Портфельный анализ. Диверсификация Марковица

Инвестор, вкладывающий свой капитал в ценные бумаги, преследует противоречивую цель увеличить средний ожидаемый прирост капитала и уменьшить риск возможных убытков, который связан с нестабильностью рынка и со значением колебаний цен. Одним из приемов сокращения риска, применяемым в инвестиционных решениях, является распределение общей инвестиционной суммы между несколькими видами активов. Этот набор активов, которыми располагает инвестор, называется портфелем. Различают риск и доходность одной ценной бумаги и риск и доходность портфеля ценных бумаг.

Рассмотрим портфель, состоящий только из рисковых ценных бумаг, например, акций.

Пусть на рынке существует n акций с доходностями . Принимая, что величина капитала инвестора равна 1 и распределена между n ценными бумагами портфеля, обозначим через - доли акций каждого вида, купленными инвестором в нулевой момент времени, т.е.

Тогда доходность портфеля

= (2.1.1)

будет случайной величиной. Доходность многих видов активов подвержена внезапным и непрогнозируемым изменениям. Такие активы называют рисковыми. В этом случае , , моделируются случайными величинами и средняя доходность портфеля равна

, (2.1.2)

- математическое ожидание доходности -ой ценной бумаги.

Дисперсия портфеля рисковых активов как мера риска составляет

, (2.1.3)

где - ковариация между доходностями ценных бумаг и .

Впервые Г. Марковиц поставил задачу найти из множества всевозможных портфелей оптимальный портфель, который обеспечивает минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности:

(2.1.4)

где m – фиксированный уровень математического ожидания. За постановку первой задачи Марковиц получил Нобелевскую премию.

Также можно из множества всех портфелей найти оптимальный, который обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска

(2.1.5)

где d – заданный уровень дисперсии. Это, так называемая, вторая задача Марковица.

Пример 2.1.1. На рынке существует два вида акций, доходности которых независимо распределёны по следующим законам:

Р	0,3	0,2	0,5

Р	0,25	0,65	0,1

Найти среднее значение и дисперсию доходности всего портфеля, стоящего из 10 акций первого вида и 15 акций второго.

Решение. Портфель состоит из 25 акций. Доля акций первого вида , количество акций второго вида .

1) Найдем математические ожидания и дисперсии доходностей акций портфеля

,

,

,

,

Тогда математическое ожидание и дисперсия доходности портфеля будут равны

,

.

Пример 2.1.2.Даны вектора ожидаемых доходностей активов за месяц и ковариационная матрица

М= , = .

Определить оптимальный портфель, если ожидаемое значение доходности .

Решения. Первая задача Марковица имеет вид

Решим её с помощью метода неопределённых множителей Лагранжа.

Частные производные

Решением полученной системы будут числа , , , , .

Можно проверить, что точка с координатами ; ; ; ; будем минимумом функции Лагранжа L. Значит, оптимальный портфель должен состоять из 26% акций первого вида, 26% акций второго вида 48% акций третьего вида.

Пример 2.1.3. На рынке существует две акции с совместным законом распределения их стоимостей

\
	0,1	0,2	0,2
	0,15	0,15	0,2

Найти среднее значение и среднеквадратическое отклонение от всей стоимости портфеля, состоящего из 5 акций первого вида и 10 акций второго вида.

Решение. Портфель состоит из 15 акций. Таким образом, количество акций первого вида , а количество акций второго вида .

Определим прогнозируемую стоимость и среднеквадратическое отклонение для акции первого вида.

,

,

,

.

Определим прогнозируемую стоимость и среднеквадратическое отклонение для акции второго вида.

,

,

,

.

Тогда прогнозируемое значение стоимости портфеля равно

.

Определим ковариацию этих акций.

,

.

Дисперсия стоимости и среднеквадратическое отклонение равны

,

.

Видим, что среднее значение стоимости портфеля равно 1537,5, а его среднеквадратическое отклонение равно 309.

Рассмотрим портфель, состоящий из двух активов. Даже столь простая модель уже достаточно хорошо демонстрирует основные черты поведения большого портфеля. Итак, ожидаемая доходность портфеля по (2.1.2) будет

,

где - доли капитала, вложенные в первую и вторую ценные бумаги соответственно, а - ожидаемые доходности ценных бумаг соответственно. А дисперсия портфеля по (2.1.3) имеет вид

, (2.1.6)

где - стандартные отклонения ценных бумаг, - коэффициент корреляции этих ценных бумаг.

Рассмотрим зависимость дисперсии портфеля от коэффициента корреляции. В случае, когда он равен 1 (положительная корреляция доходности ценных бумаг) равенство (2.1.6) примет вид

,

и стандартное отклонение доходности портфеля равно средневзвешенному стандартному отклонению доходностей входящих в портфель бумаг – никакого выигрыша при объединении таких активов в портфель нет. В случае, когда коэффициент корреляции равен -1 (полная отрицательная корреляция) дисперсия (2.1.6) примет вид

, (2.1.7)

.

При этом вес можно подобрать так (при известных ), чтобы стандартное отклонение доходности портфеля (2.1.7) было равным нулю, т.е.

.

Таким образом, из двух активов с полной отрицательной корреляцией доходности всегда можно составить безрисковый портфель. Очевидно, управляя этими активами по отдельности, можно было бы увеличить прибыль.

Изложенный эффект отрицательной коррелированности, называемый эффектом Марковица, является одной из основных идей диверсификации – при составлении портфеля ценных бумаг надо стремиться к тому, чтобы вложения делались в бумаги, среди которых, по возможности, много отрицательно коррелированных.

Другая идея, лежащая в диверсификации, основана на следующем.

Рассмотрим портфель, содержащий n видов ценных бумаг, некоррелированных между собой, с дисперсиями , с – некоторая постоянная. Дисперсия портфеля

.

Поэтому, взяв, например, , находим, что

.

Отсюда следует правило, названное эффектом некоррелированности: для уменьшения риска при инвестировании в некоррелированные ценные бумаги надо, по возможности, набрать количество этих бумаг как можно большим.

Метод распыления средств на покупку небольших порций слабо коррелированных ценных бумаг называется диверсификацией портфеля ценных бумаг. Диверсификация уменьшает риск и применяется там, где требуется прежде всего высокая защита капиталовложений от разорения.

В случае коррелированных ценных бумаг

, (2.1.8)

где - ковариация i и j ценных бумаг, . Возьмём здесь , . Тогда

,

где - средняя дисперсия. Далее, сумма

,

где - средняя ковариация.

Таким образом, выражение (2.1.8) примет вид

. (2.1.9)

Видим, что если средняя дисперсия ограничена, то

. (2.1.10)

Графически это изображено на рисунке 2.1.1

Рис.2.1.1 Зависимость дисперсии портфеля от количества активов

Из формулы (2.1.10) видим, что если средняя ковариация равна нулю при очень большом количестве ценных бумаг, то риск инвестирования можно сделать сколь угодно малым.

К сожалению, если рассматривать рынок акций, то на нем, как правило, имеется положительная корреляция, что приводит к тому, что даже при достаточно большом количестве ценных бумаг средняя ковариация не стремится к нулю. Предельное значение этой средней ковариации есть систематический (рыночный) риск. Первый же член в формуле (2.1.9) определяет несистематический риск. Второе слагаемое не стремится к 0 при , оно характеризует систематический риск рынка и не подавляется при диверсификации.

Упражнения

1. В начале года Иванов обладал четырьмя видами ценных бумаг в следующих количествах и со следующими текущими и ожидаемыми к концу года ценами:

Ценная бумага	Количество акций	Текущая цена (долл.)	Ожидаемая цена к концу года (долл.)
А
В
С			14,5
D

Какова ожидаемая доходность портфеля за год?

2. Портфель состоит из 20% бумаг вида А, 50% бумаг вида В, 30% бумаг вида С. Известно, что доходность ценных бумаг А есть независимая дискретная случайная величина со следующим законом распределения

Х
Р	0,3	0,2	0,5

Доходность актива В независимая равномерно распределённая случайная величина на интервале (-20, 120). А доходность бумаг С – независимая детерминированная величина, равная 150. Найти ожидаемую доходность портфеля этих бумаг.

3. Определить величину риска для портфеля, состоящего только из бумаг вида А и В в соотношении 1:3 (задача 2), если коэффициент корреляции этих бумаг

а) ;

б) ;

в) .

4. Вычислить стандартное отклонение доходности портфеля по заданной ковариационной матрице для трёх ценных бумаг А, В, С

	А	В	С
А		-17	21,5
В	-17
С	21,5

Доли бумаг в портфеле соответственно равны

а) 0; 0,2; 0,8;

б) 0,15; 0,45; 0,4;

в) 0,5; 0,3; 0,2.

5. Для ковариационной матрицы из задачи 4 сформулировать первую задачу Марковица и решить её, если прогнозируемые значения доходностей бумаг портфеля соответственно , , , а прогнозируемое значение доходности всего портфеля

а) ;

б) .

6.На рынке существуют два вида акций с совместным законом распределения

	0,1	0,25	0,2
	0,15	0,2	0,1

Найти среднее значение и среднеквадратическое отклонение доходности всего портфеля, состоящего из 20% акций вида А и 80% акций вида В.

7. Из условия предыдущей задачи найти оптимальный портфель с заданным уровнем дисперсии

а) ;

б) .