Число обращений граждан за юридической помощью (данные условные)

Год
Число обращений

Уровни интервального ряда в отличие от уровней моментного ряда не содержатся в предыдущих или последующих показателях. Поэтому имеется возможность суммирования этих уровней. Сумма уровней интервального ряда динамики отражает данное явление за более длительный период времени. Например, путем суммирования уровней данного ряда можно получить представление о том, сколько обращается граждан за юридической консультацией, например, за каждые последующие пять лет.

По форме представления уровней различают ряды динамики абсолютных, относительных и средних величин.

Ранее были приведены примеры рядов динамики абсолютных величин. Путем их обработки получают ряды относительных и средних величин, что позволяет многократно увеличить аналитические возможности временных рядов.

В рядах динамики относительных величин уровни характеризуют изменение относительных размеров изучаемых явлений во времени (таблица 7.3).

Таблица 7.3

Реальные денежные доходы населения (в % к 2000г.)

Год
Реальные денежные доходы населения, % к 2000г.	100,0	171,5	223,4	275,5	343,1

В рядах динамики средних величин уровни характеризуют изменение средних размеров изучаемого явления во времени (таблица 7.4).

Таблица 7.4

Число дел, приходящееся в среднем на одного следователя в месяц (данные условные)

Год
Число дел, приходящееся на одного следователя

Основным требованием, предъявляемым к анализируемым рядам динамики является сопоставимость их уровней по кругу охватываемых объектов, по территории, по времени, по методологии расчета и другим признакам.

Сопоставимость по территории означает, что данные по странам и регионам, границы которых изменились в течении анализируемого периода, должны быть пересчитаны в одних пределах.

Сопоставимость по кругу охватываемых объектов подразумевает сравнение совокупностей с одинаковым числом элементов.

Сопоставимость по времени обеспечивается равенством периодов времени, за которые получают данные.

Сопоставимость по методологии расчета характеризуется тем, что при определении уровней ряда необходимо использовать единую методологию расчета.

Для приведения рядов динамики к сопоставимому виду используют так называемое смыкание рядов (объединение двух и более временных рядов в один сопоставимый ряд).

Смыкание рядов может быть произведено двумя способами: абсолютным и относительным. Остановимся на каждом из них.

При абсолютном способе смыкания все уровни ряда, предшествующие переходному периоду умножаются на коэффициент перехода, равный отношению нового и прежнего уровней в переходный момент времени. В результате получаем сопоставимый ряд динамики абсолютных величин.

Пример 7.1.

Имеются данные, характеризующие количество нотариальных контор в городе N – таблица 7.5:

Таблица 7.5

Кол-во нотариал. контор на конец года
В старых границах города N
В новых границах города N

Решение.

Для приведения ряда динамики к сопоставимому виду для 2011 года определим коэффициент перехода:

, где

x_c – количество нотариальных контор в 2011 г. в старых границах города N,

x_н – количество нотариальных контор в 2011 г. в новых границах города N.

Умножая на коэффициент перехода уровни первого ряда (в старых границах города) получаем их сопоставимость с уровнями второго ряда (в новых границах):

2008 г. – 20 × 1,087 = 22;

2009 г. – 22 × 1,087 = 24;

2010 г. – 21 × 1,087 = 23.

Получим сопоставимый ряд динамики количества нотариальных контор в городе N:

Год
Кол-во нотариал. контор на конец года

Относительный способ смыкания рядов заключается в следующем: уровни ряда переходного периода принимаются за 100% и пересчитываются все остальные уровни также в % по отношению к уровням переходного периода. Результатом применения данного способа смыкания получим сопоставимый ряд динамики относительных величин.

Пример 7.2.

Для иллюстрации применения относительного способа смыкания рядов возьмем условие предыдущего примера 7.1.

Для вычисления уровней нового сопоставимого ряда необходимо за 100% принять уровни переходного 2011 года. Для пересчета ряда в старых границах города мы принимаем за 100% уровень переходного периода первой части ряда, т.е. 23 – 100%. Для пересчета ряда в новых границах города мы берем за 100% уровень переходного периода первой части ряда (25 – 100%).

Получаем новый сопоставимый ряд динамики относительных величин:

Год
Кол-во нотариал. контор, в % к 2011 г.	86,9	95,7	91,3	100,0	108,0	104,0	112,0

Для более глубокого изучения явлений и процессов, происходящих в правовой сфере и их анализа недостаточно простого сопоставления уровней временных рядов. Для характеристики изменения явлений во времени применяются специальные статистические показатели, которые называются показателями динамики.

Расчет показателей рядов динамики осуществляется на основе сравнения их уровней. При этом возможны два способа сопоставления уровней временного ряда:

1) Все уровни ряда сравнивают с одним и тем же уровнем (обычно начальным), принятым за базу сравнения. В этом случае получают базисные показатели динамики.

2) Каждый последующий уровень ряда динамики сравнивают с предыдущим. Таким образом получают цепные показатели динамики.

Абсолютный прирост рассчитывается как разность между сравниваемыми уровнями ряда. Он показывает на сколько единиц текущий уровень ряда больше или меньше базисного или предыдущего уровня.

цепной абсолютный прирост

базисный абсолютный прирост

где - уровень текущего периода;

- уровень предыдущего периода;

- начальный уровень ряда.

Абсолютный прирост может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Знак «+» говорит о росте уровня рассматриваемого явления за определенный период времени, знак «-» – о снижении.

Темп роста – это отношение сравниваемых уровней ряда динамики, выраженное в процентах. Он показывает во сколько раз (на сколько процентов) текущий уровень больше или меньше уровня предыдущего или базисного периода.

цепной темп роста

базисный темп роста

Данный показатель может принимать только положительные значения, его величина более 100% свидетельствует о росте текущего уровня по сравнению с предыдущим или базисным, менее 100% – о снижении.

Темп прироста вычисляется путем вычитания из соответствующего темпа роста 100%.

цепной темп прироста

базисный темп прироста

Абсолютное значение 1% прироста показывает, какое абсолютное значение содержит 1% прироста и вычисляется как отношение абсолютного прироста к темпу роста или как одна сотая от уровня предыдущего периода.

При построении и анализе временных рядов часто возникает необходимость получения обобщающих показателей динамики явлений правовой сферы, а именно: среднего уровня ряда, среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста и среднего темпа прироста.

Средний уровень ряда динамики характеризует типичную величину абсолютных уровней.

В интервальных рядах динамики средний уровень определяется по формуле простой средней арифметической:

Где - уровни ряда динамики;

n – число уровней.

В моментных рядах с равноотстоящими датами времени для определения среднего уровня используют формулу хронологической средней:

Средний абсолютный прирост представляет собой обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики. Для определения среднего абсолютного прироста необходимо сумму цепных абсолютных приростов разделить на их число.

где - цепные абсолютные приросты ряда динамики.

Средний абсолютный прирост также можно определить по данным об уровнях ряда динамики. Для этого разность между конечным и начальным уровнями ряда делят на число субпериодов n – 1.

Средний темп роста – обобщающая характеристика индивидуальных темпов роста временного ряда. Он определяется по следующей формуле:

где - индивидуальные цепные темпы роста (выраженные в коэффициентах).

Средний темп роста может быть вычислен и на основе абсолютных уровней ряда:

где - конечный уровень ряда;

- начальный уровень ряда.

Средний темп прироста определяют на основе взаимосвязи между темпами роста и прироста:

где - средний темп роста.

Проиллюстрируем порядок расчета абсолютных, относительных и средних показателей динамики на примере.

Пример 7.3.

В таблице 7.6 представлена динамика краж чужого имущества в регионе по годам (данные условные). Рассчитать абсолютные, относительные и средние показател динамики.

Таблица 7.6

Показатели	2010 г.	2011 г.	2012 г.	2013 г.	2014 г.
Абсолютное число краж, тыс.	50,0	53,0	52,0	55,0	57,0
Абсолютный прирост цепной, , тыс.	-	3,0	-1,0	3,0	2,0
Абсолютный прирост базисный, , тыс.	-	3,0	2,0	5,0	7,0
Темп роста цепной, , %	-	106,0	98,1	105,8	103,6
Темп роста базисный, , %	100,0	106,0	104,0	110,0	114,0
Темп прироста цепной, , %	-	6,0	-1,9	5,8	3,6
Темп прироста базисный, , %	0,0	6,0	4,0	10,0	14,0
Абсолютное значение 1% прироста,	-	0,50	0,53	0,52	0,55

Решение.

Вычисленные абсолютные и относительные показатели динамики будем также заносить в таблицу 6.

1) Вычислим абсолютные цепной и базисный приросты.

Абсолютный цепной прирост исчисляется по формуле: . Вычислим этот показатель для 2011 г. тыс. Аналогично вычисляется абсолютный цепной прирост для последующих лет (см. табл. 6).

Абсолютный базисный прирост вычислим по формуле: . За базисный год примем 2010 г. Тогда для 2011 г. = 3,0 тыс., а для 2012 г. тыс. Занесем вычисленные значения в таблицу 6.

2) Теперь перейдем к вычислению относительных показателей динамики.

Темп роста цепной найдем по формуле .

Для 2011 г. его значение будет равно .

Для 2012 г. его значение будет равно .

Аналогично получим значения для 2013 и 2014 гг. (табл. 6).

Темп роста базисный найдем по формуле . Очевидно, что для 2011 г. он будет равен 106,0%. Для 2012 г.: . Аналогично получим значения для 2012-2014 гг. (табл. 6).

Темп прироста цепной вычисляется по формуле: . Для 2011 г. темп прироста цепной будет равен . По аналогии рассчитаем темпы прироста цепные для других периодов – табл. 6.

Формула для вычисления темпа прироста базисного имеет вид . В 2011 г. значение темпа прироста базисного было таким же, как и цепного. В 2012 г. темп прироста бызисный будет равен . Занесем вычисленные значения для всех периодов в таблицу 6.

Абсолютное значение 1% прироста . В 2011 году . Рассчитаем для периода 2012-2014 гг. и занесем эти значения в таблицу 6.

Мы рассчитали все абсолютные и относительные показатели динамики. Анализируя их, можно сказать, что в 2012 г. в регионе наблюдалось снижение количества краж чужого имущества по сравнению с 2011 г. (на 1,9%), но затем произошел их рост (в 2014 г. на 14% по сравнению с 2010 г.).

3) Теперь вычислим средние показатели динамики. Надо сказать, что предложенный для анализа ряд динамики является интервальным.

Поэтому средний уровень ряда динамики будем находить по формуле

тыс. краж.

Средний абсолютный прирост будет равен:

тыс. краж.

Средний темп роста найдем по формуле . В данной формуле необходимо использовать темпы роста, выраженные не в процентах, а в коэффициентах.

Средний темп прироста = 102,65% – 100% = 2,65%

Любой ряд динамики теоретически может быть представлен в виде составляющих:

- тренд – основная тенденция развития ряда динамики;

- циклические (периодические) колебания, в том числе сезонные;

- случайные колебания.

Важным направлением в исследовании закономерностей развития процессов правовой сферы является изучение тренда или основной тенденции развития. Основная тенденция развития – это плавное и устойчивое изменение уровней изучаемого явления во времени, свободное от случайных колебаний. Задача состоит в выделении тенденции в изменении уровней временного ряда, освобожденной от действий случайных факторов. Для решения данной задачи ряды динамики подвергаются обработке специальными методами.

Наиболее распространенными методами статистического изучения тренда являются: укрупнение интервалов, сглаживание скользящей средней, аналитическое выравнивание

Метод укрупнения интервалов используется для выделения тренда в ряду колеблющихся уровней, затушевывающих основную тенденцию развития. Его суть заключается в преобразовании исходного временного ряда в ряд более продолжительных периодов времени (месячных в квартальные, квартальных в годовые и т.д.). Рассмотрим пример применения метода укрупнения интервалов.

Пример 7.4.

Количество мелких хищений продукции на предприятиях района характеризуется следующими данными – таблица 7.7. Выявить общую закономерность ряда динамики.

Таблица 7.7

месяц

Число выявлен. хищений

квартал

Среднее число выявлен. хищений

Решение.

Анализируя исходный ряд динамики, можно сказать, что тенденция изменения числа мелких хищений на предприятиях района по месяцам не прослеживается. Поэтому необходимо укрупнить уровни ряда динамики до кварталов. Например, в первом квартале среднее количество хищений будет равно

Аналогично подсчитываем среднее количество хищений во 2, 3 и 4 кварталах и заносим данные в таблицу 7. В результате укрупнения уровней четко прослеживается тенденция к уменьшению числа выявленных мелких хищений на предприятиях района в течение года.

Другой метод, применяемый для статистического изучения тренда – метод скользящей средней. Он заключается в замене абсолютных уровней ряда средними арифметическими, вычисленными за определенные периоды. Вычисление средних ведется методом скольжения, т.е. постепенным исключением из принятого периода скольжения первого уровня и включением последующего.

Скользящая средняя обладает достаточной гибкостью, но недостатком данного метода является укорачивание сглаженного ряда по сравнению с исходным, что ведет к потере информации.

Период скольжения может быть как четным, так и нечетным. На практике удобнее использовать нечетный период, так как в данном случае скользящая средняя будет отнесена к центру периода скольжения. Например, при трехчленном периоде скольжения скользящие средние будут определяться по формулам:

и т.д.

Полученные скользящие средние относят к центру соответствующего периода.

Особенностью сглаживания с использованием четного числа уровней заключается в том, что каждая из вычисленных скользящих средних относится к соответствующим промежуткам между смежными периодами. Для получения значений сглаженных уровней соответствующих периодов производят центрирование скользящих средних (определяется серединное значение между соседними скользящими средними). Рассмотрим применение метода скользящей средней на примере.

Пример 7.5.

Динамика аварийности на дорогах региона по месяцам представлена в таблице 7.8, столбцы 1-2 (данные условные). Выявить тренд ряда динамики при помощи метода скользящей средней.

Таблица 7.8

месяц	количество аварий, тыс.	скользящая сумма пяти членов ряда	скользящая средняя пяти членов ряда
1	2	3	4
	5,7	-	-
	6,0	-	-
	6,0	29,3	5,86
	5,9	30,5	6,10
	5,7	31,6	6,32
	6,9	32,9	6,58
	7,1	34,7	6,94
	7,3	37,4	7,48
	7,7	38,4	7,68
	8,4	39,6	7,92
	7,9	41,1	8,22
	8,3	41,9	8,38
	8,8	42,7	8,54
	8,5	44,7	8,94
	9,2	-	-
	9,9	-	-

Решение.

В данном примере мы будем использовать нечетный период скольжения, состоящий из пяти членов ряда. Первый член ряда рассчитыватся по формуле простой средней арифметической из первых пяти уровней:

Второй член ряда рассчитаем путем расчета средней из следующих пяти уровней, начиная со второго:

Далее последовательно вычисляем последующие скользящие суммы и соответствующие им средние арифметические, каждый раз сдвигаясь на один уровень ниже. Заносим полученные значения в таблицу 8, столбцы 3-4. В результате скользящая средняя пяти членов ряда, представленная в таблице 8, иллюстрирует общее направление в динамике аварийности в регионе – постепенное увеличение количества аварий.

Применение в анализе временных рядов методов укрупнения интервалов и скользящей средней позволяют выявить тренд для его описания, но получать обобщенную статистическую оценку тренда посредством данных методов не представляется возможным. Более совершенным методом изучения общей тенденции является аналитическое выравнивание. Основным содержанием этого метода является то, что основная тенденция развития явления выражается в виде функции времени:

Определение теоретических (расчетных) уровней осуществляют на основе математической функции, которая наилучшим образом отображает развитие изучаемого процесса во времени. Одним из условий применения метода аналитического выравнивания является знание типов развития социально-правовых явлений во времени и их отличительных признаков. Наиболее часто используют следующие типы развития процессов:

1. Равномерное развитие. Для этого типа динамики характерны относительно стабильные абсолютные приросты:

Основная тенденция во временных рядах со стабильными абсолютными приростами отображается уравнением линейной функции:

Где – параметры уравнения тренда;

t – показатель времени.

Параметр называется коэффициентом тренда, он определяет направление развития явления. Если ñ 0, то уровни ряда динамики равномерно возрастают, если á 0, то наблюдается их равномерное снижение.

2. Равноускоренное (равнозамедленное) развитие. Для данного типа развития характерно постоянство цепных темпов прироста:

Основная тенденция во временных рядах со стабильными темпами прироста отображается уравнением параболы второго порядка:

3. Развитие с переменным ускорением (замедлением). Для данного типа динамики основная тенденция развития отображается уравнением параболы третьего порядка:

4. Развитие по экспоненте. Для данного типа развития присуща стабильность цепных темпов роста:

Основная тенденция во временных рядах со стабильными темпами роста отображается показательной функцией:

После выяснения характера функции, по которой происходит развитие явления во времени, необходимо определить ее параметры. Чаще всего для решения этой задачи используют метод наименьших квадратов, требованием которого является минимальность отклонений суммы квадратов между теоретическими и эмпирическими уровнями ряда динамики:

Для нахождения параметров уравнения тренда составляется и решается система нормальных уравнений. Для равномерного развития, выражающегося в виде линейной функции эта система будет иметь вид:

Применение метода аналитического выравнивания при статистическом изучении тренда проиллюстрируем на следующем примере.

Пример 7.6.

Имеются данные о динамике совершенных преступлений несовершеннолетними в регионе за 5 лет (таблица 7.9, столбцы 1-2, данные условные). Произвести аналитическое выравнивание по прямой.

Таблица 7.9

Годы, n	Кол-во совершенных преступлений, тыс., хi	Абсолютный прирост цепной	ti	ti2	ti× хi
1	2	3	4	5	6	7
	19,6	-			19,6	19,74
	21,2	1,6			42,4	21,08
	22,5	1,3			67,5	22,42
	23,8	1,3			95,2	23,76
	25,0	1,2			125,0	25,10
Итого	112,1				349,7	112,1

Решение.

1) Сначала выясним, можем ли мы выравнивать данный ряд динамики по прямой. Для этого необходимо подсчитать абсолютные цепные приросты, которые, по условию выравнивания по прямой, должны быть относительны стабильны по годам. Подсчитанные (см. табл. 9, столб. 3), из этого следует, что мы можем выравнивать по уравнению прямой .

2) Для нахождения параметров уравнения тренда составляется и решается система нормальных уравнений:

где х – исходный уровень ряда динамики;

n – число уровней ряда;

t – показатель времени, обозначаемый порядковыми номерами, начиная от низшего (табл. 9, столбец 4).

Произведем промежуточные вычисления коэффициентов системы нормальных уравнений (таблица 9, столбцы 5-6).

Подставим их в систему нормальных уравнений:

Решив данную систему, получим значения параметров уравнения прямой:

а₀ = 18,4 и а₁ = 1,34.

Итак, мы получили следующее уравнение прямой:

Подставляя значения t_i из таблицы9 в эту формулу, получаем теоретически выравненные значения – таблица 9, столбец 7. Правильность расчетов проверяется по равенству . В нашем случае эти суммы совпадают и равны 112,1. Следовательно, выравнивание по прямой было произведено верно.

Параметр а₁ = 1,34 показывает, что количество совершенных преступлений несовершеннолетними в регионе росло в среднем на 1,34 тыс. в год.

При изучении многих социально-правовых явлений и процессов нередко обнаруживаются определенные повторяющиеся колебания, которым присущи относительно устойчивые изменения уровней временного ряда на протяжении рассматриваемого периода. Такие колебания называют сезонными.

Такие колебания являются результатом влияния социальных и естественно-климатических причин, общих экономических факторов, а также других факторов, которые чаще всего являются регулируемыми. В рамках изучения преступности такие колебания хорошо просматриваются при совершении краж, в зимний период возрастает число краж из дачных домиков, а в летний период увеличивается число краж из квартир, на железнодорожном транспорте и т.д.

Практическое значение статистического изучения сезонных колебаний состоит в том, что получаемые при анализе рядов внутригодовой динамики количественные характеристики отображают специфику развития изучаемых процессов по месяцам и кварталам годового цикла.

Для измерения сезонных колебаний вычисляют индексы сезонности . В общем виде они определяются отношением эмпирических (исходных) уровней ряда динамики к теоретическим (расчетным) уровням, выступающим в качестве базы сравнения. В результате того, что измерение сезонных колебаний производится на базе соответствующих теоретических уровней тренда, в исчисляемых при этом индексах сезонности влияние основной тенденции развития устраняется (элиминируется).

Для рядов внутригодовой динамики, в которых повышающийся (снижающийся) тренд незначителен или отсутствует, индексы сезонности рассчитывают способом постоянной средней:

где - соответствующие эмпирические уровни ряда динамики;

- средний уровень ряда.

Поскольку на сезонные колебания могут накладываться случайные отклонения, для их устранения производится усреднение индивидуальных индексов одноименных внутригодовых периодов анализируемого ряда динамики. Поэтому для каждого периода годового цикла определяются средние индексы сезонности:

Рассмотрим порядок вычисления индексов сезонности на следующем примере.

Пример 7.7.

На основе данных о квартирных кражах в городе N по кварталам за 2 года (таблица 7.10, данные условные) вычислить индексы сезонности.

Таблица 7.10

Показатель	2013 г.	2014 г.
1 кв.	2 кв.	3 кв.	4 кв.	1 кв.	2 кв.	3 кв.	4 кв.
Количество квартирных краж хi
Индексы сезонности	0,959	0,986	1,114	0,941	0,954	1,014	1,107	0,925
Средние индексы сезонности	0,957	1,000	1,111	0,933	0,957	1,000	1,111	0,933

Решение.

Искомые индексы сезонности будем рассчитывать способом постоянной средней:

где - соответствующие эмпирические уровни ряда динамики;

- средний уровень ряда.

Для этого сначала вычислим средние значения числа квартирных краж для каждого года.

где х_2013-1, …., х_2014-4 – число квартирных краж по кварталам каждого года.

Теперь рассчитаем индексы сезонности и занесем их значения в таблицу.

Индексы сезонности для остальных периодов рассчитываются аналогично (см. таблица 10).

Средние индексы сезонности вычислим по формуле:

.

Так, для первого квартала средний индекс сезонности будет равен:

Значения средних индексов сезонности для трех других кварталов определяются аналогично. Занесем их также в таблицу 10.

Данные таблицы 10 позволяют сделать вывод о том, что совершение квартирных краж имеет выраженную сезонность. Очевидно, что их количество возрастает с наступлением периода отпусков – в 3-м квартале. Это наглядно подтверждается кривой сезонной волны, представленной на рисунке 7.1.

Рисунок 7.1. – График сезонной волны

Определяемые при анализе временных рядов показатели изменения уровней, тренда, сезонных колебаний имеют широкое применение при прогнозировании, т.е. при получении статистической оценки возможного уровня развития социально-правовых явлений в будущем.

Основой большинства методов прогнозирования является экстраполяция, т.е. распространение выявленных в анализе рядов динамики закономерностей изучаемого явления на будущее. В основе прогнозирования лежит предположение, что закономерность, действующая внутри рассматриваемого ременного ряда, сохраняется и в дальнейшем.

Важное значение при экстраполяции имеет продолжительность базисного ряда динамики и сроков прогнозирования. Практика прогнозирования динамики социально-правовых явлений показывает, что при экстраполяции следует использовать те периоды базисного временного ряда, которые составляют определенный этап в развитии изучаемого процесса. Установление сроков прогноза зависит от задач исследования, однако, надо иметь в виду, что, чем короче срок прогноза, тем более надежными являются результаты экстраполяции.

При прогнозировании могут использоваться различные методы экстраполяции в зависимости от исходной информации.

Упрощенные приемы прогнозирования основаны на применении средних показателей динамики и используются при недостаточной информации о предыстории развития явления. Среди них можно выделить следующие методы:

1. Метод среднего абсолютного прироста.

Данный метод используется для экстраполяции уровней развития изучаемого явления на базе ряда динамики с постоянными абсолютными приростами ( ). При этом прогнозируемый уровень вычисляется по формуле:

где – экстраполируемый уровень;

– конечный уровень базисного ряда динамики;

– средний абсолютный прирост;

t – срок прогноза.

Пример 7.8.