Оценка вероятности и погрешности

Как правило, мы, обычные люди, неверно оцениваем вероятности, потому что редко сталкиваемся с необычайным. Иногда при чина кроется в том, что мы просто не знакомы с соответствующей статистикой. Приведем несколько примеров. Кто подвергается большему риску погибнуть — мотоциклист или велосипедист? Вероятность погибнуть на мотоцикле составляет 1 к 938, а на велосипеде — 1 к 4472. А если сравнить автобус и поезд? Ответ: на автобусе ваш риск составляет 1 к 94242, а на поезде — 1 к 139617 (www.NSC.org). Что вероятнее — утонуть в бассейне или в ванне? 1 к 6031 против 1 к 9377. Выиграть джекпот в игральном автомате или в лотерею? 1 к 16777216 против 1 к 175 711 536 (casinigambling.about.com). Другие статистические примеры вы можете найти на сайте www.veegle.com.

Однако люди при оценке вероятностей склонны совершать одни и те же систематические ошибки. Простой пример — ошибка, связанная с информационной доступностью (эвристика доступности), при которой человек замечает и запоминает ту информацию, которая чем-то выделяется из общего ряда (Tversky & Kahneman, 1973). Представьте, к примеру, что прошлой ночью вы не могли заснуть, потому что собака соседа пару раз гавкнула. На следующее утро вы, уставший и невыспавшийся, жалуетесь соседу, что его собака лаяла всю ночь. Ночные мучения заставили вас запомнить собачий лай, в результате чего вы преувеличенно оцениваете его частоту. Или еще: приятельница показывает вам замечательный газетный гороскоп, в котором говорится, что ее ждут деньги, и в тот же день находит на улице пять долларов. Этот случай запоминается и вызывает у вас комментарий о том, что «все свидетельствует в пользу астрологии». Именно ошибка доступности часто заставляет нас делать поспешные выводы и глобальные обобщения на основании нескольких частных случаев.

Наоборот, люди склонны преуменьшать вероятность редких негативных событий (к примеру, вероятность пострадать в автомобильной аварии или заболеть в результате курения), до тех пор пока событие не происходит на самом деле, пока человек не попадает в аварию или не заболевает. Задайте человеку, который не читал эту книгу, следующий вопрос: «Какова вероятность, что ты заболеешь в следующем месяце, в сравнении с другими людьми? Меньше, такая же или больше?» Большинство людей ответит «меньше», хотя закон больших чисел говорит: вероятность того, что средний человек заболеет в следующем месяце, будет, разумеется, средней. Попробуйте задать этот же вопрос группе из пятидесяти человек.

Статистически, самым частым ответом должно быть «такая же»; на самом деле исследователи обнаруживают, что в большинстве своем испытуемые отвечают «меньше». Эта очень распространенная ошибка иллюстрирует неоправданный, или иллюзорный оптимизм (Weinstein, 1980; Weinstein & Klein, 1996) — тенденцию считать, что с тобой лично с большей вероятностью, чем с другими, случится что-то хорошее (прибавка к зарплате, новый друг, решение проблемы, выигрыш в лотерею) и одновременно с меньшей вероятностью — что-то плохое. Точно так же игроки склонны преувеличивать вероятность выигрыша, особенно если ставки высоки (Sanbonmatsu, Posavac & Stasney, 1997).

Неоправданный оптимизм может быть одной из причин того, почему каждый курильщик считает, что рискует меньше других курильщиков, почему каждый подросток считает, что он, в отличие от остальных, не заразится ВИЧ-инфекцией, почему автомобилисты так часто пренебрегают ремнями безопасности, а супружеские пары пытаются сохранить отношения, которые давно остыли. К счастью, существуют стратегии, позволяющие минимизировать риск подобных искажений; в их числе — собственный несчастливый опыт. Те, кто побывал в автомобильной аварии, чаще пользуются ремнями безопасности (McKenna & Albery, 2001). Тем не менее неоправданный оптимизм — обычная причина неверной оценки вероятностей. Беспринципный экстрасенс или астролог, знакомый с этой особенностью человеческого мышления, может спокойно предсказывать вам больше, чем остальным, приятных вещей и меньше неприятных. Скорее всего, вы с этим согласитесь.

Математическое невежество

Экстрасенс мадам Феба выступает с лекциями и пользуется большой популярностью. Каждую неделю она обращается к группе из примерно 75 заинтересованных слушателей. Каждую лекцию она начинает с драматической демонстрации своих паранормальных способностей. Свет в зале гаснет, она закрывает глаза, поднимает руки и приглушенным голосом провозглашает: «Я заявляю, что в этой комнате присутствует два человека, родившихся в один день. В один и тот же день и месяц». Затем она просит всех присутствующих написать на бумажке день своего рождения, после чего трое добровольцев производят подсчет, результаты которого объявляются в конце часовой презентации. Примечательно, что мадам Феба делала это заявление сотни раз и практически всегда успешно (процент успеха приближается к 100 %). Недавно репортер одной местной газеты решил проверить действия экстрасенса. Сам он был убежден, что мадам — мошенница. Репортер анонимно посетил несколько сеансов, каждый раз вызываясь добровольцем для подсчета результатов по датам рождения. Поразительно, но доля успешных предсказаний действительно составляла 99 %. Прежде чем публиковать свой материал, он пошел в местный колледж и обратился к профессору, который интересовался паранормальными явлениями. После того как репортер объяснил смысл заявления мадам Фебы и результаты своей проверки, профессор предложил несколько гипотез. Может быть, экстрасенс обладает ретроактивными психокинетическими способностями (глава 12) — будто бы существующей паранормальной способностью изменять прошлое силой мысли. Иными словами, может быть, мадам Феба при помощи своих экстрасенсорных способностей просто поменяла даты рождения двух человек из аудитории. Или, предположил профессор, она могла воспользоваться своими психокинетическими навыками и привлечь на сеанс двух человек с одинаковой датой рождения. Или она дала двум людям в зале мысленную команду написать на листочках одну и ту же дату, хотя бы и неверную. Профессор предложил испытать мадам Фебу в контролируемых условиях: мадам должна была работать с произвольными группами студентов колледжа по 75 человек. Феба с готовностью согласилась на испытание. На всякий случай даты рождения проверялись по университетским записям еще до лекции. Поразительно, но экстрасенс снова почти все угадывала. Почти в каждой группе находились два человека с одинаковой датой рождения. Какая из гипотез верна? Не пропустили ли мы чего-нибудь?

Иногда мы неверно оцениваем вероятности потому, что не знаем математических правил или вообще плохо учили в школе математику. Начнем с популярного примера. Какова вероятность обнаружить в комнате, где находится 23 человека, двух человек с одинаковым днем рождения (день и месяц)? Большинство людей скажет, что вероятность такого события должна быть невелика, может быть, один шанс из двадцати. На самом деле шансы равные — 50/50. Более того, вероятность того, что два человека с одинаковым днем рождения найдутся в группе из 75 человек, составляет 99,9 % — факт, который часто называют парадоксом дней рождения. Другими словами, на сеансах мадам Фебы не происходило ничего необычного. Чтобы понять это, необходимо чуть-чуть разбираться в статистике.

Представьте, что в комнате находится всего один человек. Какова вероятность того, что день рождения этого человека уникален для комнаты, т. е. что в комнате больше нет людей, родившихся в этот же день? Надо признать, что в данном случае вопрос звучит довольно глупо; поскольку в комнате больше никого нет, не может быть и двух одинаковых дней рождения. Вероятность 365/365, или 100 %. Если в комнате два человека, какова вероятность того, что день рождения № 2 совладает с днем рождения № 1? Если № 1 занял один день года, для № 2 остается еще 364 дня, любой из которых будет отличаться от дня рождения № 1. Таким образом, у № 2 есть 364 шанса из 365 иметь другой день рождения, или 364/365.

При переходе к человеку № 3 предположим, что два дня рождения в году уже заняты, так что для него остается 363 возможных даты, и вероятность того, что его день рождения выпадет на один из этих дней, составляет 363/365. Следуя этой логике, каждый раз с добавлением еще одного человека, мы уменьшаем на единицу вероятность попадания его дня рождения на «свободный» день. Далее, по законам статистики для получения общей вероятности того, что дни рождения всех трех человек в комнате выпадают на разные дни, следует перемножить индивидуальные вероятности: 365/365 * 364/365 * 363/365. Результат составит 0,992. Это значит, что в компании из трех человек все дни рождения почти наверняка будут разными. Отметим, что статистический закон перемножения вероятностей дает тот самый результат, который мы могли бы предсказать из соображений здравого смысла. Этому закону можно доверять, он прекрасно работает.

Теперь для группы из 23 человек применим этот закон двадцать три раза:

365/365 * 364/365 * 363/365 * 362/365 * 361/365 * 360/365 * 359/365 * 358/365 * 357/365 * 356/365 * 355/365 * 354/365 * 353/365 * 352/365 * 351/365 * 350/365 * 349/365 * 348/365 * 347/365 * 346/365 * 345/365 * 344/365 * 343/365 и получим 0,493. Если округлить результат, получим, что для комнаты, в которой находится 23 человека, вероятность того, что все дни рождения окажутся разными, составляет около 0,5, т. е. шансы примерно равны (50/50). Но нас интересует обратная ситуация, т. е. вероятность совпадения двух дней рождения. Если вероятность несовпадения составляет 1/2, то, рассуждая логически, вероятность совпадения также составит 1/2. Применив ту же методику для группы из 75 человек, получим: вероятность того, что в комнате окажется два человека с одинаковыми днями рождения, составляет 99,9 %.

И еще один вопрос. Возьмите большой лист бумаги и сложите его пополам. Затем снова пополам. Теперь представьте себе, что вы сложили его пополам 25 раз. (Очевидно, этот эксперимент может быть только мысленным, потому что законы физики не позволяют сложить лист бумаги пополам больше восьми раз. Поэтому представьте, что бумага у вас паранормальная.) Итак, если сложить 25 раз, какой толщины получится пачка? Дополнительная информация: толщина бумаги составляет 0,1 мм. Прежде чем читать дальше, запишите свое предположение. Ответ: после двадцати пяти складываний получилась бы пачка толщиной в милю. Посчитайте сами. Каждый раз, складывая бумагу пополам, вы удваиваете толщину стопки.

Совпадения

Совпадения подразумевают события, которые неожиданно происходят вместе без всякой видимой причинно-следственной связи. Совпадение в связке настоящее — будущее можно интерпретировать как сбывшееся пророчество — событие, которое происходит в полном соответствии с неким знамением или сделанным раньше пророчеством. Совпадение настоящее — настоящее наталкивает на мысль о событиях, связанных необычным способом посредством некоего паранормального процесса, лежащего вне сферы причинности. Лучший способ понять, как это происходит на самом деле, — рассмотреть несколько примечательных совпадений.

Популярные паранормалисты всегда, как могли, использовали совпадения. Карл Юнг, знаменитый отколовшийся ученик Фрейда, изобрел даже специальный термин — синхронность, — которым предложил обозначать примечательные совпадения. Он определял два синхронных события как не связанные каузально, но и не совершенно случайные. На мой взгляд, такое определение лишь вносит дополнительную путаницу. Я так и не сумел понять, как это — не связаны, но и не случайны. Аналогично Редфилд (Redfield, 1993) в The Celestine Prophecy («Селестинские пророчества») советует рассматривать странные совпадения как события предопределенные и заданные чьей-то волей — использовать их в качестве духовных проводников. В глупых, но очень популярных книгах Сквайра [именно так!] Cod Winks («Когда Бог подмигивает») утверждается, что случайностей вообще не существует, поскольку всякое событие есть божественное послание. А Дипак Чопра (Deepak Chopra, 2003) говорит, что совпадения позволяют нам связаться с основой — полем бесконечных возможностей, синхросудьбой, где можно добиться спонтанного исполнения любых желаний. Согласитесь, подобное заявление требует сверки с реальностью.

На самом деле совпадения происходят постоянно и, как правило, ничего не означают. Если вам в совпадении непременно нужен смысл, обратитесь к Шекспиру (см. с. 211). Если постараться, совпадения можно подобрать практически на любую тему. Те, кому подобные вещи кажутся загадочными, часто указывают на президентов США (Leavy, 1992), начиная с параллели между Линкольном и Кеннеди. Вот странные факты. Линкольн был избран в I860 г., Кеннеди — в 1960 г.; оба были убиты в пятницу, будучи рядом со своими женами; оба занимались гражданскими правами; оба, уже будучи президентами, потеряли ребенка; оба погибли от пули в голову; Линкольн был убит в театре Форда, а Кеннеди — в линкольне, машине, которую производил Форд. По некоторым данным, Бут (убийца Линкольна) родился в 1839 г., а Освальд (убийца Кеннеди) — в 1939 г. Кажется, что в жизни Линкольна и Кеннеди многое происходило синхронно. Что пытаются нам сообщить глубинные силы жизни?

Но зачем останавливаться на Линкольне и Кеннеди? Почему не взглянуть еще на двух убитых президентов — Уильяма Маккинли и Джеймса Гарфилда? Точно, оба они были республиканцами, оба родились и выросли в штате Огайо (как и автор этой книги!), оба были ветеранами Гражданской войны, оба заседали в Палате представителей, оба поддерживали золотой стандарт, в именах обоих по восемь букв (McKinley и Garfield), обоих сменил на посту усатый вице-президент из Нью-Йорка, оба были застрелены в сентябре в начале президентского срока. У Гарфилда был кот по кличке Маккинли, а у Маккинли — кот по кличке Гарфилд (по поводу последнего факта не утихают горячие споры; Schick & Vaughn, 2005).

Можно написать немалый том о совпадениях, связанных с террористической атакой 11 сентября 2001 г. В словах «Нью-Йорк» и «Афганистан» по одиннадцать букв (New York City; Afghanistan). В имени террориста, который первым угрожал башням-близнецам, II букв (Ramsin Yuseb). В имени Джорджа Буша тоже 11 букв (George W. Bush). Штат Нью-Йорк — одиннадцатый по порядку. Самолеты, протаранившие башни-близнецы, совершали рейсы № 11 и 92 (9 + 2 = 11). На борту самолета рейса 77 было 65 пассажиров (6 + 5 = 11).

Как правило, люди не понимают, что, если покопаться как следует, совпадения можно отыскать практически где угодно. Если взять полный текст Библии и обвести каждую десятую букву, то некоторые из отмеченных букв непременно сложатся в слова, а некоторые из слов даже обретут кажущийся смысл; получится своеобразный Библейский код. С другой стороны, возьмем Реформатскую церковь Летающего макаронного монстра (глава 15). Было бы поистине замечательно, если бы здесь не нашлось никаких совпадений. «Виноваты» в этом две вещи — нагромождение случайностей и закон больших чисел.

Нагромождение случайностей

Случайные последовательности редко выглядят случайными. В них всегда видны нагромождение или цепочки одинаковых событий, которые могут показаться неожиданными или даже значимыми. В результате возникает иллюзия закономерности. Представьте, что вы кинули монетку 51 раз и получили совершенно равномерную последовательность орлов (О) и решек (Р), вот такую:

ОРОРОРОРОРОРОРОРОРОРОРОРОРОРОРОРОРОРОРОРОРОРОРОРОРО

Похожа ли эта последовательность на случайную? Конечно, нет, она слишком регулярна. Понятно, что любая случайная последовательность для убедительности должна иметь несколько «сбоев»[6]. Но мы обычно недооцениваем частоту появления и размеры «сбоев», которые будут появляться в случайной последовательности. К примеру, Майерс (Myers, 2004) бросил монетку 51 раз и получил следующую последовательность орлов и решек:

РОООРРРООООРРООРООРРООРОООРОРООООООРООРОРРРРОРРОООО

Помните, это всего лишь случайная последовательность, и ничего больше. А теперь представьте, что я скажу вам: в этой последовательности скрыта тайна и глубочайшая мудрость. Посеяв семена сомнения, можно ждать всходов. Что же мы обнаружим? Что в этой последовательности 19 пар ОО, но всего 8 пар PP. Кроме того, здесь пять сочетаний ОООО и всего одно сочетание РРРР. ООООО встречается дважды, тогда как РРРРР — ни разу. Есть даже последовательность ОООООО. Случайная последовательность Майерса явно предпочитает комбинации из четного числа «орлов». Понятно, что интерпретировать такие результаты можно как угодно и столь же свободно можно манипулировать ими, исходя из заранее сформировавшегося мнения (см. главу 7).

Нагромождение случайностей проявляется в любой азартной игре. Игрок в покер выигрывает три раза подряд. Друзья делают вывод: пришла полоса везения, и ставят на него. Или, наоборот, игрок может заметить, что какой-то автомат за целый день не выдал ни одного выигрыша. Пора! Выигрыш наконец должен прийти, поэтому игрок направляется именно к этой машине. Но это тоже ошибка. Если автомат в порядке, вероятность выигрыша на нем точно такая же, как на остальных машинах. Представление о том, что вероятность случайного события каким-то образом зависит от других независимых событий — или ее можно предсказать по этим событиям, — составляет ошибку игрока. Представьте, что вы купили три лотерейных билета, и все они выиграли. Следует ли вам считать, что у вас началась полоса удачи, и купить еще билетов, или наоборот, больше не покупать, потому что вероятность выигрыша после трех подряд удач уменьшилась? Единственное разумное решение — признать, что вы слабо разбираетесь в вероятностях, и понять, что шансы на четвертый выигрыш никак не зависят от трех предыдущих. Это чистая случайность.

Специалисты по статистике говорят о явлении, известном как возвращение к среднему (Gilovich, 1991). Попросту говоря, это означает, что если вы имеете дело с экстремально длинным периодом сплошных удач или неудач, то лишь шанс определит, закончится сейчас этот период или нет. Но при большом количестве испытаний счет выравнивается. Скажем, в Чикаго средняя температура марта составляет 10 °C. Некоторые дни теплее, некоторые холоднее. Несколько дней могут выдаться совершенно немартовскими. Но обычно в среднем температура сходится к уже названным десяти градусам. Так что если в Чикаго в марте стоят морозы и вы мечтаете о тепле, скорее всего, тепло наступит; экстремальные температуры не продержатся долго просто по закону возвращения к среднему.

СВЕРИМСЯ С РЕАЛЬНОСТЬЮ

Как можно, используя тенденцию результатов собираться группами, проиллюстрировать правило о возвращении к среднему? Рассмотрите полосу удачи одного из игроков в покер. Закон больших чисел

Закон больших чисел

Предчувствие чьей-то смерти

Холт (Holt, 2004) рассчитал вероятность того, что человек может случайно предсказать чью-то смерть. Давайте рассмотрим его логику. Вспомните всех живых людей, которых или о которых вы знаете, о ком вы подумали хотя бы раз (может быть, мельком) в течение года. Сюда входят ваши родные, друзья, дальние родственники, писатели, учителя, киноактеры, политики и т. п. Предположим, что каждый год из этого длинного списка умирает десять человек. (Если эта цифра представляется вам чрезмерной, задайте в Google поисковый запрос типа «люди, умершие в этом году» и выберите год. Сколько имен вы узнаете? Скорее всего, их будет больше десятка.) Так что начнем с разумного предположения о том, что каждый год умирает по десять человек, о которых вы что-то знаете. Не забывайте, что сюда входят не только дальние родственники и бывшие знакомые, но и киноактеры, политики и т. п.

Мы начали с предположения о том, что в течение года вы по крайней мере один раз думаете о каждом человеке из вашего списка (пока они живы). Это данность. Таким образом, если в вашем списке присутствует папа римский, мы считаем, что за последние 12 месяцев вы подумали о нем хотя бы раз. Сколько времени продолжалось это «подумали»? Предположим, что одна мысль продолжается в среднем пять минут. В обычном невисокосном году 105 120 пятиминутных интервалов. Статистика говорит о том, что вероятность подумать об одном из этих людей за пять минут до того, как вы узнаете о его (или ее) смерти, составляет 10 из 105 120. Иными словами, это примерно 1 шанс из 10000, т. е. не слишком вероятно.

Но давайте посмотрим на картину шире. В США живет более 300 миллионов человек, и каждый из них с вероятностью 1/10 000 может подумать о ком-то из известных ему людей за пять минут до его смерти. При таком взгляде результат кардинально меняется. Получается, что более 25000 человек в год, т. е. более 70 человек в день, думают о чьей-то смерти ровно за пять минут до реального события (или до момента, когда вы об этом узнаете, неважно). И это только случайные мысли, когда вокруг не происходит ничего экстраординарного. В наши дни, когда у многих есть доступ в Интернет, удивляться следует скорее обратному — тому, что сообщений о подобных «вещих» мыслях так мало. По идее, мы каждый месяц должны сталкиваться с сотнями таких историй. Вот было бы, кстати, совершенно неслучайное раздолье для экстрасенсов!

Вещие сны

Большинство людей может припомнить в своей жизни хотя бы один сбывшийся сон. Может быть, вам приснился старый друг, а на следующей же неделе вы с ним встретились. Может быть, вам приснилось — и сон сбылся — повышение по службе. Что такое вещие сны? Случайность или необычайное свидетельство паранормальных способностей? (С интересной дискуссией о том, как наши побуждения влияют на отношение к вещему сну, можно познакомиться у Morewedge & Norton, 2009.)

Паулос (Paulos, 2001) решил поподробнее взглянуть на цифры. Большинство людей успевают посмотреть за одну ночь примерно 250 снов. Поверить в это не так уж трудно, если вспомнить, сколько мыслей вы успеваете передумать за один ничем не примечательный день. В конце концов сны — это тоже мысли. Разумеется, утром мы вспоминаем лишь некоторые из этих снов. Однако внешний толчок может помочь нам вспомнить. Представьте, что на прошлой неделе в одном из ваших 1750 снов (250 х х 7 = 1750) фигурировала маленькая лохматая собачка. Вы вряд ли вспомните такой тривиальный сон, если, конечно, не попытаетесь в ближайшее время задавить на велосипеде именно такую — маленькую и лохматую — собачку. В этом случае память услужливо подскажет вам, что вы недавно видели такую собачку во сне. Вы даже можете поверить в собственные паранормальные способности, по крайней мере в отношении маленьких лохматых собачек.

Существует и другая оценка вероятности вещих снов, куда более консервативная, но приводит она к тому же принципиальному выводу. Представьте, что каждый человек каждый день помнит только один виденный ночью сон. Получаем 365 снов в год на человека. В стране с населением 300 млн человек в год получится 109 500000000 запомненных снов. По чистой случайности некоторые из этих снов непременно будут предшествовать каким-то примечательным событиям (Schick & Vaughn, 2005). Статистика утверждает, что на каждый сбывшийся сон приходятся миллиарды снов несбывшихся.

Для достоверной проверки предсказательной силы снов необходимо получить свидетельство о запомненном сне до того, как произойдет предсказанное в этом сне событие. Более того, и предсказание, и событие должны быть вполне определенными и однозначными. Туманные предсказания в духе рыночных гадалок здесь не годятся. Существует одно весьма примечательное исследование такого рода. В 1937 г. произошло похищение ребенка Чарлза Линдберга, которое привлекло к себе внимание всей страны. Люди, затаив дыхание, следили за ходом расследования. Тогда Мюррей из Гарвардской психологической клиники разместил в газетах объявление с просьбой присылать ему изложение любых снов, имеющих отношение к судьбе ребенка. Через некоторое время тело ребенка было обнаружено. Но еще до этого трагического события Мюррей (Murray & Wheeler, 1936) успел получить около 1300 писем с описанием снов. Теперь этот материал можно было проанализировать, выделив из общей массы однозначные предсказания: скажем, указания на то, жив ребенок или мертв. Многие сны просто повторяли газетные спекуляции на эту тему. Лишь 5 % говорили о том, что ребенок мертв и 7 % указывали на конкретные обстоятельства, связанные с убийством. Только четыре человека на деле увидели во сне, что ребенок мертв, а его тело находится рядом с деревьями.

Закон Литлвуда о чудесах

Вот несколько примеров, иллюстрирующих правило, сформулированное математиком Джоном Литлвудом и известное как закон его имени (Bollobas, 1986): в жизни каждого человека примерно раз в месяц происходит чудо. Как это может быть? Литлвуд начинает с того, что определяет чудо как необычайное и очень значительное событие, вероятность которого составляет один шанс из миллиона. Приходилось ли вам слышать, чтобы кто-нибудь пользовался таким определением: «чудо… один шанс из миллиона»? Кроме того, будем считать в данном случае, что человек переживает одно событие в секунду (это предложение, следующее предложение, звук работающего вентилятора, тактильное ощущение от обложки книги, цвет неба…). Если такой усредненный человек бодрствует 12 часов в сутки, то за 35 дней он испытает 1 008000 разных событий (посчитайте сами). Но мы только что определили чудо как событие, которое происходит один раз на миллион событий. Получается, что одно из миллиона событий за 35 дней (немного больше месяца) и будет чудом. Мы только что определили чудо как событие с вероятностью одна миллионная.

СВЕРИМСЯ С РЕАЛЬНОСТЬЮ

То, что для одного человека будет тривиальным совпадением, для другого может оказаться божественным посланием. Запишите все происшествия вчерашнего дня, которые показались вам совпадениями. Завтра обращайте дополнительное внимание на совпадения и тщательно их записывайте. Мог бы кто-нибудь усмотреть в ваших совпадениях свидетельство паранормальных явлений? Сохраните список до главы 7 и проверьте, не найдутся ли в этой главе дополнительные объяснения отмеченных вами совпадений.

Число π

Не удивительно, что закончим мы числом π. Это отношение длины окружности к ее диаметру:

3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117…

Это число — константа и никак не зависит от размера окружности. Любой человек, задавшийся целью вычислить число π, получит один и тот же результат. Это число полезно тем, что представляет собой доступное любому число, состоящее из огромного количества значащих цифр (вообще говоря, количество цифр в нем бесконечно). Более того, оно обладает некоторыми свойствами случайной последовательности. И насколько нам известно, знание одной цифры в этой последовательности никак не поможет определить следующую цифру. Поэтому любое послание, которое вы отыщете в числе π, не имеет смысла. Тем не менее закон больших чисел говорит, что послания там безусловно отыскать можно, если постараться.

Чтобы удобнее было искать послания, введем простейший алфавитно-цифровой код, который свяжет каждую букву английского алфавита с числом. Пусть 0 = а, 1 = b, 2 = с… 23 = х, 24 = у, 25 = z. Тогда первые пять цифр после запятой — 14159 — соответствуют буквам opj, потому что 14 = о, 15 = р и 9 = j. Обратите внимание, что в случаях, когда две цифры могут обозначать одну (15 = р) или две буквы (1 = b, 5 = f), мы берем две цифры в комбинации: «3-14-15-9».

Теперь можно поискать и смысл. Имея в виду, что полное число цифр в числе л превосходит триллионы триллионов триллионов (не забывайте, на самом деле оно бесконечно), искать в нем что-нибудь довольно трудно. К счастью, Дейв Андерсон (Anderson, 1996) создал интернет-страничку, специально посвященную поиску в числе л. Переводите нужные вам слова в цифры, и компьютер автоматически отыщет их в бесконечной последовательности цифр.

Я решил задать π один из глубочайших вопросов, какие только мог придумать. Существует ли Бог? Я готов был рассмотреть два ответа: «Бог есть» (GOD IS) и «Бога нет» (NO GOD). Цифровая запись ответа «Бог есть» — 6143818 — встретилась на позиции 3973 885. Ответ «Бога нет» — 13146143 — находится на позиции 28 330 853. Поэтому первый ответ, который дает код числа π на вопрос существования Бога, — это «Бог есть». Очевидно, одна из фундаментальных математических констант Вселенной не испытывает сомнений по этому поводу. Однако, будучи человеком осторожным, я решил убедиться в достоверности такого ответа. Поэтому я решил перевести первые 100 цифр в буквы и поискать в них смысл. Вот первые буквы числа π:

D, OPJCGFDFIJHJDXIEGCGEDD1DCHJFACIIETHQJDJJ DHFKFICAJHEJEEFJXAHIQEAGCIGUIJJIGCIADEIZDEV RAG

Видите первые пять слов числа π? Вот самые очевидные из них:

DID, АН, JIG, CIA и RAG

Число π говорит просто, односложными словами. Но этот факт не должен отвлекать наше внимание от простых истин, которые могут быть в нем скрыты. Во-первых, отметим, что нет никакой нужды ограничивать себя в поиске значений современными словарями. В конце концов π вечно. Поэтому, сверившись с dictionary.com, я подобрал для своих слов следующие определения:

DID — Форма прошедшего времени от глагола «делать»

АН — Восклицание, выражающее боль, удивление, жалость, жалобу, неприязнь, радость и т. д.

JIG — Зажимное приспособление (техн.). Джига, зажигательный танец Шутка, розыгрыш

CIA — ЦРУ, Центральное разведывательное управление

RAG — Музыкальная композиция в стиле рэгтайм лоскут, тряпка, бесполезная вещь, оборванец, скандальная газетенка, кровельный сланец, бранить, распекать, дразнить, разыгрывать, проделка, розыгрыш, дробить руду для сортировки.

Итак, что мы здесь видим? С моей точки зрения, первые пять слов числа π образуют следующую комбинацию:

АН! Jig? Did CIA rag?

После серьезных раздумий я пришел к следующей интерпретации этих слов:

Это ответ числа π на мой вопрос о существовании Бога. Ясно, что π удивлено и даже поражено моими теологическими изысканиями (АН!). Оно тут же спрашивает, не шутка ли это (Jig?). И предлагает задаться вопросом, не является ли мое гипотетическое открытие свидетельств в пользу существования Бога заговором ЦРУ (Did CIA rag?). Неясно, зачем ЦРУ потребовалось вставлять в число π свидетельства в пользу Бога (вероятно, посредством ретроактивного телекинеза, см. главу 12). Какова его цель? Побранить, подразнить или разыграть кого-то (rag)? Увы, для ответа на этот вопрос нам придется углубиться в число π гораздо глубже первых ста цифр. Несмотря ни на что, меня беспокоит, что π сочло мои духовные поиски всего лишь шуткой.

Наука и случайность

Научные эксперименты призваны исключить случайность как альтернативное объяснение. Мы с вами можем на неформальном уровне пользоваться теми же методами. В статистике и исследованиях существует система правил, процедур, «сдержек и противовесов», которые могут помочь нам разобраться в полученных данных.