Аппроксимация диаграммы деформирования

При сложном напряженном состоянии

На основании многочисленных экспериментальных данных, получен­ных в условиях пропорционального нагружения, было установлено, что с достаточной для инженерных расчетов степенью точности диаграмму де­формирования материала независимо от вида напряженного состояния можно описать с помощью зависимости, получившей название единой (обобщенной) кривой деформирования,

.

При существенно неупругом деформировании эту кривую можно аппрок­симировать по Рамбергу-Осгуду степенной функцией вида

, (7)

где

– (8)

– интенсивность напряжения ( , , – главные напряжения);

– (9)

– интенсивность логарифмической пластической деформации;

, i = 1, 2, 3 – главные логарифмические пластические деформации;

–главные пластические деформации.

Если интенсивности напряжения и логариф­мической пластической деформации определяются зависимостями (8), (9) (как известно, это не единственно возможный вариант), значения показателя упрочнения m и коэффициента прочности материала K будут совпадать с величинами, полученными в результате аппроксимации аналогичной степенной функцией кривой деформирования при одноосном растяжении. В этом нетрудно убедиться, вычислив параметры s_И и p_И в условиях линейного напряженного состояния (следует иметь в виду, что в этих условиях деформированное состояние является объемным) – рис. 10.

Рис. 10. Напряженное и деформированное состояния

в точке тела при одноосном растяжении

В ряде случаев (например, при сопоставлении прочностных и деформационных свойств различных материалов) единую кривую удобно представить в относительных величинах . В такой форме ее легко получить, разделив левую и правую часть равенства (7) на соответствующие части выражения (5):

.

Пример подобной диаграммы для пластичного материала показан на рис.11.

1 – растяжение; 2 ­– плоское равноосное растяжение; 3 – сдвиг; 4 – сжатие; 5 – плоское равноосное сжатие; 6 – объемное растяжение с соотношением компонент 1:0,6:0,6. Рис. 11. Единая кривая деформирования пластичного материала ( = 1206 МПа; = 0,8; m = 0,2) и точки, отвечающие моменту разрушения при различных видах напряженного состояния (определены с помощью деформационного критерия (18), см. подраздел 5.3)

КРИТЕРИИ РАЗРУШЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

ПРИ СТАТИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ

В настоящее время разрушение материала рассматривается как про­цесс, охватывающий несколько стадий.

1. Накопление повреждения в сплошном материале. Процесс повреж­даемости (разрыхления материала) связывают с пластическим деформиро­ванием в микрообъемах тела, реализующимся путем сдвига. На этом этапе возникают и развиваются очаги разрушения (микротрещины в местах пере­сечения дислокаций, микропоры на границах зерен, клиновидные трещины и т. п.), нарушающие сплошность материала.

2. Слияние микротрещин, их рост внутри зерен и (или) по их границам, заканчивающийся образованием макротрещины, (считают, что в этот момент повреждение достигает своего критического значения).

3. Дальнейшее развитие макротрещины как магистральной приводит к разделению тела на части. Изучению закономерностей поведения тел с тре­щинами посвящен специальный раздел механики твердого деформируе­мого тела – механика разрушения (см., например, [2]).

К настоящему времени сложились два подхода к определению характера разрушения материала – хрупкого, вязкого или смешанного типа. В соответствии с первым разрушение считается хрупким, если ему предшествовало лишь упругое деформирование (предел текучести не был достигнут) и, наоборот, вязким, если оно завершает стадию неупругого деформирования. Разумеется, характер разрушения зависит не только от марки материала, но и от условий испытания: температуры, скорости нагружения, вида напряженного состояния, наличия концентраторов напряжений, влияния среды и многих других. В связи с этим (главным образом, среди металловедов и исследователей в области физики металлов) получила распространение классификация типов разрушения в зависимости от преимущественной ориентации макроскопической поверхности разрушения. Разрушение путем отрыва (по плоскостям, перпендикулярным направлению s₁ > 0) считается хрупким, а путем среза, которому предшествует сдвиговая деформация – пластичным (вязким). Более тонкий анализ, однако, показывает, что и при ориентировке поверхности, характерной для разрушения отрывом, в изломе часто обнаруживают следы пластической деформации.

В рамках первых двух частей данной курсовой работы считается, что моменту разрушения отвечает нарушение сплошности материала с образованием макротрещины, которым завершается второй этап (стадия рассеянного разрушения). Признаком достижения этого состояния (разрушения) является выполнение следующего условия:

максимальное значение некоторой, выбранной в качестве определяю­щей, механической величины при сложном напряженном состоянии хотя бы в одной точке тела становится равным или превышает значение той же величины, при котором происходит разрушение (в указанном выше смысле) образца в испытаниях на растяжение.

В качестве такой величины чаще всего используют эквивалентное напряжение s_экв. Растягивающее напряжение s_эквсоответствует такому линейному напряженному состоянию, которое равноопасно заданному сложному, то есть, при увеличении напряжения s_экви каждой компоненты рассматриваемого сложного напряженного состояния в определенное чис­ло раз разрушение обоих элементов объема произойдет одновременно (рис. 12).

Рис. 12. Эквивалентное одноосное напряженное состояние, равноопасное заданному сложному

Соответственно условие разрушения записывают в виде

; (10)

как уже было сказано ранее, – истинное напряжение при растяжении, соответствующее моменту разрушения (в дальнейшем для краткости – раз­рушающее (предельное) значение рассматриваемой величины).

В современной инженерной практике используются два типа условий, определяющих предельное состояние материала.

1. Силовые критерии разрушения, в которых параметрами, определяю­щими процесс накопления повреждения, являются касательные напряже­ния (максимальные, октаэдрические), интенсивность напряжений, среднее напряжение или их сочетания. К такому типу условий разрушения относят­ся теории О.Мора, Лебедева-Писаренко, Баландина, Надаи и др.

2. Деформационные критерии разрушения, в которых накопленное повреждение определяется величиной наибольшей деформации (полной или пластической) или параметрами, связанными с компонентами деформации, чаще всего, с интенсивностью пластической деформации или параметром Удквиста.

5.1 Критерий разрушения О.Мора*

Согласно теории Мора для определения условия разрушения использу­ется огибающая окружностей радиусом и координатами центра ; , построенных в осях «касательное напряжение ~ нормальное напряжение» для предельных значений главных напряжений, при которых в опытах при различных напряжённых состояниях наступает разрушение. Считается, что разрушение произойдет, если наибольшая окружность Мора для данного напряженного состояния коснется огибающей или пересечет ее (очевидно, последняя ситуация возможна лишь в расчетах). Таким образом, условие разрушения приобретает вид

.

Если огибающую предельных окружностей Мора аппроксимировать прямой, касающейся окружностей, соответствующих растяжению радиу­сом и сжатию ; – истинное напряжение разруше­ния при сжатии, то предельное значение максимального касательного на­пряжения будет линейно зависеть от напряжения величиной , определяющего положение центра соответствующей окружности:

или .

Для определения параметров A и B достаточно провести два испыта­ния, например, на растяжение и сжатие:

а) испытание на растяжение: , . По результатам этого испытания получим

.

б) испытание на сжатие: , , откуда находим

* Мор, Отто Христиан (1835 – 1918) – известный немецкий инженер-механик, с 1868 по 1873 г. профессор Высшей технической школы (Штутгарт), далее – Высшей технической школы в г. Дрезден. Вывел формулу для определения перемещений в стержне­вых системах; предложил очень удобную графическую интерпретацию напряженного состояния в точке тела, на ее основе разработал критерии пластичности и разрушения.

.

В итоге критерий разрушения О.Мора принимает знакомый вид

. (11)

Параметр

(12)

называют коэффициентом разнопрочности.

Для малопластичных и хрупких материалов допустимо считать , (напомним, , – пределы прочности при растя­жении и сжатии соответственно). Для пластичных материалов, очевидно, следует принимать (истинное сопротивление разрыву может значительно превышать величину – в зависимости от пластичности ма­териала). Определение же характеристики для таких материалов пред­ставляет определенные трудности в связи с тем, что разрушение в смысле деления объекта на части при сжатии не всегда достижимо.

Из теории прочности Мора следует, в частности, что разрушающее ка­сательное напряжение при кручении равно

,

а истинное сопротивление отрыву (напряжение разрушения при равно­осном объемном растяжении: s ₁ = s ₂ = s ₃, т.е., тензор напряжения представлен лишь шаровой частью) –

.

Очевидным недостатком теории Мора (см. выражение (11)) является допущение об отсутствии влияния на прочность второго s₂ главного на­пряжения. Так для объемных напряженных состояний с положительными главными напряжениями критерий Мора может давать значительную ошиб­ку «не в запас» при определении предельных напряжений – вследствие за­мены реальной выпуклой криволинейной огибающей предельных окруж­ностей прямой линией. Во избежание этого критерий (11) в первом при­ближении можно дополнить условием, ограничивающим наибольшее глав­ное напряжение. В итоге он будет выглядеть следующим образом:

s_экв .

Координаты опорных точек, по которым в дальнейшем строятся предельные поверхности, необходимо занести в таблицу вида табл.11. Примеры таких поверхностей в осях для пластичного и хрупкого материалов показаны на рис. 13, 14.