Признаки сходимости положительных рядов

Если все члены ряда имеют одинаковые знаки, то ряд называется знакопостоянным. К числу таких рядов относятся ряды, все члены которых только положительные (знакоположительные, или просто положительные ряды), и ряды, все члены которых только отрицательные (знакоотрицательные ряды). Знакоотрицательные ряды можно рассматривать как частный случай положительных, у которых все члены умножены на (–1).

Положительный сходящийся ряд при перестановке членов остается сходящимся и сумма его не изменяется. Расходящийся положительный ряд при перестановке членов остается расходящимся.

Сравнение положительных рядов.

· 1-й признак сравнения. Пусть и – ряды с положительными членами, причем для всех номеров , начиная с некоторого. Тогда:

1) если ряд сходится, то сходится и ряд ;

2) если ряд расходится, то расходится и ряд .

· 2-й признак сравнения (предельная форма признака сравнения). Пусть и – ряды с положительными членами, причем существует конечный и отличный от нуля предел . Тогда ряды и сходятся или расходятся одновременно.

При использовании 1-го или 2-го признака сравнения, как правило, сравнивают исходный ряд с соответствующим рядом Дирихле. При этом часто используют эквивалентность следующих бесконечно малых последовательностей (при ):

.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

◄ Применим 1-й признак сравнения. Так как , то , откуда . Ряд расходится, значит, расходится и больший ряд . ►

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

◄ Применим 2-й признак сравнения. Так как при числитель дроби в общем члене ряда (это следует из ), а знаменатель (т. к. ) и, следовательно, , сравним заданный ряд с гармоническим . Находим предел отношения = . Так как этот предел конечен и не равен нулю, а ряд расходится, то расходится и исходный ряд. ►

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

◄ Так как (при ), то (при ). Ряд сходится (это ряд Дирихле , в котором ), значит, сходится и исходный ряд. ►

Признак Даламбера. Пусть – ряд с положительными членами, и существует конечный предел . Тогда, если , то данный ряд сходится; если же , – расходится. Если , то ряд может сходиться или расходиться; в этом случае требуется исследовать ряд с помощью других методов.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

◄ Применяем признак Даламбера. Найдем предварительно отношение : . Вычисляем предел: . Так как , исходный ряд сходится. ►

Признак Коши. Пусть – ряд с положительными членами, и существует конечный предел . Тогда, если , то данный ряд сходится; если же , – расходится. Если , то ряд может сходиться или расходиться; в этом случае требуется исследовать ряд с помощью других методов.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

◄ Применяем признак Коши. Найдем предварительно : = . Так как и , получим . Заданный ряд сходится по признаку Коши. ►