Контрольный тест после изучения раздела I « Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения»
1). Вставить пропущенное слово: функция называется первообразной для функции на множестве , если ……………… этой функции и дифференциал равны соответственно и , то есть и .
2). Что такое неопределенный интеграл функции?
1. Совокупность всех первообразных функций;
2.сумма всех значений функции;
3. произведение функции на ее производную;
4. квадрат дифференциала.
3). Как называется интеграл один из пределов который бесконечен?
1. неопределенный; 2. собственный;
3. несобственный; 4. замечательный.
4). Выберите правильный ответ:
Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что определенный интеграл равен:
1. мгновенной скорости движения тела;
2. длине дуги в прямоугольных координатах;
3. объему тела вращения;
4. площади соответствующей криволинейной трапеции.
5) Среди приведенных ниже высказываний найдите ошибочные:
1. Интеграл произведения нескольких функций есть произведение интегралов от этих функций;
2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная;
3. Определенный интеграл можно вычислить с помощью формулы Ньютона-Лейбница;
4. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования.
6). Интеграл вычисляется с помощью замены
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
7).Найти первообразную функции , график которой проходит через точку
8). Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х2–2х+1, у =2.
1). 2). 3). 4)
9). Интеграл вида: вычисляется по формуле интегрирования по частям, если f(x) равно:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
10).Найти первообразную функции f(x)=3x2–1, график которой проходит через точку M(0;2):
1). F(x) = x3 – x + 2; 2). f `(x) = x3 – x + 2;
3). F(x) = x3 – x + C; 4) f `(x) = x3 – x + C.
11). Определить тип дифференциального уравнения
1. Линейное; 2. Бернулли; 3. Однородное; 4. С разделяющимися переменными
12). Укажите общее решение дифференциального уравнения
; ; ; .
13). Дано линейное однородное дифференциальное уравнение Найти его общее решение.
; ; ; .
14). Дифференциальным уравнением называется любое уравнение, содержащее …………, искомую функцию и ее производные любых порядков.
1. Независимую переменную; 2. Зависимую переменную;
3. Первообразную функции; 4. Неизвестный параметр.
15). Линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:
1. 2. 3. 4. .
16). Если характеристическое уравнение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет один корень (два совпавших корня), то общее решение данного уравнения имеет вид:
1). 2) 3) 4). .
17). Укажите тип дифференциального уравнения:
1. С разделяющимися переменными; 2. Однородное; 3. Линейное.
18). Дано линейное однородное дифференциальное уравнение . Найти его общее решение.
РАЗДЕЛ II. РЯДЫ
Глава 4. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Основные понятия. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости
Определение.Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел , соединенных знаком сложения, то есть
(13.1)
где числа называются членами ряда, - общим членом ряда.
Ряд (13.1) считается заданным, если известен его общий член .
Пример.
1)
2)
3)
Ряд можно задать с помощью общего члена, например, определяет следующий ряд:
Определение. Частичной суммой числового ряда называетсясуммаего первых n членов,
Определение.Суммой числового ряда S называется предел последовательности его частичных сумм, если этот предел существует
,
причем ряд называется сходящимся, в противном случае, если же не существует, или то ряд называется расходящимся.
Пример.Исследовать на сходимость ряды
а).
б).
Решение:
а). Рассмотрим ряд . Найдем его частичные суммы Последовательность его частичных сумм 1,0,1,0.1,0... не имеет предела, следовательно ряд расходится.
б). Рассмотрим ряд
найдем его частичные суммы:
Так как то рассматриваемый ряд сходится: его сумма равна 1.