Методика изучения особых случаев умножения и деления

Особые и частные случаи умножения:

1. Особые случаи(нельзя доказать, нельзя представить в виде суммы)

а∙1 «При умножении любого числа на ед. получается то число, которое умножали»

а∙0«При умножении любого числа на 0 получается 0»

2. Частные случаи (можно доказать, можно представить в виде суммы)

1∙а«При умножении ед. на любое число получается то число, на которое умножали»

0∙а«При умножении 0 на любое число получается 0»

Случаи деления с 0:

Случаи деления с 0 можно объяснить, используя определения деления и теорему о единственности частного.

А (частный случай)

0:а = 0 – удовлетворяет второму определению деления, т.к. 0 умножить на а = 0

Выполняется теорема о единственности частного, т.к. только 0 является частным чисел ноль и а

А:0 (особый случай)

а:0=? вывод: не удовлетворяет определению деления.

3) 0:0

0:0=0, т.к. 0∙0=0

0:0=1, т.к. 1∙0=0

0:0=2, т.к. 2∙0=0

Следовательно: не удовлетворяет.

Т.о. во втором и третьем случае договорились не приписывать частное. В этом случае говорят, что деление на 0 невозможно.

Случаи деления с 1

Существует 2 случая: единица – делитель; единица – частное.

Возможны различные методические подходы.

Например, на основе практических задач (можно еще на основе взаимосвязи компонентов при умножении, на основании взаимосвязи компонентов при делении)

· деление по содержанию

3:1 – 3 яблока разложили по одному…Сколько потребовалось тарелок?

Вывод: при делении числа на то же самое число не равное 0, получается 1.

При делении числа на 1 получается то же число.

Деление на равные части:

3:3=1 – 3 апельсина разложили на 2 тарелки поровну.

20.
риделении ученики встречаются не только с. делением нацело, но и с делением с остатком. При делении с остатком они убеждаются, что все числа делятся на две группы по отношению к делителю: одни из них делятся на него без остатка, другие — с остатком.

Сравнивая остаток с делителем, дети узнают, что остаток не может быть больше делителя или равен ему. Это имеет значение при изучении деления многозначных чисел.

Деление с остатком бывает двух видов: табличное деление и внетабличное деление на однозначное и двузначное число.

Объяснение деления с остатком можно провести на наглядных пособиях, пользуясь решением тех или иных практических задач. Пусть например, требуется оклеить карточку квадратной формы со стороной 8 см, а у нас имеется 35 см бумажной ленты. Спрашивается, сколько раз по 8 см содержится в 35 см и сколько еще сантиметров ленты останется. Отрезая по 8 см, ученики убеждаются в том, что 8 см в 35 см содержится 4 раза и останется еще 3 см. Это записывается так: 35 см : 8 см = 4 (ост. 3 см).

Решение таких задач показывает детям практическое применение деления с остатком.

Проверкой решения устанавливается соотношение между делимым, делителем, частным и остатком. Так, в приведенном выше примере мы имеем 35 : 8 = 4 (3); 35 = 8 х 4 + 3. Эта зависимость между компонентами используется для объяснения деления с остатком на отвлеченных числах. Предварительно решаются примеры вида: 6 х 5 + 1 = 31.

Затем ставится вопрос: как 31 разделить на 6? Из решения примера видно, что число 31 разлагается на 2 числа: 30, которое делится на 6, и 1 (остаток). Сопоставляя строчки, будем иметь: 6 х 5 + 1 = 31; 31 : 6 = 5 (1).

Отсюда делается вывод, что из числа 31, которое нужно разделить, берется наибольшее число единиц, которое делится на 6 без остатка, а единица остается в остатке.

В дальнейшем при делении с остатком частное находится путем умножения. Так, если дано 58 разделить на 8, нужно поставить вопрос: какое ближайшее число делится на 8 нацело? Если учащиеся затрудняются ответить на этот вопрос, учитель предлагает им найти частное методом проб. Найдя 7, ученик отвечает — 56. После этого делается запись: 58 : 8 == 7 (остаток 2).

Аналогичные приемы применяются и при ознакомлении детей с внетабличным делением с остатком в пределах ста: 75 : 6 = 12 (остаток 3).

Умение делить с остатком облегчает письменное деление многозначных чисел на однозначное число.

Методика изучения деления с остатком.

Задачи изучения темы

1.Раскрыть конкретный смысл деления с остатком.
2. Познакомить с соотношением остатка и делителя.
3. Познакомить с приемами и алгоритмом деления с остатком, научить их применять на практике.
4. Научить проверять правильность решения примеров на деление с остатком.
Значение темы
1. Расширяет и углубляет знания учащихся о делении, поскольку деление с остатком встречается чаще, чем деление без остатка.
2. Создает новые условия для применения навыков табличного умножения и деления.
3. Подготавливает к изучению приемов письменного деления.
4. Способствует формированию навыков самоконтроля.

. На первом этапе следует обратить внимание на то, что не всегда одно число делится на другое. Деление с остатком вводится на наглядной основе (с помощью выполнения операций с предметами) при решении задач на деление по содержанию и на равные части. М 3, ч.2, с. 24.

Учитель предлагает взять 7 тетрадей и раздать по 2 тетради другим учащимся, и узнать сколько учеников получат тетради?

– Сколько учеников получили тетради? (3 ученика)

– Все ли тетради раздали? (Нет, осталась одна тетрадь).

Решение этой задачи выполняется действием деления, только здесь будет деление с остатком.

Решение. 7 : 2 = 3 (ост. 1)

Ответ : 3 ученика и 1 тетрадь осталась.

Затем рассматривается деление с отвлеченными числами 17 : 3

На этом этапе необходимо обратить внимание учащихся на то, что при делении с остатком получилось 2 числа - частное и остаток. Здесь же учащиеся знакомятся с двумя способами чтения записи при делении с остатком.

2. На этом этапе с. 25 рассматривается деление нескольких последовательных чисел 9, 10, 11 на 2, а затем 6, 8, 9, 10 на 3.

Можно рассуждать так:

– Какие могут быть остатки при делении на 2? (0, 1)

– А может быть остаток 2? (Нет)

Затем наблюдает деление последовательных чисел на 3.

– Какие могут быть остатки при делении на 3? (0, 1, 2)

Аналогично для 4.

– Какие могут быть остатки при делении на 4? (0, 1, 2, 3)

На основе наблюдений дети приходят к основному свойству деления с остатком

Если остаток равен 0, то можно сказать, что число разделилось без остатка или просто, что одно число делится на другое.

3. На следующем этапе учащиеся знакомятся с приемом деления с остатком двузначного числа на однозначное (с. 26).

Учитель объясняет прием так:

а) при делении с остатком вы находили результат, пользуясь рисунком или наглядными пособиями. Сегодня вы научитесь выполнять деление с остатком по-другому, при помощи алгоритма.

б) Прием деления с остатком методом подбора (с. 27). (Этот прием для слабых учащихся.)

в) Рассматривается случай деления, когда делимое меньше делителя вида 3 : 4 (с. 29)

При выполнении деления с остатком меньшего числа на большее можно рассуждать так:

– Какое наибольшее число до 3-х которое делится на 4? (Число 0. Наибольшее число до 3-х, которое делится на 4 - это 0, 0 делим на 4, получаем 0, из 3-х вычесть 0, получаем в остатке 3

0 : 4 = 0; 3 - 0 = 3, ост. 3) или 3 : 4 = 0 (ост. 3)

21. Изучение алгоритма письменного деления на однозначное число.

Рассмотрим теоретическую основу алгоритма деления многозначных чисел.

При делении однозначных чисел и двузначных (не превышающих 89) на однозначное число используется таблица умножения однозначных чисел, которая заучивается наизусть.

В начальном курсе математики первое знакомство с алгоритмом письменного деления происходит в 3 классе (М3М, ч. 2) в следующей последовательности:

1) знакомство с приемом деления трехзначного числа на однозначное (число единиц каждого разряда делимого делится на делитель без остатка);

2) деление трехзначного числа на однозначное (число единиц одного из разрядов делимого не делится на делитель без остатка);

Знакомя детей с приемом письменного деления, мы сопоставляем запись в строчку с записью "уголком" с целью понимания взаимосвязи между устными и письменными вычислениями.

Ученики сначала вспоминают прием устного деления двузначного числа на однозначное, например 64 : 2.

Учитель выполняет на доске подробную запись:

64 : 2 = (60 + 4) : 2 = 60 : 2 + 4 : 2 = 30 + 2 = 32

Далее предлагаем по аналогии разделить 864 на 2, фиксируя ход вычислений на доске (при этом делимое заменяем суммой разрядных слагаемых):

864 : 2 =(800 + 60 + 4) : 2 = 800 : 2 + 60 : 2 + 4 : 2 = 400 + 30 + 2 = 432

Учитель обращает внимание на неудобство записи и предлагает компактный вариант:

- В некоторых случаях удобно записывать деление столбиком («уголком»).

Знакомясь с новым материалом, ученики под руководством учителя приходят к заключению, что деление в столбик, в отличие от сложения, вычитания и умножения, выполняется, начиная с единиц высшего разряда.

В 4 классе приемы письменного деления изучаются в три этапа:

I этап– деление на однозначное число:

1) деление многозначного числа на однозначное (первое неполное делимое - однозначное число);Основа- деление суммы на число

2) деление многозначного числа на однозначное (первое неполное делимое - двузначное число);Основа- деление суммы на число

3) деление многозначного числа наоднозначное, когда в записи частного есть нули;Основа- деление суммы на число

4) деление многозначного числа наоднозначное, когда в записи частного есть нули (краткая запись).Основа- деление суммы на число