Нормальные напряжения при чистом изгибе. Условие прочности балок по нормальным напряжениям. Три типа задач при расчетах балок на прочность.

Три типа задач;

1)Проверочный расчет

а)для хрупких материалов

[σ_сжат]=(3….5)·[σ_растяж]

Условия прочности

|мах.σ_сжат|≤[σ_сжат]

|махσ_растяж|≤[σ_растяж]

Проверяем мах. сжатое и мах. растянутое волокно;

max σ_сжат=М(х)у_мах^сжат/J_z=M(x)/W_z, W_z=J_z/y_мах^сжат

у_мах^сжат-мах расстояние от нейтральной оси до сжатого волокна

W_c-момент сопротивления сжатия поперечного сечения

Maxσ_растяж=М(х)у_мах^растяж/J_z=M(x)/W_z^растяж

W_Z^раст-момент сопротивления растяжения поперечного сечения

в)Для пластичных материалов

[σ_сж]=[σ_р]=[σ]

2)Проэктный расчет

Из условия прочности σ=М(х)/W≤[σ]

W_Z≥М(х)/[σ], W_Z-момент сопротивления поперечного сечения

W_Z=J_Z/y_max

а) для прямоугольного сечения

W_Z=J_Z/y_max, J_Z=bh³/12,

y_max=h/2 b) для круглого сечения

W_Z=J_Z/y_max, J_Z=пd⁴/64, y_max=d/2

c) для двутавра

Рассчитываем по формуле W_Z

W_Z=|M_max|/[σ]

M _max-из эпюра

Выбираем из таблицы больший и меньший двутавр, и с помощью табличных значений W_Z для выбранных двутавров рассчитываем σ и сравниваем с [σ]. Подходящий тот двутавр, которого σ удовлетворяет условия прочности. Так же сравниваем с условием рациональности по формуле |σ-[σ]/[σ]|·100%≤5%, отклонение не должно превышать 5%.

Чистый изгиб имеет место, если в поперечных сечениях балки возникает только изгибающий момент

Опыты на резиновых моделях брусьев, на поверхность которых нанесена резиновая сетка, показывает:

1)что линия перпенд. продольным волокнам вдоль деформации остается перпендик. или прямой после деформации, следовательно справедлива гипотеза плоских сечений Бернулли и в поперечных сечениях не возникают касательные напряжения, иначе угол прямой изменился бы и имел бы параллелограмм, а не прямоугольник, так как происходил бы сдвиг слоев

2)верхние волокна с-d растягиваются, нижние e-f сжимаются, a-в не изменяет своей длины – нейтральный слой, тогда ρ – радиус кривизны нейтрального слоя, y-расстояние от некоторой точки до нейтрального слоя

Гипотеза о не надавливании слоев балки:

При чистом изгибе продольные слои бруса не оказывают давления друг на друга, а работают в состоянии осевого растяжения сжатия, отсюда для каждого волокна при осевом растяжении сжатии справедлив закон Гука: σ =Е·ε =Е ·y/p- формула для определения нормальных напряжений балки через кривизну ее изогнутой оси

σ –зависит от координаты точки, в которой вычисляется, чем больше y тем больше σ. При у=0, σ=0, отсюда в нейтральном слое σ=0.

Формула для определения нормальных напряжений балки через кривизну ее изогнутой оси: σ=E·y/ρ

σ- зависит от координаты точки в которой вычисляется, чем больше у тем больше σ. При у=0, σ=0, отсюда в нейтральном слое σ=0

у - расстояние от нейтрального слоя до волокна, в котором вычисляется напряжение

ρ - радиус кривизны

Элементарная внутренняя сила-σ·dA

Кривизна изогнутой оси бруса- 1/ρ

Кривизна нейтрального слоя балки (изогнутой оси бруса)- 1/ρ=М(х)/Е·J_Z

Жесткость поперечного сечения бруса на изгиб- E·J_Z.

Формула нормального напряжения при чистом изгибе- σ=E·(y/ρ)=EyM(x)/EJ_z=M(x)y/J_z,где

σ-напряжение в поперечном сечении с координатой х, в точке этого поперечного сечения с координатой у

М(х)-изгибающий момент в сечении с координатой х

J_Z-момент инерции рассматриваемого поперечного сечения относительно нейтральной оси.

Прочность балки считается обеспеченной если мах. напряжение в опасном сечении не превышает допускаемого

Опасным считают сечения балки в котором М(х) имеет мах. значение.