Случайные величины в общей схеме

В случае произвольного вероятностного пространства случайной величинойназывается такая функцияX = X () от элементарных исходов , для которой при любом численном значении неравенство {X ≤ } является событием. Вероятность этого события {X ≤ } называется функцией распределения. Таким образом, функция распределения случайной величины X определяется формулой

= {X ≤ x}. (3)

Функция распределения обладает следующими свойствами:

a) 0 ≤ ≤ l, – < x < ;

b) F_X (–) = 0, F_X (+) = 1;

c) - неубывающая функция на всей оси;

d) непрерывна справа, т. е. =.

Вероятность попадания случайной величины X на произвольный интервал действительной оси (, ] определяется формулой

= – . (4)

Различают случайные величины дискретного типа и случайные величины непрерывного типа. Определение дискретных случайных величин и их законов распределения дано выше. Зная закон распределения таких величин, можно вычислить функцию распределения, представляющую собой, в силу определения (3), функцию накопленных вероятностей:

(5)

где суммирование распространяется на все значения индекса , для которых < . Это ступенчатая функция, которая принимает постоянное значение на любом интервале, не содержащем значений случайной величины . Ее точки разрыва – это ее возможные значения , а скачки в точках разрыва – соответствующие вероятности .

Случайная величина Х называется случайной величиной непрерывного типа, если существует такая неотрицательная функция , называемая плотностью распределения вероятностей, что при всех R

= {X ≤ } = . (6)

Плотность распределения вероятностей обладает следующими свойствами:

a) ≥ 0, – < x < ;

b) =l (условие нормировки);

c) = в точках непрерывности функции .

Функция распределения непрерывной случайной величины является непрерывной монотонно возрастающей функцией на всей оси, причем

{Х = } = = 0 при всех x R.

Это значит, что вероятность «попасть в точку» для непрерывной случайной величины, равна нулю.

Если Х - непрерывная случайная величина, то вероятность ее попадания на интервал (, ] может быть вычислена как через функцию распределения по формуле (4), так и через плотность распределения вероятностей:

{< Х ≤ } = . (7)

Пример. Функция является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины. Найти: значение нормирующей постоянной , функцию распределения, вероятность

{0< Х ≤ 1}.

◄ Постоянную находим из условия нормировки плотности распределения=l: = = = =1 . Итак, .

Функцию распределения найдем исходя из определяющей ее формулы (6): = = ==.

По формуле (7) находим искомую вероятность {0< Х ≤ 1}:

{0< Х ≤ 1} = = = = =

= . Этот результат можно получить и с помощью функции распределения по формуле(4): = – = –

– = . ►

Числовые характеристики случайных величин

Характеристики положения

Случайные величины, помимо законов распределения, могут также описываться числовыми характеристиками, среди которых различают характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана и др.) и характеристики рассеивания (дисперсия, среднеквадратичное отклонение, различные моменты распределения порядка выше первого и др.).

Математическим ожиданием (средним значением по распределению,средним) называется действительное число, определяемое в зависимости от типа случайной величины X формулой

(1)

Из определения математического ожидания легко получаются следующие его свойства:

a. Аддитивность [X + Y] = [X] + [Y], т. е. математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математическихожиданий слагаемых. Это свойство распространяется на случай любого конечного числа слагаемых;

b. Для любого числа

[X] = [X],

т. е. постоянный множительможно выносить за знакматематического ожидания;

c. Математическое ожидание индикаторасобытия А равно вероятности этого события:

[] = (А);

d. Свойство монотонности: если Х ≥ Y, то

[X] ≥ [Y];

e. Для независимых случайных величин X и Y имеет место мультипликативное свойство математического ожидания:

[X∙Y] = [X] ∙ [Y],

т. е. математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведениюих математических ожиданий. Свойство мультипликативности распространяется на случай произвольного конечного числа независимых случайных величин. Следует отметить, что если свойство аддитивности математического ожидания справедливо для любых случайных величин, то свойство мультипликативности математического ожидания справедливо только для независимых случайных величин.

Модой случайной величины X непрерывного типа называется такое ее числовое значение , для которого плотность распределения вероятностей этой величины имеет максимум. Мода случайной величины дискретного типа определяется как такое ее возможное значение , для которого

{X = } = max {X = }. (2)

^k

Таким образом, мода дискретной случайной величины есть ее наиболее вероятное значение в случае, если такое значение единственно. Мода может не существовать, иметь единственное значение (унимодальное распределение) или иметь множество значений (мультимодальноераспределение).

Медианой случайной величины X непрерывного типа называется такое ее числовое значение , при котором

{Х < } = {Х ≥ } или F_Х (x) = . (3)

Так как данное уравнение может иметь множество корней, то медиана определяется, вообще говоря, неоднозначно.

Характеристики рассеивания

Дисперсией случайной величины X называется неотрицательное число [Х], определяемое формулой

(4)

Неотрицательное число называется среднеквадратичным отклонением (сокращенно с. к. о.) случайной величины X. Оно имеет размерность случайной величины X и определяет некоторый стандартный среднеквадратичный интервал рассеивания, симметричный относительно математического ожидания. (Величину иногда называют стандартным отклонением.) Если величина X =const (т. е. X не случайна), то [] = 0.

Свойства дисперсии:

a. Дисперсия любой случайной величины неотрицательна, причем [X] = 0 тогда и только тогда, когда – постоянная;

b. Если – постоянная, то

[] = [];

c. Если случайные величины X и Y независимы, то

[] = []+[].

Случайная величина X называется центрированной (обозначается ), если m_X = 0. Случайная величина X называется стандартизованной, если

m_X = 0 и =1 (т. е. начало отсчета находится в _, а единицей измерения величины является ).

Начальным моментомm-го порядка( = 0, 1, 2, ...) распределенияслучайной величины X называется действительное число , определяемое по формуле

(5)

Центральным моментомm-го порядка распределения случайной величины X называется число, определяемое по формуле

(6)

Из определений моментов, в частности, следует, что

a₀ = = 1, m_X = a₁ , D_Х = = = a₂ -

Отметим еще две важные характеристики распределения, связанные с моментами высшего порядка:

· коэффициент асимметрии или «скошенности» распределения

, (7)

· коэффициент эксцесса или «островершинности» распределения

. (8)

Квантилью порядкараспределения случайной величины X непрерывного типа называется действительное число , удовлетворяющее уравнению

{Х < } = . (9)

В частности, из определения медианы следует, что

h_X = .

Лекция 26.2 «Наиболее распространенные законы распределения случайных величин»

Учебные вопросы:

1. Наиболее распространенные законы распределения дискретных случайных величин

2. Наиболее распространенные законы распределения непрерывных случайных величин

3. Распределение некоторых случайных величин, представляющих функции нормальных величин