Тема 24 Приближенное решение дифференциальных уравнений и систем

Лекция 24.1 «Приближенное решение дифференциальных уравнений и систем»

Учебные вопросы:

1. Метод Эйлера

2. Метод Рунге-Кутта

3. Метод Адамса

Дифференциальные уравнения являются основным математическим инструментом моделирования и анализа разнообразных явлений и процессов в науке и технике.

Методы их решения подразделяются на два класса:

1) аналитические методы, в которых решение получается в виде аналитических функций;

2) численные (приближенные) методы, где искомые интегральные кривые получают в виде таблиц их численных значений.

Применение аналитических методов позволяет исследовать полученные решения методами математического анализа и сделать соответствующие выводы о свойствах моделируемого явления или процесса. К сожалению, с помощью таких методов можно решать достаточно ограниченный круг реальных задач. Численные методы позволяют получить с определенной точностью приближенное решение практически любой задачи.

Решить дифференциальное уравнение

(7.1)

численным методом означает, что для заданной последовательности аргументов и числа , не определяя аналитического вида функции , найти значения , удовлетворяющие условиям:

.

Рассмотрим три наиболее распространенных при решении практических задач численных метода интегрирования Эйлера, Рунге-Кутта и Адамса.

Метод Эйлера.

Этот метод является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других численных методов.

Пусть дано дифференциальное уравнение с начальными условиями (задача Коши)

(7.2)

и выполняются условия существования и единственности решения.

Теорема Пиккара (теорема о существовании и единственности решения задачи Коши).

Если в уравнении (7.1) функция непрерывна в прямоугольнике и удовлетворяет в условию Липшица

,

где - константа Липшица, то существует единственное решение , , уравнения (7.1), удовлетворяющее условию , где , в .

Требуется найти решение задачи Коши (7.2) на отрезке .

Выбрав шаг - достаточно малый, равный , строим систему равноотстоящих точек

Искомую интегральную кривую , проходящую через точку , приближенно заменим ломаной Эйлера с вершинами (Рис.7.1).

Звено ломаной , заключенное между и , наклонено к оси под углом . Тангенс этого угла вычисляется по формуле:

.

Сделав преобразование, получим формулу Эйлера:

. (7.3)

Вычисление значений осуществляется с использованием формулы (7.3) следующим образом. По заданным начальным условиям и полагая в выражении (7.3) вычисляется значение

(7.4)

Далее определяя значение аргумента по формуле , используя найденное значение и полагая в формуле (7.3) вычисляем следующее приближенное значение интегральной кривой , как

(7.5)

Поступая аналогичным образом при определяем все остальные значения , в том числе последнее значение , которое соответствует значению аргумента .

Таким образом, соединяя на координатной плоскости точки отрезками прямых в качестве приближенного представления искомой интегральной кривой , получаем ломанную линию с вершинами в точках .

Метод Эйлера может быть применен к решению систем дифференциальных уравнений.

Пусть задана система двух уравнений первого порядка

(7.6)

с начальными условиями

.

Необходимо найти решение этой задачи Коши. Проводя аналогичные рассуждения, получаем расчетные формулы вида:

(7.7)

где - шаг интегрирования.

При расчетах полагается, что и . В результате применения расчетной схемы (7.7) получается приближенное представление интегральных кривых и в форме двух ломаных Эйлера, построенных по полученным таблицам .

Запишем разложение в ряд Тейлора:

(7.8)

Учитывая формулы (7.3) и (7.8), получим

(7.9)

Соотношение (7.9) может быть использовано для выбора шага . Как правило, шаг выбирают таким образом, чтобы , где - заданная точность.

Достоинством метода Эйлера является его простота и высокая скорость поиска решения. Недостатком метода Эйлера является малая точность.

Метод Рунге-Кутта

Данный метод является одним из наиболее распространенных численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. По сравнению с описанным выше методом Эйлера метод Рунге-Кутта имеет более высокую точность, но невысокую скорость поиска решения, так как метод относится к классу многошаговых методов.

Пусть на отрезке требуется найти численное решение задачи Коши (7.1), где . Как и в предыдущем методе разобьем этот участок на равных частей и построим последовательность значений аргумента искомой функции . Предполагаем существование непрерывных производных функции до пятого порядка.

Выражение (7.2) можно переписать в виде:

(7.10)

где - приращение искомой функции на -ом шаге интегрирования.

Придадим аргументу приращение, равное шагу интегрирования , и разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки , сохранив в нем пять членов:

Перенося первое слагаемое в этой сумме в левую часть получим, что

(7.11)

Здесь производные определяются последовательным дифференцированием уравнения (7.1).

Вместо непосредственных вычислений по формуле (7.3) в методе Рунге-Кутта для каждого значения определяются четыре числа:

(7.12)

Если числа последовательно умножить на и сложить между собой, то получим:

. (7.13)

Формула Рунге-Кутта имеет погрешность .

Таким образом, рабочая формула Рунге-Кутта:

.

В отличие от расчетной схемы метода Эйлера, в которой каждое следующее значение вычисляется непосредственно по единой формуле (7.3), в методе Рунге-Кутта необходимо проведение промежуточных вычислений по формулам (7.10) и (7.12).

Метод Рунге-Кутта может быть использован и при решении систем дифференциальных уравнений. Рассмотрим задачу Коши для системы второго порядка (7.6). В этом случае приращения и вычисляются по формулам:

(7.14)

где

(7.15)

Приближенное интегрирование системы уравнений (7.6) осуществляется по формулам вида:

.

Метод Адамса

Пусть для задачи Коши найдены каким-либо способом (например, методом Эйлера или Рунге-Кутта) три последовательных значения искомой функции

Вычислим величины , , , .

Метод Адамса позволяет найти решение задачи – функцию - в виде таблицы функций. Продолжение полученной таблицы из четырех точек осуществляется по экстраполяционной формуле Адамса:

Затем уточнение проводится по интерполяционной формуле Адамса:

.

Метод Адамса легко распространяется на системы дифференциальных уравнений. Погрешность метода Адамса имеет тот же порядок, что и метод Рунге-Кутта.

Тема 25 Основные понятия теории вероятностей

Лекция 25.1 «Основные понятия теории вероятностей.

Формулы комбинаторики»

Учебные вопросы:

1. Случайные события. Алгебра случайных событий

2. Вероятность. Дискретное и непрерывное вероятностные пространства

3. Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме