Формулы для расчета эквивалентных напряжений

Эквивалентное напряжение по гипотезе максимальных каса­тельных напряжений

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Эквивалентное напряжение по гипотезе энергии формоизмене­ния

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

где

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Условие прочности при совместном действии изгибаи кручения

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

где МЭКВ — эквивалентный момент.

Эквивалентный момент по гипотезе максимальных касательных напряжений

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Эквивалентный момент по гипотезе энергии формоизменения

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Особенность расчета валов

Большинство валов испытывают сочетание деформаций изгиба и кручения. Обычно валы — прямые брусья с круглым или кольце­вым сечением. При расчете валов касательные напряжения от дей­ствия поперечных сил не учитывают из-за их незначительности.

Расчеты проводят по опасным поперечным сечениям. При про­странственном нагружении вала пользуются гипотезой независимо­сти действия сил и изгибающие моменты рассматривают в двух вза­имно перпендикулярных плоскостях, а суммарный изгибающий мо­мент определяют геометрическим суммированием.

Примеры решения задач

Пример 1. В опасном поперечном сечении круглого бруса воз­никают внутренние силовые факторы (рис. 35.1) Мх; Му; Mz.

Мх и Му — изгибающие моменты в плоскостях уОх и zOx со­ответственно; Mz — крутящий момент. Проверить прочность по ги­потезе наибольших касательных напряжений, если [σ] = 120 МПа. Исходные данные: Мх = 0,9 кН • м; Му = 0,8 кН • м; Mz = 2,2 кН*м; d = 60 мм.

Решение

Строим эпюры нормальных напряжений от действия изгибаю­щих моментов относительно осей Ох и Оу и эпюру касательных на­пряжений от кручения (рис. 35.2).

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Максимальное касательное напряжение возникает на поверхно­сти. Максимальные нормальные напряжения от момента Мх возни­кают в точке А, максимальные нормальные напряжения от момента Му в точке В. Нормальные напряжения складываются, потому что изгибающие моменты во взаимно перпендикулярных плоскостях гео­метрически суммируются.

Суммарный изгибающий момент:

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Рассчитываем эквивалентный момент по теории максимальных касательных напряжений:

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Условие прочности:

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Момент сопротивления сечения: Woceвoe = 0,1 • 603 = 21600мм3.

Проверяем прочность:

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Прочность обеспечена.

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru Пример 2. Из условия прочности рассчитать необходимый диа­метр вала. На валу установлены два колеса. На колеса действуют две окружные силы Ft1 = 1,2кН; Ft2 = 2кН и две радиальные силы в вертикальной плоскости Fr1 = 0,43кН; Fr2 = 0,72кН (рис. 35.3). Диаметры колес соответственно равны d1 = 0,1м; d2 = 0,06 м.

Принять для материала вала [σ] = 50МПа.

Рассчитать размеры вала кольцевого сечения при с = 0,8 (с = dвн / d).

Расчет провести по гипотезе максимальных каса­тельных напряжений. Весом вала и колес пренебречь.

Решение

Указание. Используем принцип независимости действия сил, составляем расчетные схемы вала в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Определяем реакции в опорах в горизонтальной и вертикальной плоскостях в отдельности. Строим эпюры изгиба­ющих моментов (рис. 35.4). Под действием окружных сил вал скручивается. Определяем действующий на валу крутящий момент.

Составим расчетную схему вала (рис. 35.4).

1. Крутящий момент на валу:

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

2. Изгиб рассматриваем в двух плоскостях: горизонтальной (пл. Н) и вертикальной (пл. V).

В горизонтальной плоскости определяем реакции в опоре:

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Определяем изгибающие моменты в точках С и В:

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

 
  Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

В вертикальной плоскости определяем реакции в опоре:

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Определяем изгибающие моменты в точках С и В:

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Суммарные изгибающие моменты в точках С и В:

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

В точке В максимальный изгибающий момент, здесь же дей­ствует и крутящий момент.

Расчет диаметра вала ведем по наиболее нагруженному сечению.

3. Эквивалентный момент в точке В по третьей теории прочности

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

4. Определяем диаметр вала круглого поперечного сечения из условия прочности

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Округляем полученную величину: d = 36 мм.

Примечание. При выборе диаметров вала пользоваться стандартным рядом диаметров (Приложение 2).

5. Определяем необходимые размеры вала кольцевого сечения при с = 0,8, где d — наружный диаметр вала.

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Диаметр вала кольцевого сечения можно определить по форму­ле

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Примем d = 42 мм.

Перегрузка незначительная. dBH = 0,8d = 0,8 • 42 = 33,6мм.

Округляем до значения dBH = 33 мм.

6. Сравним затраты металла по площадям сечения вала в обоих случаях.

Площадь поперечного сечения сплошного вала

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Площадь поперечного сечения полого вала

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Площадь поперечного сечения сплошного вала почти в два раза больше вала кольцевого сечения:

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Пример 3. Определить размеры поперечного се­чения вала (рис. 2.70, а) привода управления. Усилие от тяги педали P3, усилия, передаваемые механизмом P1, Р2, Р4. Материал вала — сталь СтЗ с пределом те­кучести σт = 240 Н/мм2, требуемый коэффициент запаса [n] = 2,5. Расчет выполнить по гипотезе энергии формо­изменения.

Решение

Рассмотрим равновесие вала, предварительно приведя силы Р1, Р2, Р3, Р4 к точкам, лежащим на его оси.

Перенося силы Р1 параллельно самим себе в точки К и E, надо добавить пары сил с моментами, равными моментам сил Р1 относительно точек К и Е, т. е.

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Эти пары сил (моменты) условно показаны на рис. 2.70, б в виде дугообразных линий со стрелками. Аналогично при переносе сил Р2, Р3, Р4 в точки K, E, L, Н надо добавить пары сил с моментами

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Опоры вала, изображенного на рис. 2.70, а, надо рассматривать как пространственные шарнирные опоры, препятствующие перемещениям в направлении осей х и у (выбранная система координат показана на рис. 2.70, б).

Пользуясь расчетной схемой, изображенной на рис. 2.70, в, составим уравнения равновесия:

 
  Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

 
  Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Составим проверочное уравнение:

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

следовательно, опорные реакции НА и НВ определены верно.

Эпюры крутящих моментов Мz и изгибающих момен­тов Му представлены на рис. 2.70, г. Опасным является сечение слева от точки L.

Условие прочности имеет вид:

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

где эквивалентный момент по гипотезе энергии формо­изменения

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Требуемый наружный диаметр вала

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Принимаем d = 45 мм, тогда d0 = 0,8 * 45=36 мм.

Пример 4. Проверить прочность промежуточного вала (рис. 2.71) цилиндрического прямозубого редуктора, если вал передает мощность N = 12,2 кВт при частоте вращения п = 355 об/мин. Вал изготовлен из стали Ст5 с пределом текучести σт = 280 Н/мм2. Требуемый коэф­фициент запаса [n] = 4. При расчете применить гипотезу наибольших касательных напряжений.

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Указание. Окружные усилия Р1 и Р2 лежат в горизонталь­ной плоскости и направлены по касательным к окружностям зубчатых колес. Радиальные усилия T1 и Т2 лежат в верти­кальной плоскости и выражаются через соответствующее окружное усилие следующим образом: T = 0,364Р.

Решение

На рис. 2.71, а представлен схематический чертеж вала; на рис. 2.71, б показана схема вала и усилия, возникающие в зубчатом зацеплении.

Определим момент, передаваемый валом:

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

где

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Очевидно, m = m1 = m2 (скручивающие моменты, приложен­ные к валу, при равномерном вращении равны по вели­чине и противоположны по направлению).

Определим усилия, действующие на зубчатые колеса.

Окружные усилия:

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Радиальные усилия:

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Рассмотрим равновесие вала АВ, предварительно при­ведя силы Р1 и Р2 к точкам, лежащим на оси вала.

Перенося силу Р1 параллельно самой себе в точку L, надо добавить пару сил с моментом, равным моменту силы Р1 относительно точки L, т. е.

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Эта пара сил (момент) условно показана на рис. 2.71, в в виде дугообразной линии со стрелкой. Аналогично при переносе силы Р2 в точку К надо присоединить (добавить) пару сил с моментом

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Опоры вала, изображенного на рис. 2.71, а, надо рассматривать как пространственные шарнирные опоры, препятствующие линейным перемещениям в направлениях осей х и у (выбранная система координат показана на рис, 2.71, б).

Пользуясь расчетной схемой, изображенной на рис. 2.71, г, составим уравнения равновесия вала в вер­тикальной плоскости:

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

откуда

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

откуда

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Составим проверочное уравнение:

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

следовательно, опорные реакции в вертикальной плоско­сти определены верно.

Рассмотрим равновесие вала в горизонтальной пло­скости:

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

откуда

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

откуда

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Составим проверочное уравнение:

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

следовательно, опорные реакции в горизонтальной пло­скости определены верно.

Эпюры крутящих моментов Мz и изгибающих момен­тов Мх и Му представлены на рис. 2.71, д.

Опасным является сечение К (см. рис. 2.71, г, д). Эквивалентный момент по гипотезе наибольших касатель­ных напряжений

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Эквивалентное напряжение по гипотезе наибольших касательных напряжений для опасной точки вала

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Коэффициент запаса

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

что значительно больше [n] = 4, следовательно, прочность вала обеспечена.

При расчете вала на прочность не учтено изменение напряжений во времени, поэтому и получился такой зна­чительный коэффициент запаса.

Пример 5. Определить размеры поперечного се­чения бруса (рис. 2.72, а). Материал бруса — сталь 30XГС с условными пределами текучести при растяжении и сжатии σо , = σтр = 850 Н/мм2, σ0,2c = σTc = 965 Н/мм2. Коэффициент запаса [n] = 1,6.

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Решение

Брус работает на совместное действие рас­тяжения (сжатия) и кручения. При таком нагружении в поперечных сечениях возникают два внутренних силовых фактора: продольная сила и крутящий момент.

Эпюры продольных сил N и крутящих моментов Mz показаны на рис. 2.72, б, в. В данном случае определить положение опасного сечения по эпюрам N и Mz невоз­можно, так как размеры поперечных сечений участков бруса различны. Для выяснения положения опасного сечения следует построить эпюры нормальных и макси­мальных касательных напряжений по длине бруса.

По формуле

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

вычисляем нормальные напряжения в поперечных сече­ниях бруса и строим эпюру о (рис. 2.72, г).

По формуле

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

вычисляем максимальные касательные напряжения в по­перечных сечениях бруса и строим эпюру ттах (рис* 2.72, д).

Вероятно, опасными являются точки контура попереч­ных сечений участков АВ и CD (см. рис. 2.72, а).

На рис. 2.72, e показаны эпюры σ и τ для попереч­ных сечений участка АВ.

Напомним, в данном случае (брус круглого попереч­ного сечения работает на совместное действие растяже­ния — сжатия и кручения) равноопасными являются все точки контура поперечного сечения.

На рис. 2.72, ж показаны напряжения на исходных площадках в опасной точке.

 
  Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Главные напряжения в опасной точке участка АВ:

По гипотезе прочности Мора эквивалентное напряже­ние для опасной точки этого участка

 
  Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

На рис. 2.72, з показаны эпюры а и т для попереч­ных сечений участка CD.

На рис. 2.72, и показаны напряжения на исходных площадках в опасной точке.

Главные напряжения в опасной точке участка CD: Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

 
  Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

По гипотезе прочности Мора эквивалентное напряже­ние для опасной точки рассматриваемого участка

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Опасными оказались точки контура поперечных сече­ний участка АВ.

Условие прочности имеет вид:

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

откуда

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Пример 2.76. Определить допускаемое значение силы Р из условия прочности стержня ВС (рис.2.73).Материал стержня — чугун с пределом проч­ности при растяжении σвр = 150 Н/мм2 и пре­делом прочности при сжатии σвс = 450 Н/мм2. Требуемый коэффициент запаса [n] = 5.

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru Указание. Ломаный брус АBС расположен в го­ризонтальной плоскости, при­чем стержень AВ перпенди­кулярен к ВС. Силы Р, 2Р, 8Р лежат в вертикальной плоскости; силы 0,5 Р, 1,6 Р — в горизонтальной и перпендикулярны стержню ВС; силы 10Р, 16Р совпада­ ют с осью стержня ВС; пара сил с моментом m = 25Pd распо­ложена в вертикальной плоскости, перпендикулярной оси стерж­ня ВС.

Решение

Приведем силы Р и 0,5Р к центру тяжести поперечного сечения В.

Перенося силу Р параллельно самой себе в точку В, надо добавить пару сил с моментом, равным моменту силы Р относительно точки В, т. е. пару с моментом m1 = 10 Pd.

Силу 0,5Р переносим вдоль ее линии действия в точку В.

Нагрузки, действующие на стержень ВС, показаны на рис. 2.74, а.

Строим эпюры внутренних силовых факторов для стержня ВС. При указанном нагружении стержня в его поперечных сечениях их возникает шесть: продольная сила N, поперечные силы Qx и Qy, крутящий момент Mz изгибающие моменты Мх и Му.

Эпюры N, Мz, Мх, Му представлены на рис. 2.74, б (ординаты эпюр выражены через Р и d).

Эпюры Qy и Qx не строим, так как касательные напряжения, соответствующие поперечным силам, имеют малую величину.

В рассматриваемом примере положение опасного сечения не очевидно, Предположительно, опасны сечения К (конец участка I) и С.

 
  Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Определим величину и плоскость действия изгибающего момента Ми в сечении К, изображённом отдельно на рис. 2.74, в. На этом же рисунке показаны эпюры σИ, σN, τ для сечения К.

Опасной является точка L. Напряжения на исходных площадках в точке L (рис. 2.74, г):

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

 
  Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Главные напряжения в точке L:

По гипотезе прочности Мора эквивалентное напряжение для точки L

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Определим величину и плоскость действия изгибающего момента Ми в сечении С, изображенном отдельно на рис. 2.74, д. На этом же рисунке показаны эпюры σИ, σN, τ для сечения С.

Напряжения на исходных площадках в точке Н (рис. 2.74, е)

 
  Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Главные напряжения в точке Н:

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

По гипотезе прочности Мора эквивалентное напряже­ние для точки Н

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Напряжения на исходных площадках в точке Е (рис. 2.74, ж):

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Главные напряжения в точке Е:

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

По гипотезе прочности Мора эквивалентное напряже­ние для точки Е

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Опасной оказалась точка L, для которой

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Условие прочности имеет вид:

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

откуда

Формулы для расчета эквивалентных напряжений - student2.ru

Контрольные вопросы и задания

1. Какое напряженное состояние возникает в поперечном сече­нии вала при совместном действии изгиба и кручения?

2. Напишите условие прочности для расчета вала.

3. Напишите формулы для расчета эквивалентного момента при расчете по гипотезе максимальных касательных напряжений и гипо­тезе энергии формоизменения.

4. Как выбирается опасное сечение при расчете вала?

Наши рекомендации