Прямая в пространстве. Взаимное расположение плоскостей и прямых

Система двух линейных уравнений

(1.3.32)

определяет прямую как пересечение двух плоскостей и (рис. 1.40) при условии, что эти плоскости не параллельны . При (и только в этом случае) прямая проходит через начало координат.

Пример. Рассмотрим систему . Первое уравнение системы задает координатную плоскость , а второе – плоскость, параллельную оси . Пересечение этих плоскостей дает прямую линию, лежащую в координатной плоскости (рис. 1.41).

Если прямая проходит через точку параллельно вектору (направляющий вектор прямой), то из условия , где – вектор, проведенный из точки в произвольную точку прямой (рис. 1.42), получаем канонические уравнения прямой:

(1.3.33)

Уравнения прямой, проходящей через две точки и , следуют из (1.3.33), если в качестве направляющего вектора прямой взять вектор и одну из двух точек (все равно какую), через которые прямая проходит:

(1.3.34)

Направляющий вектор прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей (системой (1.3.32)), может быть получен при помощи векторного произведения нормальных векторов и этих двух плоскостей:

. (1.3.35)

Обозначив в канонических уравнениях (1.3.33) отношение через ( – переменный параметр), получаем параметрические уравнения прямой в пространстве:

(1.3.36).

Пример. Составить параметрические уравнения прямой , заданной как пересечение двух плоскостей и : .

◄ Направляющий вектор прямой найдем по формуле (1.3.35) при , : =

. Произвольную точку, через которую проходит прямая, можно найти, положив одну из ее координат любому значению и решив затем получающуюся из исходной системы систему двух уравнений с двумя остающимися неизвестными координатами точки. Положив , получаем систему . Решение этой системы: , т. е. прямая проходит через точку с координатами . Подставив эти координаты и координаты направляющего вектора в (1.3.36), получаем искомые уравнения прямой: . ►

Взаимное расположение плоскостей и прямых

Угол между двумя плоскостями и (рис. 1.43) равен углу между нормальными векторами и этих плоскостей, т. е.

(1.3.37)

Две плоскости и параллельны, если параллельны их нормальные векторы , т. е. если

.

Условием перпендикулярности плоскостей является перпендикулярность их нормальных векторов: .

Пример. Найти угол между плоскостями и .

◄ Находим нормальные векторы для данных плоскостей: , . По формуле (1.3.37) получаем ,

т. е. плоскости взаимно перпендикулярны. ►

Угол между двумя прямыми равен углу между направляющими векторами и этих прямых, т. е.

. (1.3.38)

Прямые параллельны, если , т. е. если

,

и перпендикулярны, если

Угол между прямой с направляющим вектором и плоскостью с нормальным вектором (рис. 1.44) определяется по формуле

. (1.3.39)

Пример. Найти угол между прямой и плоскостью .

◄ По данным уравнениям находим направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости . По формуле (1.3.39) получаем . ►