрешить все математические споры? Удивителен тот факт, что те­перь математические споры в сущности и велись о «законах чистой логики». Первым эти законы привел в систему Аристотель еще в 4 веке до н.э., тем самым заложив то, что сегодня называют теорией доказа­тельства. Он допустил, что доказательство должно состоять из после­довательности утверждений, которая начинается с каких-либо посылок и определений, а заканчивается желаемым выводом. Чтобы последова­тельность утверждений была обоснованным доказательством, каждое утверждение, кроме начальных посылок, должно следовать из преды­дущих в соответствии с одним из постоянного набора законов, называ­емых силлогизмами. Типичным был следующий силлогизм

Все люди смертны.

Сократ — человек.

[Следовательно] Сократ смертен.

Другими словами, это правило гласило, что если в доказательстве появляется утверждение вида «все А имеют свойство В» (как в данном случае «все люди смертны») и другое утверждение вида «индивидуум Х есть А» (как в данном случае «Сократ — человек»), то впоследствии в доказательстве обоснованно появление утверждения «X имеет свой­ство В» («Сократ смертен»), и это утверждение, в частности, является обоснованным выводом. Силлогизмы выражают то, что мы назвали бы правилами вывода, то есть правилами, определяющими этапы, которые допустимы при доказательстве, такими, что истина посылок переходит к выводам. Кроме того, эти правила можно применить, чтобы опреде­лить, обосновано ли данное доказательство.

Аристотель заявил, что все обоснованные доказательства можно выразить в виде силлогизмов. Но он не доказал это! А проблема теории Доказательства заключалась в том, что очень небольшое количество со­временных математических доказательств выражались в виде чистой последовательности силлогизмов; более того, большинство из них не­возможно было привести к такому виду. Тем не менее, большинство Математиков не могли заставить себя следовать букве закона Аристо­теля, так как некоторые новые доказательства казались так же само­очевидно обоснованными, как и рассуждение Аристотеля. Математики перешли на новый этап развития. Новые инструменты, такие, как сим­волическая логика и теория множеств, позволили математикам уста­новить новую связь между математическими структурами. Благодаря этому появились новые самоочевидные истины, независимые от клас­сических правил вывода, и, таким образом, классические правила ока­зались самоочевидно неадекватными. Но какие же из новых методов доказательства были действительно безошибочными? Как нужно было изменить правила вывода, чтобы они обрели законченность, на кото­рую ошибочно претендовал Аристотель? Как можно было вернуть абсо­лютный авторитет старых правил, если математики не могли прийти к соглашению относительно того, что является самоочевидным, а что бессмысленным?

Тем временем математики продолжали строить свои абстрактные небесные замки. Для практических целей многие такие строения каза­лись достаточно надежными. Некоторые из них стали необходимы для науки и техники, а большинство образовало красивую и плодотворную структуру. Тем не менее, никто не мог гарантировать, что вся эта структура, или какая-то существенная ее часть, не имела в своей осно­ве логического противоречия, которое буквально лишило бы ее всякого смысла. В 1902 году Бертран Рассел доказал несостоятельность схе­мы строгого определения теории множеств, которую только что пред­ложил немецкий логик Готлоб Фреге. Это не значило, что эта схема непременно была необоснованной для использования множеств в дока­зательствах. На самом деле совсем немногие математики всерьез счи­тали, что хоть какой-то из обычных способов использования множеств, арифметики или других ключевых разделов математики может быть необоснованным. В результатах Рассела поражало то, что математики верили, что их предмет является par excellence средством получения абсолютной определенности через доказательство математических тео­рем. Сама возможность разногласий относительно обоснованности раз­личных методов доказательства подрывала всю суть (как считалось) предмета.

Поэтому многие математики чувствовали, что подведение под те­орию доказательства, а тем самым и под саму математику, надежной основы было насущным делом, не терпящим отлагательства. Они хотели объединиться после своих опрометчивых выпадов, чтобы раз и навсегда определить, какие виды доказательства являются абсолютно надежны­ми, а какие нет. Все, что оказалось вне зоны надежности, можно было бы отбросить, а все, что попадало в эту зону, стало бы единственной основой всей будущей математики.

В этой связи голландский математик Лейтзен Эгберт Ян Брауэр пропагандировал чрезвычайно консервативную стратегию теории дока­зательства, известную как интуиционизм, которая и по сей день имеет своих сторонников. Интуиционисты пытаются толковать «интуицию» самым ограниченным постижимым образом, оставляя лишь то, что они считают ее неоспоримыми самоочевидными аспектами. Затем они под­нимают таким образом определенную математическую интуицию на уровень даже более высокий, чем позволял себе Платон: они считают ее более веской, чем даже чистая логика. Таким образом, они считают саму логику ненадежной, за исключением тех случаев, когда ее до­казывает прямая математическая интуиция. Например, интуиционисты отрицают, что можно иметь прямую интуицию какой-либо беско­нечной категории. Следовательно, они отрицают существование любых бесконечных множеств, например, множества всех натуральных чисел. Высказывание о том, что «существует бесконечно много натуральных чисел», они сочли бы самоочевидно ложным. А высказывание о том, что «существует больше сред Кантгоуту, чем физически возможных сред», — абсолютно бессмысленным.

Исторически интуиционизм, равно как и индуктивизм, сыграл цен­ную освободительную роль. Он осмелился подвергнуть сомнению по­лученные определенности — некоторые из которых действительно ока­зались ложными. Но как позитивная теория о том, что является или не является обоснованным математическим доказательством, он и гроша ломаного не стоит. В действительности интуиционизм — это точное выражение солипсизма в математике. В обоих случаях наблюдается Чрезмерная реакция на мысль о том, что мы не можем быть увере­ны в том, что нам известно о более отдаленном мире. В обоих случаях предложенное решение состоит в том, чтобы уйти во внутренний мир, который мы, предположительно, можем познать напрямую, и следова­тельно (?), можем быть уверены, что познали истину. В обоих случаях решение заключается в отрицании существования — или, по крайней Мере, в отказе от объяснения — того, что находится вовне. И в обо­их случаях этот отказ также делает невозможным объяснение большей Части того, что находится внутри предпочитаемой области. Например, если действительно ложно то (как утверждают интуиционисты), что существует бесконечно много натуральных чисел, то можно сделать вывод, что может существовать только конечное множество таких чи­сел. А сколько их может быть? И потом, сколько бы их не было, почему нельзя создать интуицию следующего натурального числа, превышаю­щего последнее? Интуиционисты оправдались бы в этом случае, ска­зав, что приведенный мной аргумент допускает обоснованность обыч­ной логики. В частности, он содержит процесс вывода: из факта, что не существует бесконечно много натуральных чисел, делается вывод, что должно существовать какое-то конкретное количество натураль­ных чисел. Применяемое в данном случае правило вывода называется законом исключенного третьего. Этот закон гласит, что для любого вы­сказывания Х (например, «существует бесконечно много натуральных чисел»), не существует третьей возможности кроме истинности Х и ис­тинности отрицания Х («существует конечное множество натуральных чисел»). Интуиционисты хладнокровно отрицают закон исключенного третьего.

Поскольку в разуме большинства людей сам закон исключенно­го третьего подкреплен мощной интуицией, его отрицание естественно вызывает у неинтуиционистов сомнение в том, так ли уж самоочевид­на надежность интуиции интуиционистов. Или, если мы сочтем, что закон исключенного третьего исходит из логической интуиции, он при­водит нас к пересмотру вопроса о том, действительно ли математи­ческая интуиция превосходит логику. В любом случае может ли это превосходство быть самоочевидным?

Но все это направлено на критику интуиционизма извне. Это не опровержение: интуиционизм невозможно опровергнуть вообще. Если кто-либо настаивает, что для него очевидно самосогласованное выска­зывание, как если бы он настаивал на том, что существует только он один, доказать его неправоту невозможно. Однако, как и в случае с со­липсизмом, воистину роковая ошибка интуиционизма открывается не тогда, когда на него нападают, а тогда, когда его всерьез принима­ют, на его же собственной основе, в качестве объяснения своего соб­ственного, произвольно усеченного мира. Интуиционисты верят в ре­альность конечного множества натуральных чисел 1, 2, 3. ... , и даже 10949769651859. Но интуитивный аргумент, что поскольку за каждым из этих чисел следует еще одно, значит, они образуют бесконечную последовательность, Интуиционисты считают не более чем самообма­ном или искусственностью и буквально несостоятельным. Но усиливая связь между своей версией абстрактных «натуральных чисел» и ин­туицией, что первоначально эти числа должны были быть формализо­ваны, интуиционисты также сами отрицают обычную объяснительную структуру, через которую понимают натуральные числа. Это вызывает проблему для каждого, кто предпочитает объяснения необъясненным усложнениям. Вместо того чтобы решить эту проблему, предоставив для натуральных чисел альтернативную или более глубокую объяс­нительную структуру, интуиционизм делает то же самое, что делала Инквизиция и что делали солипсисты: он еще дальше уходит от объ­яснений. Он вводит дальнейшие необъясненные усложнения (в данном случае отрицание закона исключенного третьего), единственная цель которых состоит в том, чтобы позволить интуиционистам вести себя так, как если бы объяснения их противников были истинными, но не делая из этого никаких выводов относительно реальности.

Точно так же как солипсизм начинается с мотивации упрощения пугающе разнообразного и неопределенного мира, но при серьезном к нему отношении оказывается реализмом в сочетании с нескольки­ми ненужными усложнениями, так и интуиционизм оканчивается тем, что становится одной из самых контринтуитивных доктрин, которые когда-либо всерьез пропагандировали.

Дэвид Гильберт предложил гораздо более разумный — хотя, в ко­нечном счете, и обреченный — план «раз и навсегда ввести убежден­ность в математических методах». План Гильберта основывался на идее согласованности. Он надеялся составить полный набор современных правил вывода математических доказательств с определенными свой­ствами. Количество таких правил должно было быть конечным. Они Должны были быть применимы напрямую, так чтобы определить, удов­летворяет ли им какое-то предложенное доказательство, не составляло бы труда и не вызывало противоречий. Желательно, чтобы эти прави­ла были интуитивно самоочевидными, но это не было первостепенным требованием для прагматичного Гильберта. Он был бы удовлетворен, если бы правила лишь умеренно соответствовали интуиции при усло­вии, что он мог бы быть уверен в их самосогласованности. То есть, если правила определили данное доказательство как обоснованное, он хотел быть уверен, что они никогда не определят как обоснованное любое другое доказательство с противоположным выводом. Как он мог быть Уверен в этом? На этот раз согласованность должна была быть дока­зана с помощью метода доказательства, который сам придерживался тех же правил вывода. Таким образом, Гильберт надеялся восстановить завершенность и определенность Аристотеля. Он также надеялся, что с помощью этих правил будет, в принципе, доказуемо любое истин­ное математическое утверждение и не будет доказуемо любое ложное утверждение. В 1900 году в ознаменование начала века Гильберт опуб­ликовал список задач, которые, как он надеялся, математики смогут решить в двадцатом веке. Десятая задача заключалась в нахождении набора правил вывода с вышеуказанными свойствами и доказательстве их состоятельности в соответствии с их собственными нормами.

Гильберту было предначертано пережить разочарование. Тридцать один год спустя Курт Гедель создал революционную теорию доказа­тельства с коренным опровержением, которая до сих пор является от­правной точкой для математического и физического миров: он доказал, что десятая задача Гильберта не имеет решения. Во-первых, Гедель доказал, что любой набор правил вывода, способный правильно обос­новать даже доказательства обычной арифметики, никогда не сможет обосновать доказательство своей собственной согласованности. Следо­вательно, нечего и надеяться найти доказуемо согласованный набор правил, который предвидел Гильберт. Во-вторых, Гедель доказал, что если какой-то набор правил вывода в некоторой (достаточно обширной) области математики является согласованным (неважно, доказуемо это или нет), то в пределах этой области должны существовать обоснован­ные методы доказательства, которые эти правила не могут определить как обоснованные. Это называется теоремой Геделя о неполноте. Для доказательства своих теорем Гедель пользовался замечательным рас­ширением «диагонального доказательства» Кантора, о котором я упоми­нал в главе 6. Он начал с рассмотрения любого согласованного набора правил вывода. Затем он показал, как составить утверждение, кото­рое невозможно ни доказать, ни опровергнуть с помощью этих правил. Затем он доказал, что это высказывание истинно.

Если бы программа Гильберта работала, это было бы плохой но­востью для концепции реальности, выдвигаемой мной в этой книге, поскольку это устранило бы необходимость понимания при критике математических идей. Кто угодно — или какая угодно неразумная ма­шина, — способный выучить наизусть правила вывода, на которые так надеялся Гильберт, смог бы так же хорошо оценивать математичес­кие высказывания, как и самый способный математик, не нуждаясь в математическом понимании или даже не имея самого отдаленного понятия о смысле этого высказывания. В принципе, было бы возможно делать новые математические открытия, не зная математики вообще, а зная только правила Гильберта. Можно было бы просто проверять все возможные строки букв и математических символов в алфавитном порядке, пока одна из них не удовлетворила бы проверке на то, является ли она доказательством какой-либо знаменитой недоказанной гипотезы или нет. В принципе, так можно было бы уладить любое разногласие в математике, даже не понимая его смысла — даже не зная значения символов, не говоря уж о понимании принципа действия доказательства или того, что оно доказывает, или в чем заключается метод доказатель­ства, или почему оно надежно.

Может показаться, что достижение единых норм доказательства в математике могло бы, по крайней мере, помочь нам во всеобщем стремлении к объединению — то есть «углублению» нашего знания, на которое я ссылался в главе 1. Однако происходит обратное. Подобно предсказательной «теории всего» в физике, правила Гильберта почти ничего не сказали бы нам о структуре реальности. Они реализовали бы, в пределах математики, предельное видение редукционистов, пред­сказывающее все (в принципе), но ничего не объясняющее. Более того, если бы математика была редукционистской наукой, то все нежелае­мые черты, которые, как я доказал в главе 1, отсутствуют в структуре человеческого знания, присутствовали бы в математике: математичес­кие идеи создали бы иерархию, в основе которой лежали бы правила Гилберта. Математические истины, проверка которых, исходя из этих правил, оказалась бы очень сложна, стали бы объективно менее фунда­ментальными, чем те, которые можно было бы немедленно проверить с помощью этих правил. Поскольку мог существовать только конечный набор таких фундаментальных истин, со временем математике при­шлось бы заниматься даже менее фундаментальными задачами. Мате­матика вполне могла исчерпать себя при этой зловещей гипотезе. Если бы этого не произошло, она неизбежно распалась бы на даже более за­гадочные специализации, по мере увеличения сложности «исходящих» вопросов, которые математики были бы вынуждены решать, и по мере еще большего отдаления этих вопросов от основ самого предмета.

Благодаря Геделю мы знаем, что никогда не будет непреложного метода определения истинности математического высказывания, как не существует и непреложного метода определения истинности науч­ной теории. Как никогда не будет и непреложного метода создания ново­го математического знания. Следовательно, математический прогресс всегда будет зависеть от использования творчества. Изобретение новых видов доказательства всегда будет возможно и необходимо для мате­матиков. Они будут обосновывать их с помощью новых аргументов и новых способов объяснения, зависящих от их непрерывно увеличиваю­щегося понимания абстрактных категорий, связанных с этим доказа­тельством. Примером служат теоремы самого Геделя: чтобы доказать их, ему пришлось изобрести новый метод доказательства. Я сказал, что этот метод был основан на «диагональном доказательстве», одна­ко Гедель по-новому расширил это доказательство. До него так ничего не доказывали; никакие правила вывода, составленные кем-либо, кто никогда не видел метода Геделя, не могли бы определить его как об­основанный. Однако он является самоочевидно обоснованным. Откуда исходит эта самоочевидность? Она исходит из понимания Геделем при­роды доказательства. Доказательства Геделя так же неоспоримы, как и любые другие математические доказательства, но только для того, кто прежде поймет сопровождающее их объяснение.

Таким образом, объяснение все-таки играет ту же самую первосте­пенную роль в чистой математике, как оно играет ее в науке. Объясне­ние и понимание мира — физического мира и мира математических аб­стракций — в обоих случаях является целью изучения. Доказательство и наблюдения — это всего лишь средства проверки наших объяснений.

Роджер Пенроуз извлек из результатов Геделя еще более глубо­кий, радикальный и достойный Платона урок. Как и Платона, Пенроуза восхищает способность человеческого разума постигать абстрактные определенности математики. В отличие от Платона Пенроуз не верит в сверхъестественное и принимает как само собой разумеющееся, что мозг — часть естественного мира и имеет доступ только к этому ми­ру. Таким образом, задача для него встает даже более остро, чем для Платона: как может беспорядочный, ненадежный мир давать математи­ческие определенности такой беспорядочной и ненадежной части себя, какой является математик? В частности, Пенроуза удивляет, как мы можем понять безошибочность новых обоснованных форм доказатель­ства, которых, как уверяет Гедель, бесконечно много.

Пенроуз все еще работает над подробным ответом, но он заявля­ет, что само существование свободной математической интуиции та­кого рода фундаментально несовместимо с существующей структурой физики и, в частности, с пр