Кинематика материальной точки. Координатный способ описания движения МТ.

Кинематика материальной точки. Координатный способ описания движения МТ.

Механика – раздел физики, который изучает движение и взаимодействие тел.

Кинематика - раздел механики, изучающий движение тел без учёта причин его вызвавших.

Основная задача кинематики – расчёт кинематических характеристик движущихся объектов, к которым относятся скорость, ускорение и траектория.

Для описания движения необходимо выбрать систему отсчета. Система отсчета состоит из тела отсчета и системы пространственных координат, снабженной часами и связанной с телом отсчета. Тело отсчета − произвольно выбранное, в идеале – абсолютно твердое тело, относительно которого определяется положение остальных тел.

Существует 3 способа описания кинематики материальной точки.

Координатный способ описания движения материальной точки.

Система координат характеризуется единичными векторами.

Перемещение может быть представлено как результат трех независимых перемещений вдоль координатных осей: x = x ( t ), y = y ( t ), z = z ( t ). Т.е. общий закон движения МТ можно разбить на 3.

Воспользовавшись теоремой Пифагора, получаем:

Скорость:

Ускорение:

Можем рассмотреть обратную задачу. Для этого необходимо знать:

Кинематика материальной точки. Траекторный способ описания МТ.

Механика – раздел физики, который изучает движение и взаимодействие тел.

Кинематика - раздел механики, изучающий движение тел без учёта причин его вызвавших.

Основная задача кинематики – расчёт кинематических характеристик движущихся объектов, к которым относятся скорость, ускорение и траектория.

Для описания движения необходимо выбрать систему отсчета. Система отсчета состоит из тела отсчета и системы пространственных координат, снабженной часами и связанной с телом отсчета. Тело отсчета − произвольно выбранное, в идеале – абсолютно твердое тело, относительно которого определяется положение остальных тел.

Существует 3 способа описания кинематики материальной точки.

Траекторный способ описания движения МТ.

Используется, если траектория движения заранее известна. Необходимо определить начальную точку (откуда тело начинает движение) и направление движения.

l – перемещение вдоль траектории. Это естественная координата, меняющаяся со временем.

l(t) - закон движения.

Чтобы описать движение в т.1 вводим единичный вектор , переменного направления по траектории( .

( - показывает, как изменяется модуль скорости вдоль траектории; ).

Реактивное движение

Единственный аппарат, способный преодолеть силу тяжести - это ракета, т.е. аппарат с реактивным двигателем, использующим горючее и окислитель, находящиеся на самом аппарате.

Неконсервативные силы, диссипация механической энергии. Примеры неконсервативных сил.

Неконсервативные силы – все другие силы, которые не удовлетворяют условию и работа которых зависит от пройденного пути.

В этом случае работа не идёт на увеличение потенциальной энергии, а идёт на увеличение кинетической энергии молекул тела. Кинетическая энергия тела уменьшается, происходит её рассеяние или диссипация.Однако это не означает, что энергия исчезла. Она просто перешла в энергию теплового движения молекул.

Диссипативные силы рассеивают энергию тел (сила трения, сила сопротивления). При наличии сил трения и сопротивления энергия механической системы уменьшается, переходя во внутреннюю энергию тел, что приводит к их нагреванию. Такой процесс называют диссипацией энергии, а силы называют диссипативными. Т.о., сила называется диссипативной, если работа, совершаемая этой силой, зависит от траектории движения тела. А диссипация в механических системах – это переход части их механической энергии в энергию неупорядоченных процессов, в конечном счёте - в теплоту.

Гироскопические силы (сила Лоренца). Эти силы зависят от скорости движения материальной точки и действуют перпендикулярно к этой скорости. Работа таких сил всегда равна нулю, однако от консервативных сил они отличаются тем, что определяются не только положением точки, но и ее скоростью.

Внутренняя энергия тела представляет собой кинетическую энергию невидимого беспорядочного движения атомов и молекул вещества, а также потенциальную энергию их взаимодействия. Беспорядочное движение атомов и молекул воспринимается нашими органами чувств в виде тепла. Таково физическое объяснение кажущейся потери механической энергии при ударе, трении.

Туннельный эффект.

Туннелирование – прохождение микрочастицы через потенциальный барьер. Потенциальный барьер –область пространства от 0 до Х, где потенциальная функция имеет большее значение, чем в соседних областях.

Коэффициент потенциальности:

Выражения для уравнения Шредингера для областей 1,3 и 2 будут отличаться:
для 1,3: для 2:

Ψ₁(x)=A₁e^ikx+B₁е^-ikx (область 1);

Ψ₂(x)=A₂e^iqx+B₂е^-iqx (область 2);

Ψ₃(x)=A₃e^ikx+B₃е^-ikx ; в общем решении B₃е^-ikx →0 (область 3).

Особенности квантовой механики:

1. Все частицы – тождественные величины.

2. В зависимости от вида потенциальной ф-и, отношение Е потенциальной ф-и и Е частицы изменяются.

3. Т.к. вид потенциальной ф-и всегда отличается от теор. бескон. глубины потенциальной ямы, то обнаруживается ненулевая вероятность нахождения частицы за пределами потенциальной ямы.

Основные принципы термодинамики. Понятие внутренней энергии, состояния, системы, процесса. Равновесные и неравновесные процессы. Первое начало термодинамики для изотермического, изобарического, изохорного и адиабатического процессов.

Термодинамика изучаетмакросистемы (системы которые состоят из очень большого числа частиц) не интересуясь их внутренним строением. При таком подходе для характеристики систем используется понятия и сведения величин, которые относятся к системе в целом. И эти величины могут быть непосредственно изменены в эксперименте.

Термодинамика опирается на 2 принципа,которые представляют собой обобщение совокупностей экспериментальных данных: 1.Принцип эквивалентности теплоты и работы: если над системой совершается работа, то она может быть определена через изменение характеристик, характеризующих количество теплоты, полученной либо отданное системой. 2.Самопроизвольный переход теплоты в системе является односторонним (однонаправленным). Происходит от нагретых тел к холодным.

Выводытермодинамики не зависят от наших представлений о микроструктуре вещества, поскольку они – следствия основных положений термодинамики, надёжность выводов определяется надёжностью исходных принципов.

Термодинамика и МКТ (молекулярно-кинетическая теория) оперируются своим набором понятий и величин.

Система –этолюбое тело или совокупность тел, свойства которых рассматриваются в данной задаче. Если тело не входит в систему, то оно называется внешним телом. Если взаимодействием системы с внешними телами можно пренебречь, то такую систему называют замкнутой,т.е. система изолирована. Система будет незамкнутой (неизолированной),если есть взаимодействие с внешними телами.

Состояние системыопределяется совокупностью измеренных физ. величин, которые называются параметрами системы.Они позволяют полностью описать состояние системы.В термодинамики это P,T,V. (P,Т –внутренние параметры, их величина зависит от свойств самой системы. V –внешний параметр. Это величина характеризует свойство системы в зависимости от наличия взаимодействия с внешними телами либо от величины взаимодействия внешних сил.)

Состояния системы разделяют на равновесные,если при отсутствии внешних воздействий все параметры системы сохраняют свои значения сколь угодно долго.Неравновесные, если параметры системы будут изменяются во времени.

Процесс -переход из одного состояния системы в другое. Процессы могут быть равновесные(если в ходе изменения состояния системы в любой момент времени состояние системы является равновесным); если переход из одного состояния в другое может происходить достаточно медленно, то состояние в каждый момент времени можно считать равновесным. Большинство процессов в системе неравновесные.

Только равновесные процессы можно изображать графически в системе координат, которые отражают термодинамические параметры, неравновесные процессы представить т.о. нельзя.

Равновесные процессы = квазистатические = медленно изменяющиеся.

Внутренняя энергия U системы - это сумма кинетической энергии хаотического движения частиц и потенциальной энергий их взаимодействия друг с другом. Внутренняя энергия является функцией состояния системы. Это означает, что всякий раз, когда система оказывается в состоянии с заданными значениями V и Т, ее внутренняя энергия принимает присущее этому состоянию значение, независимо от того, каким способом система приведена в это состояние.

Существует некая функциональная зависимость между термодинамическим состоянием системы. И эта функция есть уравнение состояния системы.

Состояние системы можно изменить 2 способами:

1. совершить некую работу над системой или предоставить системе возможность самой совершать работу.

2. осуществить теплообмен системы с внешними телами.

Идеальный газ – это газ, подчиняющийся

Первое начало термодинамики Q=∆U+A

Количество теплоты, которое сообщается системе идёт на приращение её внутренней энергии и на совершение системой работы над внешними телами.

1.Изотермический процесс: Т=соnst; PV=const ⇒ P=const/V (Закон Бойля-Мариотта: PV=const)

U(T)=νC_vT⇒dU=0;δQ= δA ⇒

2.Изобарический:P=const; V/T = const ⇒ V=T const (Закон Гей-ЛюссакаV/T = const)

δQ=dU+ δA; δQ= νC_vT+δA; ; U=νC_v∆T

3.Изохорный процесс:V= const Р/T = const ⇒ Р=T const (Закон ШарляР/T = const)

dV≡0 ⇒ δA≡0; δQ= dU; 0; ∆U=νC_v∆T

4.Адиабатический процесс -процесс который происходит без теплообмена с окружающей средой.

Изменение внутренней энергии системы численно равно значению работы, взятой с противоположным знаком. Если система совершила работу, то значение ∆U – убыло. В адиабатном процессе вся работа совершается за счёт внутренней энергии газа.

PV^γ=const – Уравнение Пуассонаили уравнение адиабаты.

ТV^γ-1=const Т^γР^1-γ=const - выражения для уравнения Пуассона

Адиабатический процесс при Q=0:

δQ=0 ⇒ dU=-δA ⇒ U=-A ⇒ A=-U=-νC_v(T₂-T₁)

∆U=νC_v∆T

Закон равнораспределения энергии по степеням свободы движения молекул. Классическая теория теплоёмкости газов и её ограниченность. Объяснение температурной зависимости теплоёмкости газов на основе представлений квантовой механики. Закон Дюлонга и Пти.Фононы.

Степень свободы – число независимых координат, определяющих положение системы (молекул).
Для того чтобы однозначно указать положение материальной точки в пространстве в любой момент времени, необходимо знать три координаты. Таким образом, молекула одноатомного газа имеет три степени свободы. Молекулу двухатомного газа можно рассмотреть как совокупность двух материальных точек. Помимо трех степеней свободы газ имеет еще две степени свободы вращательного движения. Аналогично и с трехатомным – 3 степени свободы для поступательного движения и 3 степени свободы для вращательного.

Для реальных молекул следует учитывать также степени свободы колебательного движения.

U=νC_VT; , C_V величина изохорной теплоёмкости .

Если у системы есть некое число i степеней свободы, то средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы, будет равна . Соответственно, если есть i степеней, то
.
Среднее значение кинетической энергии поступательного движения одной молекулы (ν=N/N_A, k=R/N_A – постоянная Больцмана): . Отсюда средняя энергия поступательного движения одноатомной молекулы (i=3) равна утроенному значению величины kT/2, которая является характерной «порцией» тепловой энергии хаотического движения.⇒ На каждую степень свободы приходится энергия, равная kT/2. Это утверждение составляет содержание классического закона о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Поэтому с учётом всех видов степеней свободы молекул (поступательных, вращательных и колебательных): – Закон равнораспределения энергии,где i=i_пост+i_вращ+2i_кол (2 перед i_кол учитывает одинаковый вклад от средних значений кинетической и потенциальной энергий осциллятора).
Теплоёмкость идеального газа.Выражение для внутренней энергии U=iνRT/2=U(T) позволяет определить классическое значение теплоёмкости вещества. Молярная теплоёмкость при постоянном объёме(ν=1): . С учётом уравнения Майера молярная теплоёмкость при постоянном давлении С_Р=С_V+R=iR/2+R=R(i+2)/2.
Рассматриваемая здесь классическая теория определяет численное значение адиабатической постоянной: ; ; Из полученных соотношений для С_Р и С_V следует, что теплоёмкость газа определяется только числом степеней свободы и не зависит от температуры. Это является следствием закона о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул идеального газа.
. С точки зрения идеального газа изохорная теплоёмкость будет постоянной величиной, но на самом деле она изменяется.
С ростом температуры газ (чаще всего водород) ведёт себя следующим образом: при низкой температуре вклад в теплоёмкость степеней свободы при вращении вокруг осей пренебрежимо мал, а при высоких t происходит активация этих степеней свободы ( если увеличивать Т, то произойдёт скачок) так, что система обладает i=3пост+2вращ.
Если дальше увеличивать t, то i=3пост+2вращ+2кол.
В результате теплоёмкость зависит от температуры. Скачкообразное изменение С_V, при строгом рассмотрении, квантуется (т.е. есть набор частот, набор колебаний).
В случае колебаний рассматривается энергия системы как совокупность двух энергий, и на каждую из этих энергий приходится 1 степень свободы (Е=Е_К+Е_П, Е_К – движ., Е_П- взаимод.).
Если колебания не учитывать и рассматривать жёсткие системы, т.е. молекулы жёсткие, то число степеней свободы рассчитывается из простых геометрических соображений.

На основе квантовых представлений удаётся получить качественное объяснение температурной зависимости теплоёмкости многоатомных газов, т.е. теплоёмкость идеального газа молекул с внутренними степенями свободы при низких температурах обусловлена только поступательными степенями свободы; при комнатных – поступательными и вращательными степенями свободы (энергия кванта вращательного движения много меньше энергии кванта колебательного движения), а при высоких температурах вклад в теплоёмкость дают поступательные, вращательные и колебательные степени свободы.

Закон Дюлонга и Пти. Закон Дюлонга — Пти (Закон постоянства теплоёмкости) — эмпирический закон, согласно которому молярная теплоёмкость твёрдых тел при комнатной температуре близка к 3R: С=3R, поскольку U зависит от температуры, то теплоёмкости С_Р и С_V будут совпадать С_Р=С_V≡С. Закон выводится в предположении, что кристаллическая решетка тела состоит из атомов, каждый из которых совершает гармонические колебания в трех направлениях, определяемыми структурой решетки, причем колебания по различным направлениям абсолютно независимы друг от друга. Закон справедлив только при обычных (комнатных) Т, а при низких Т теплоёмкость кристалла стремится к нулю, как того и требует 3 нач. термодинамики.

Фононы. При рассмотрении модели Дебая (Основные исходные положения модели Дебая сводятся к следующему: 1. Система атомов или молекул кристалла рассматривается как совокупность связанных квантовых осцилляторов, частота ω_i колебаний которых меняется от нуля до некоторого максимально возможного значения ω_max, характерного для каждого кристалла (0≤ ω_i ≤ ω_max). Энергия таких колебаний связана с частотой ω_i формулой, аналогичной формуле Планка: ε_i= ħω_i .2.Упругие волны, возникающие в кристалле, представляют собой результат коллективного движения квантовых осцилляторов, описывающих колебательное движение атомов или молекул в окрестности узлов решетки.) отмечалось, что взаимодействие атомов или молекул в узлах кристаллической решётки приводит к появлению в кристалле упругих стоячих волн. Такие волны в силу корпускулярно-волнового дуализма можно описать, введя понятие кванта энергии упругой волны, или фонона.Энергия ε фонона определяется в соответствии с формулой Планка для фотона (ε=ħω), а импульс р связан с волновым вектором k (k=2π/λ) соотношением р=ħk, которое аналогично формуле де Бройля (р=hν/c=h/λ⇒λ=h/p).
Поскольку фонон описывает корпускулярные свойства, то для него используют так же термин «квазичастица». Возможность введения понятия фонона для учёта коллективного движения атомов в кристалле обусловлена тем, что среднее значение колебательной энергии системы связанных атомов в кристалле приближенно равна сумме энергий таких фононов. А это значит, что совокупностью фононов можно рассматривать как идеальный газ квазичастиц, подчиняющихся статистике Бозе-Эйнштейна (т.е. фононы являются бозонами, поскольку имеют целочисленные спин).

Кинематика материальной точки. Координатный способ описания движения МТ.

Механика – раздел физики, который изучает движение и взаимодействие тел.

Кинематика - раздел механики, изучающий движение тел без учёта причин его вызвавших.

Основная задача кинематики – расчёт кинематических характеристик движущихся объектов, к которым относятся скорость, ускорение и траектория.

Для описания движения необходимо выбрать систему отсчета. Система отсчета состоит из тела отсчета и системы пространственных координат, снабженной часами и связанной с телом отсчета. Тело отсчета − произвольно выбранное, в идеале – абсолютно твердое тело, относительно которого определяется положение остальных тел.

Существует 3 способа описания кинематики материальной точки.