Правила действия над тензорами
1. Операция транспонирования тензора
В тензоре (3.7), представленном матрицей, поменяем местами строчки и столбцы. В результате получим новый тензор α*, который называется сопряженным тензору α:
т.е. имели раньше
получим: (3.8)
Замечание:
Тензор α* отличается от α, т.к. элементы строки матрицы есть составляющие векторов, образующих тензор. Таким образом, тензоры α* и α составлены из разных векторов.
2. Симметричный тензор
Если в матрице тензора составляющие расположенные симметрично главной диагонали (элементов αxx, αyy, αzz) попарно равны (т.е. αxy= αyx; αxz= αzx, …), то такой тензор называется симметричным.
Замечание:
При транспонировании симметричный тензор не претерпевает изменений, т.е. αс= α*.
3. Антисимметричным или кососимметричным тензором называется тензор, образованный матрицей:
(3.9)
Т.е. в антисимметричном тензоре элементы главной диагонали есть нули, а остальные попарно равны и противоположны по знаку.
4. Умножение тензора на скаляр
Для того чтобы умножить тензор на скаляр, необходимо умножить на этот скаляр все элементы тензора.
Замечание:
В обычной алгебре умножение на -1 меняет знак сомножителя. В тензорной алгебре, как и в алгебре векторов, такое же действие приводит к аналогичному результату.
Т.е. если антисимметричный тензор умножить на -1, то он изменит свой знак, а это действие тождественно транспонированию антисимметричного тензора.
5. Сложение тензоров
Для сложения тензоров необходимо сложить все их одноименные составляющие.
Т.е. сложение тензоров осуществляется так же, как сложение векторов.
Например:
1)
(3.10)
это равенство можно рассматривать, как разложение тензора α на три других α1; α2; α3.
2) Особенно примечателен случай такого разложения тензора (нам в дальнейшем понадобится):
(3.11)
где α* тензор сопряженный тензором α.
Осуществим это разложение в явном виде:
(3.12)
Видим, что первый тензор есть симметричный, а второй - кососимметричный, т.о. мы установили теорему:
Всякий тензор может быть представлен в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров.
Ранее мы отмечали, что тензор составляется из векторов так же, как вектор составляется из чисел (скаляров), и в связи с этим записали равенства (3.6) и (3.7). С другой стороны, более привычное представление вектора имеет такой вид:
Аналогично можно представить и тензор
(3.13)
По форме записи два последних выражения совершенно тождественны. Различие заключается в том, что вместо скаляров αx, αy, αz во втором равенстве стоят векторы , , , но это и есть как раз выражение того утверждения, что тензор составляется из векторов тем же способом, что вектор из чисел.
То обстоятельство, что в верхнем соотношении орты стоят после скаляров, несущественно, так как умножение скаляра на вектор справа и слева дает одинаковый результат и в этом смысле оба равенства можно записать похожим способом.
Замечание:
Для тензора местонахождение ортов около образующих его векторов имеет важное значение, поэтому уславливаются писать их впереди.
В равенстве (3.13) не определен никак знак умножение вектора на орты. Уславливаются называть такое умножение диадным и под ним понимают умножение без специальных правил, присущих, например, скалярному или векторному произведению. Тогда, имея в виду, что векторы , , могут быть представлены как суммы их составляющих, равенство (3.13) можно записать в виде следующей совокупности слагаемых:
(3.14)
Здесь , , и т.д. суть диадные произведения ортов.
Эти величины рассматриваются в качестве единичных фундаментальных тензоров, подобно тому, как орты , , трактуются как единичные фундаментальные вектора.
Замечание:
Сравнение равенств (3.8) и (3.14) показывает, что в матрице тензора стоят множители при единичных фундаментальных тензорах, подобно тому как в матрице (3.5) стоят множители при единичных фундаментальных векторах.
Рассмотрим равенство (3.13) и переставим в нем местами сомножители (орты и образующие тензор векторы). Тогда, производя перемножения, сопоставляя сумму аналогичную (3.14) и сравнивая множители при одинаковых фундаментальных тензорах, что получившаяся величина есть тензор, сопряженный α, т.е.
(3.15)
6. Умножение вектора на тензор
Правило:
Для умножения вектора на тензор необходимо скалярно умножить этот вектор на ближайший к нему вектор диады.
Примеры:
1)
2)
3)
4)
Следствия:
1) Из первого и второго следует, что произведение вектора на тензор слева не равно произведению вектора на тензор справа (т.е. эта операция не коммутативна)
2) Из третьего и четвертого следует, что величина произведения не изменится, если при перестановке сомножителей тензор заменить на сопряженный.
7. Единичный тензор
(3.16)
Замечание:
1. Умножение любого вектора на единичный тензор не приводит к изменению этого вектора (т.е. единичный тензор преобразует вектор сам в себя).
2. Умножение скалярной величины на единичный тензор приводит к образованию тензора, подобно тому, как умножение скаляра на единичный вектор в результате дает вектор.