Концепция позитивной и негативной ошибки модели

Теперь о том, в чем я на самом деле специалист: об ошибках в моделях.

Работая трейдером, я обычно совершал множество ошибок в деталях сделки. Вы приобретаете тысячу акций и назавтра обнаруживаете, что купили не одну, а две тысячи. Если стоимость акций поднялась, у вас образовался солидный выигрыш. Если нет, у вас большой убыток. В долгосрочном плане такие ошибки, по сути, нейтральны, потому что влияют на вас как положительно, так и отрицательно. Они увеличивают дисперсию, но существенного воздействия на ваш бизнес не оказывают. Они не односторонни. Благодаря тому, что масштаб вашей деятельности ограничен, подобные ошибки можно держать под контролем – если вы заключаете множество маленьких сделок, влияние ошибок невелико. По итогам финансового года они, как мы говорили, аннулируются.

Другое дело – ошибки, которые мы допускаем при строительстве и в любых проектах, обладающих хрупкостью, то есть подверженных эффекту негативной выпуклости. Этот класс ошибок влияет на проекты только в одну сторону – негативно, именно из-за них самолеты прилетают позднее, а не раньше срока. Войны обычно ведут к бóльшим потерям, а не к меньшим. Как мы видели на примере трафика, вариации (теперь их называют пертурбациями), как правило, увеличивают время поездки от Южного Кенсингтона до площади Пикадилли и никогда не делают эту поездку короче. Впрочем, ряд явлений, например трафик, изредка испытывает и влияние позитивных пертурбаций.

Одностороннее воздействие таких ошибок заставляет нас недооценивать случайность и переоценивать ущерб, ведь ошибка чревата для нас потерями, а не приобретениями. Если в долгосрочном плане источник случайности не исчезает и вариации неизбежны, потери так или иначе перекроют приобретения.

Вот почему – и это ключ к Триаде – мы можем классифицировать объекты и явления по трем простым признакам: то, что в долгосрочном плане любит пертурбации (или ошибки); то, что в их отношении нейтрально; и то, что их ненавидит. Как мы уже убедились, эволюции ошибки нравятся. Мы видели, что пертурбации идут на пользу открытиям. Некоторым прогнозам вредит неопределенность – и тогда, как в случае с трафиком, нужно подстраховаться. Авиакомпании поняли, как это сделать, а правительства, когда они оценивают дефицит бюджета, – нет.

Мой метод можно обобщить применительно к любой области. Я даже использовал его для вычислений а-ля «Фукусима» и осознал, как уязвимы эти вычисления в отношении маленьких вероятностей. На деле все маленькие вероятности обычно очень хрупки в отношении ошибок, потому что небольшое изменение в начальных условиях может привести к резкому росту вероятности от одной миллионной до одной сотой. А значит, мы недооценили событие в десять тысяч раз.

Наконец, этот метод может выявить фальшивую математическую начинку экономических моделей, то есть показать, какие модели хрупки, а какие нет. Просто чуть-чуть измените начальные условия – и оцените последствия, а также возрастание итоговых изменений. Если возрастание ущерба налицо, значит, как в случае с Fannie Mae, того, кто полагается на эту модель, ждет крах в лице Черного лебедя. Molto facile [94]. Подробная методика, позволяющая распознать фальшивые модели в экономике, вместе с обсуждением малых вероятностей приведена в Приложении II. Сейчас я могу сказать лишь одно: бо́льшую часть изучаемых будущими экономистами моделей, если в этих моделях есть хоть одно уравнение, а также всю эконометрию следует немедленно выбросить за борт. Собственно, по этой причине экономика и остается по большому счету прибежищем шарлатанов. Хрупкоделы – хрупкоделы навсегда!

Как потерять бабушку

Далее я объясню следующий эффект нелинейности: есть условия, при которых среднее – эффект первого порядка – не имеет никакого значения. Это будет наш первый шаг к получению философского камня.

Как говорится:

Не вздумай переходить вброд реку, средняя глубина которой – один метр.

Вам только что сообщили, что следующие два часа ваша бабушка проведет в помещении с полезной для здоровья средней температурой 21 °C. Отлично, думаете вы, ведь двадцать один градус – это оптимальная температура для бабушек. Поскольку вы ходили в бизнес-школу, вам подавай «полную картину», – и вы довольны полученной информацией.

Но вот приходит вторая порция данных. Оказывается, ваша бабушка проведет первый час в комнате с температурой –18 °C, а второй – в комнате с температурой +60 °C, что в среднем дает полезную для здоровья средиземноморскую температуру 21 °C. А значит, вы, скорее всего, потеряете бабушку, и вам нужно готовиться к похоронам и, возможно, к получению наследства.

Понятно, что чем сильнее температура отклоняется от 21 °C, тем больше она повредит здоровью бабушки. Как мы видим, вторая порция данных, в которой учтена изменчивость, важнее первой. Понятие средней величины бесполезно для того, кто хрупок в отношении изменчивости, – существеннее всего здесь распределение возможной температуры. Бабушка уязвима в отношении изменений температурного режима и переменчивости погоды. Назовем вторую порцию данных эффектом второго порядка или, еще точнее, эффектом выпуклости .

Средняя величина здесь, каким бы удобным упрощением она ни являлась, по сути – прокрустово ложе. Сообщение о том, что средняя температура будет 21 °C, не упрощает жизнь вашей бабушке. Это информация в прокрустовом ложе, куда ее всегда укладывают создатели научных моделей; любая модель по сути — упрощение. Вам всего лишь нужна модель, не искажающая ситуацию настолько, что итог становится непредсказуем.

Рисунок 16 показывает, насколько уязвимо здоровье бабушки в отношении изменений температурного режима. Если мы отобразим здоровье на вертикальной оси, а температуру – на горизонтальной, получится вогнутая кривая, означающая, что мы имеем дело с эффектом негативной выпуклости.

^{Рис. 16. Мегахрупкость. Здоровье как функция от температуры: вогнутая кривая. Температура –18 °C (0 °F) и +60 °C (140 °F) для здоровья одинаково губительна, в отличие от +21 °C (70 °F). На деле любая точка ниже 21 °C хуже для ее здоровья, чем точка максимума}[95]^{. График наглядно демонстрирует эффект вогнутости – или негативной выпуклости.}

Если бы реакция организма бабушки была «линейной» (не кривая, а прямая линия), вред от воздействия температуры ниже 21 °C компенсировался бы улучшением здоровья при температуре выше этой отметки. Здоровье бабушки должно ограничиться точкой максимума, иначе получится, что его можно улучшать до бесконечности.

Прежде чем мы перейдем к более общим идеям, запомним результат. Реакция бабушкиного здоровья на воздействие температуры: (а) нелинейна (отображающий эту реакцию график – не прямая линия); (б) вогнута (график имеет отчетливо вогнутую форму); (в) чем более нелинейна реакция, тем менее существенна средняя величина – и тем больше значения имеет островок стабильности вокруг нее.

А теперь – философский камень[96]

Многие средневековые мыслители желали найти философский камень. Всегда полезно вспоминать о том, что химия – дитя алхимии, а алхимики значительную часть времени посвящали изучению химических свойств различных веществ. Основные усилия алхимиков были направлены на обогащение – они пытались понять, как превратить неблагородные металлы в золото методом трансмутации . Для этого нужен реактив, который алхимики называли философским камнем – lapis philosophorum . Его искали многие умы, включая Альберта Великого, Исаака Ньютона и Роджера Бэкона, а также мыслители, которые не были учеными в точном значении этого слова, вроде Парацельса.

Философский камень обладал столь притягательной силой, что реакция трансмутации носила название magnus opus – «великая» или «величайшая работа». Я искренне считаю, что метод, который будет описан ниже (и который базируется на отдельных свойствах опциональности), – близок к философскому камню настолько, насколько это вообще возможно.

То, что будет изложено ниже, позволит нам понять:

(а) в чем состоит опасность проблемы соединения двух объектов в один (когда мы путаем цены на нефть с геополитикой или выгодную ставку с хорошим прогнозом и теряем выпуклость отдачи, а также опциональность);

(б) почему у всякого объекта с опциональностью есть долгосрочное преимущество – и как это преимущество измерить;

(в) дополнительное тонкое свойство объектов, выражающееся неравенством Йенсена.

Вспомним пример с трафиком из главы 19: если 90 тысяч машин проедут по шоссе за первый час и 110 тысяч за второй, в среднем это будет 100 тысяч машин в час – и к концу второго часа шоссе встанет намертво. С другой стороны, если два часа подряд по шоссе едут по 100 тысяч машин в час, пробок на дороге почти и не будет.

Число машин – это что-то , переменная; время в пути – это функция от чего-то . При этом функция ведет себя так, как ведет; функция и переменная — «это не одно и то же». Иначе говоря, функция от чего-то отличается от самого чего-то , при этом в дело вступает нелинейность:

(а) чем больше нелинейность, тем больше функция от чего-то расходится с чем-то . Если бы трафик был линейным, время поездки не отличалось бы в двух следующих ситуациях: сначала 90 тысяч, потом 110 тысяч машин – или два раза по 100 тысяч машин;

(б) чем более переменчиво что-то — чем больше неопределенность – тем больше функция расходится с чем-то . Снова рассмотрим среднее количество машин на шоссе. Функция (время поездки) зависит больше от переменчивости, чем от среднего. Ситуация ухудшается по мере возрастания неравномерности распределения. При одном и том же среднем вы предпочтете, чтобы каждый час по шоссе проезжало по 100 тысяч машин; если в первый час машин 80 тысяч, а во второй – 120 тысяч, это еще хуже, чем при распределении 90 тысяч и 110 тысяч;

(в) если функция выпукла (антихрупка), среднее значение функции от чего-то будет больше, чем функция от среднего значения чего-то . Обратное означает, что функция вогнута (хрупка).

В качестве примера положения (в), более сложного варианта смещения, предположим, что мы имеем дело с простейшей квадратичной функцией (число умножается само на себя). Это выпуклая функция. Возьмем обычную игральную кость (шестигранник) и рассмотрим отдачу, равную выпавшему вам числу, – иначе говоря, вы получите столько долларов, сколько показывает кость: один, если выпала единица, два, если выпала двойка, и так далее до шести долларов, если выпала шестерка. Квадрат от ожидаемой (средней) отдачи – это (1+2+3+4+5+6 разделить на 6)², то есть 3,5², то есть 12,25. Итак, функция от среднего равна 12,25.

Среднее значение функции рассчитаем следующим образом. Сложим квадраты от всех вариантов отдачи: 1²+2²+3²+4²+5²+6² – и разделим эту сумму на 6. Среднее значение функции у нас равно 15,17.

Поскольку наша функция – выпуклая, среднее значение квадрата отдачи у нас больше, чем квадрат среднего значения отдачи. Разность между 15,17 и 12,25 я называю скрытой выгодой от антихрупкости – здесь это 24-процентный зазор.

Есть два вида склонности к выпуклости: первое – элементарный эффект выпуклости, когда мы путаем свойства среднего значения чего-то (здесь 3,5) и (выпуклой) функции от чего-то (здесь 15,17); и второй, более распространенный, – когда среднее значение функции путают с функцией от среднего значения, в нашем примере – 15,17 и 12,25. Последний вид склонности к выпуклости – это и есть опциональность.

Если ваша отдача линейна, вы получите что-то, только если будете правы больше чем в половине случаев. Если ваша отдача выпукла, вам нужно быть правым куда реже. Скрытая выгода от антихрупкости заключается в том, что вы можете ошибаться чаще, чем в среднем, и все равно выйти из игры победителем. Такова сила опциональности: ваша функция от чего-то очень выпукла, и вы можете оказаться неправы и все равно выиграть – чем больше неопределенности, тем лучше.

Вот почему, как я уже говорил, вы можете быть глупы и антихрупки – и по-прежнему оставаться в выигрыше.

Скрытая «склонность к выпуклости» берет начало в математическом выражении, которое называется неравенством Йенсена. Увы, обычная теория инноваций его попросту игнорирует. Но если вы игнорируете склонность к выпуклости, вам никогда не понять, как крутится этот нелинейный мир. Однако в теориях нет и следа этой концепции. Жаль[97].