Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний

Простейшее периодическое колебание, при котором смещение изменяется со временем по закону cos или sin называется гармоническим колебанием

Скорость Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru

Ускорение Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru

потенциальная энергия упруго деформированного тела равна Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru , где k - коэффициент упругости, х - смещение; откуда для потенциальной энергии колебаний находим

Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru .

Кинетическая энергия Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru , что, согласно (2) и (5), в нашем случае будет

Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru .

Анализ (7) и (8) показывает, что когда одна из энергий Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru или Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru увеличивается, то другая уменьшается. Полная же энергия

E=Wn+Wk=kA2/2

остается величиной постоянной и для пружинного маятника, (см. рис. 1), она определяется работой, совершенной внешней силой по сжатию или растяжению пружины

Вопрос 46 Сложение гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты

Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинаковой частоты, смещения которых Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru и Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru .

Используем векторную диаграмму, рис. 4; откуда следует, что Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru где

Рис. 4
Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru

Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru .

Пусть Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru , тогда

Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru , т.е. результирующее колебание не будет гармоническим. Если колебания мало отличаются по частоте, например, Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru , Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru , то результирующее колебание Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru можно рассматривать как почти гармоническое колебание с частотой Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru и медленно меняющейся амплитудой Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru . Такие периодические изменения амплитуды называются биениями.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru

6.1. Пусть Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru и Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru , тогда траекторией будет прямая линия, рис. 5: Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru .

6.2. При Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru и Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru , траекторией будет эллипс, ( рис. 6):

(x2/A2)+(y2/B2)=1.

При разных частотах складывающихся колебаний результирующие траектории будут иметь более сложный вид.

Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу.

Математический маятник

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся наневесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения[1]. Период малых собственных колебанийматематического маятника длины L неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru

и не зависит[2] от амплитуды колебаний и массы маятника.

Плоский математический маятник со стержнем — система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на растяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. Пример школьной задачи, в которой важен переход от одной к двум степеням свободы.

Уравнение колебаний маятника

Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида

Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru

где Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru ― это угол отклонения маятника в момент Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах; Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru , где Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru ― длина подвеса, Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru ― ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (т. н. гармоническое уравнение) имеет вид:

Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний - student2.ru .

Наши рекомендации