Указания о порядке выполнения контрольной работы
Утверждено на заседании
кафедры сопротивления
материалов 21ноября 2006 г.
Методические указания и контрольные задания
По сопротивлению материалов
для студентов-заочников ускоренной формы обучения
Ростов-на-Дону
УДК 620.178.32 (076.5)
Методические указания и контрольные задания по сопротивлению материалов для студентов - заочников ускоренной формы обучения. – Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2007. –36 с.
Даны условия заданий, теоретические положения и примеры расчета контрольной работы для студентов заочной ускоренной формы обучения.
Составители: канд. техн. наук, проф. И.А. Краснобаев
канд.физ.-мат. наук, доц. Г.П. Стрельников
канд. техн.наук, доц. Б.М. Языев
Редактор Н.Е.Гладких
Темплан 2007г., поз.129
Подписано в печать 30.01.07 Формат 60х84/16
Бумага писчая. Ризограф. Уч.-изд.л. 2,3.
Тираж 250 экз. Заказ
Редакционно-издательский центр
Ростовского государственного строительного университета.
344022, Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162.
С Ростовский государственный
строительный университет,2007
Указания о порядке выполнения контрольной работы
1.Студент выбирает данные из таблиц в соответствии со своим личным шифром –
номером зачетной книжки и первыми пятью буквами русского алфавита,
которые следует расположить под шифром, например,
шифр – 2 7 3 0 5
Буквы – а б в г д.
Из каждой вертикальной колонки любой таблицы, обозначенной внизу опреде-
ленной буквой, надо выбрать только одно число, стоящее в той горизонтальной
строке, номер которой совпадает с номером буквы. Например, в задаче 1 из
табл.1 выбираем: схема по рис.1 - 5; с = 2, 5м; q = 15кН/м; т.к. д = 5;
a = 2, 3м; F = 23кН; т.к. в = 3; b = 3м; m = 30кНм; т.к. г = 0.
2.В заголовке контрольной работы должны быть четко написаны: название дис-
циплины, фамилия, имя и отчество студента, наименование специальности,
учебный шифр и точный почтовый адрес.
3. Контрольная работа выполняется в тетради обычного формата с полями для
замечаний рецензента.
4.Перед решением каждой задачи необходимо выписать полностью ее условие с
числовыми данными, составить аккуратный эскиз в масштабе и указать на нем в
числах все величины, необходимые для расчета.
5.Решение должно сопровождаться объяснениями и чертежами.
6.После проверки контрольной работы студент должен исправить в ней
отмеченные ошибки и выполнить все сделанные ему указания. Исправления
должны быть вложены в соответствующие места рецензированной работы.
При решении контрольной работы рекомендуется использовать следующую литературу:
1. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов.- М.,1975.
2. Писаренко Г.С. Сопротивление материалов.- Киев,1984.
3. Феодосьев И.И. Сопротивление материалов.- М.,1979.
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задача 1
Абсолютно жесткий брус прикреплен к трем стержням при помощи шарниров (рис.1).Требуется:
1.Определить усилия в стержнях.
2.Считая, что все стержни круглого поперечного сечения, из условия прочности
при растяжении - сжатии подобрать диаметры этих стержней. Принять
допускаемое нормальное напряжение на сжатие [ sс] = 100МПа, а на
растяжение - [ sр] = 160МПа. Полученные по расчету диаметры стержней
округлить до четных или оканчивающихся на пять чисел (в миллиметрах).
3.Проверить прочность стержней.
Данные взять из табл. 1.
Таблица 1
№ строки | № схемы по рис.1 | a, м | b, м | c, м | F, кН | m, кНм | q, кН/м |
2,1 | 2,1 | 2,1 | |||||
2,2 | 2,2 | 2,2 | |||||
2,3 | 2,3 | 2,3 | |||||
2,4 | 2,4 | 2,4 | |||||
2,5 | 2,5 | 2,5 | |||||
2,6 | 2,6 | 2,6 | |||||
2,7 | 2,7 | 2,7 | |||||
2,8 | 2,8 | 2,8 | |||||
2,9 | 2,9 | 2,9 | |||||
3,0 | 3,0 | 3,0 | |||||
д | в | г | д | в | г | д |
Задача 2
Для заданного поперечного сечения, состоящего из прокатных профилей (рис.2), требуется:
1.Определить положение центра тяжести. Построить центральные оси.
2.Найти величины осевых и центробежного моментов инерции относительно
центральных осей.
3. Определить направление главных центральных осей.
4. Найти величины осевых моментов инерции относительно главных центральных
осей.
5.Вычертить сечение в масштабе на миллиметровке формата А4 и указать на нем
все размеры в числах и все оси.
Данные взять из табл. 2.
Таблица 2
№ строки | №схемы сечений по рис.2 | Дву-тавр | Швеллер | Пластина, мм×мм | Равнобокий уголок |
12×200 | 125×125×9 | ||||
18а | 14×200 | 125×125×10 | |||
18а | 16×200 | 125×125×12 | |||
20а | 12×180 | 125×125×14 | |||
20а | 14×180 | 125×125×16 | |||
22а | 16×180 | 140×140×9 | |||
22а | 16×160 | 140×140×10 | |||
24а | 18×160 | 140×140×12 | |||
24а | 20×160 | 160×160×10 | |||
24×140 | 160×160×11 | ||||
д | в | г | в | г |
Рис.1
Рис.2
Задача 3
Для заданных двух схем балок (рис.3) требуется:
1.Для каждого участка балки составить выражения поперечных сил (Q) и изгибающих моментов(M) , используя метод сечений. Построить их эпюры.
2.Определить опасное сечение по нормальным напряжениям.
3.Из условия прочности по методу допускаемых напряжений при изгибе
подобрать:
а) для схемы (а) деревянную балку круглого поперечного сечения, приняв
допускаемое нормальное напряжение [ s ] = 10МПа;
б) для схемы (б) стальную балку двутаврового поперечного сечения, приняв
допускаемое нормальное напряжение [ s ] = 160МПа.
4. Проверить прочность балок.
Данные взять из табл. 3.
Таблица 3
№ строки | №с схемы по рис.3 | a, м | b, м | c, м | F, кН | m, кНм | q, кН/м |
2,1 | 2,1 | 2,1 | |||||
2,2 | 2,2 | 2,2 | |||||
2,3 | 2,3 | 2,3 | |||||
2,4 | 2,4 | 2,4 | |||||
2,5 | 2,5 | 2,5 | |||||
2,6 | 2,6 | 2,6 | |||||
2,7 | 2,7 | 2,7 | |||||
2,8 | 2,8 | 2,8 | |||||
2,9 | 2,9 | 2,9 | |||||
3,0 | 3,0 | 3,0 | |||||
д | в | г | д | в | г | д |
Задача 4
Чугунный короткий стержень, поперечное сечение которого изображено на рис.4, сжимается продольной силой F, приложенной в точке К.
Требуется:
1.Вычислить величины роверить прочность балок. наибольших растягивающих и сжимающих напряжений в
поперечном сечении, выразив величины этих напряжений через F.
2. Из условий прочности найти допускаемую нагрузку [F] при заданных
значениях допускаемых нормальных напряжений для чугуна на сжатие [ sс] и
на растяжение [ sр].
Данные взять из табл. 4.
Рис.3
Таблица 4
№ строки | № схемы по рис.4 | a, см | b, см | [ sс], МПа | [ sр], МПа |
2,1 | 2,1 | ||||
2,2 | 2,2 | ||||
2,3 | 2,3 | ||||
2,4 | 2,4 | ||||
2,5 | 2,5 | ||||
2,6 | 2,6 | ||||
2,7 | 2,7 | ||||
2,8 | 2,8 | ||||
2,9 | 2,9 | ||||
3,0 | 3,0 | ||||
д | в | г | в | г |
Задача 5
Стальной стержень длиной l сжимается силой F. Требуется:
1. Из условия устойчивости подобрать размеры поперечного сечения при
допускаемом напряжении [s ]=160МПа. Расчет проводить последователь-
ными приближениями, предварительно задавшись величиной коэффициента
j = 0,5. Если гибкость стойки в первом приближении окажется меньше 50,
необходимо длину стойки увеличить в 2 раза, а при гибкости более 150 -
уменьшить в 2 раза. Проверить выполнение условия устойчивости.
2. Определить величину критической силы.
3. Найти значения допускаемой нагрузки и коэффициента запаса устойчивости.
Данные взять из табл. 5.
Таблица 5
№ строки | № схемы закрепления концов стержня по рис.5 | Формы сечения стержня по рис.6 | F, кН | l, м |
2,1 | ||||
2,2 | ||||
2,3 | ||||
2,4 | ||||
2,5 | ||||
2,6 | ||||
2,7 | ||||
2,8 | ||||
2,9 | ||||
3,0 | ||||
д | в | г | г |
Рис.4
Схемы закрепления концов стержня
Рис.5
Формы сечения стержня
Рис.6
Задача 1
Абсолютно жесткий брус прикреплен к трем стержням при помощи шарниров (рис.7).Требуется:
1.Определить усилия в стержнях.
2.Считая, что все стержни круглого поперечного сечения, из условия прочности
при растяжении - сжатии подобрать диаметры этих стержней. Принять
допускаемое нормальное напряжение на сжатие [ sс] = 100МПа, а на
растяжение - [ sр] = 160МПа. Полученные по расчету диаметры стержней
округлить до четных или оканчивающихся на пять чисел (в миллиметрах).
3.Проверить прочность стержней.
Исходные данные:
a=2, 4 м; b=2 м; c=3 м;
m=32 кНм; F=30 кН; q=10 кН/м;
[ sр] = 160МПа=160 ;
[ sс] = 100МПа=100 .
Рис.7
Решение
Рис.8
Проверка прочности стержней
Фактическая площадь поперечного сечения первого и второго стержней
,
тогда рабочее нормальное напряжение
.
Из полученного результата устанавливаем, что стержни перегружены. Определяем величину перегрузки
% = % = 6,55 % > 5 % .
Замечание. По методу расчета по допускаемым напряжениям возможна
перегрузка стержней в пределах 5 %.
Увеличиваем диаметры первого и второго стержней d1 = d2 = 1,4 см.
, тогда рабочее нормальное напряжение
.
Условие прочности выполняется.
Окончательно принимаем d1 = d2 = 1,4 см.
Фактическая площадь поперечного сечения третьего стержня
, тогда рабочее нормальное напряжение
- 96, 130МПа= - 96, 1МПа.
│s3│= 96, 1МПа < [ sс] = 100МПа.
Условие прочности выполняется. Окончательно принимаем d3 = 2, 5 см.
Задача 2
Для заданного поперечного сечения, состоящего из прокатных профилей (рис.9), требуется:
1.Определить положение центра тяжести. Построить централь-
ные оси.
2.Найти величины осевых и центробежного моментов инерции
относительно центральных осей.
3. Определить направление главных центральных осей.
4. Найти величины осевых моментов инерции относительно
главных центральных осей.
5.Вычертить сечение в масштабе на миллиметровке формата А4
и указать на нем все размеры в числах и все оси.
Рис.9
Исходные данные: пластина - 200 ´ 20; равнобокий уголок - 160´160´12.
Решение
Будем считать, что пластина - фигура I, а равнополочный уголок -фи-гура II. Используя справочные таблицы, выписываем данные для каждой фигуры.
Фигура I- пластина 200´20
b=20 мм =2см;h=200 мм =20 см;
A1=b h= 2∙20см2=40 см2;
Фигура II - равнополочный уголок 160´160´12
b=160 мм =16см;
d=12мм =1, 2 см;
A2=37, 4 см2;
z0=4, 39см;
Здесь и в дальнейшем A1, A2 - соответственно площади первой и второй фигур, A - площадь составной фигуры (общая площадь). Верхние индексы I , II у моментов инерции соответствуют номерам фигур, их отсутствие означает, что определяется момент инерции всего сечения. Например, момент инерции первой фигуры относительно оси y1; центробежный момент инерции второй фигуры относительно осей y2, z2.
Замечание. В справочных таблицах значения центробежного момента инерции
уголка приводятся без учета знака. Знак центробежного момента
инерции можно выбрать в соответствии с рис.10.
Рис.10
Используя приведенные выше справочные данные, вычерчиваем сечение в масштабе с указанием всех осей и необходимых размеров в сантиметрах (рис.11). На рис.11 в рамках показаны размеры, взятые из справочных данных, остальные получены в ходе расчета.
Главных центральных осей
Моменты инерции относительно главных центральных осей вычисляются по следующим формулам:
Так как , то
Наибольший из моментов инерции при повороте осей возрастает, достигая максимального значения, а меньший момент инерции убывает, достигая минимального значения, при этом сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей остается постоянной, т.е.
=const.
Используем последнее соотношение в качестве проверки
= = .
Задача 3
Для заданных двух схем балок (рис.12,15) требуется:
1.Для каждого участка балки составить выражения поперечных сил (Q) и изги-
бающих моментов(M) , используя метод сечений. Построить их эпюры.
2.Определить опасное сечение по нормальным напряжениям.
3.Из условия прочности по методу допускаемых напряжений при изгибе
подобрать:
а) для схемы (а) деревянную балку круглого поперечного сечения, приняв
допускаемое нормальное напряжение [ s ] = 10МПа;
б) для схемы (б) стальную балку двутаврового поперечного сечения, приняв
допускаемое нормальное напряжение [ s ] = 160МПа.
4. Проверить прочность балок.
Схема а)
Исходные данные:
a=2 м; b=2 м; q=10 кН/м;
m=8 кНм; F=15 кН;
[s ] = 10МПа=10 .
Рис.12
Решение
1.Построение эпюр поперечной силы Q и изгибающего момента M
Разбиваем расчетную схему балки на участки. Границами участка являются точки приложения сосредоточенных сил, сосредоточенных моментов, точки начала и конца распределенной нагрузки. В нашем примере балка имеет два участка, которые пронумеруем справа налево (рис. 14). Для определения внутренних усилий необходимо на каждом участке использовать метод сечений, который сводится к следующему.
1. Проводим поперечное сечение, которое разбивает балку на две части;
2. Выбираем ту часть балки, на которую действуют известные нагрузки (левую от сечения или правую);
3. Составляем выражения для поперечной силы Q и изгибающего момента M,
при этом руководствуемся определением и правилом знаков.
Определение. Поперечная сила Q – это внутренняя сила, численно равная
алгебраической сумме всех внешних сил, действующих по одну
сторону от сечения перпендикулярно оси балки.
Определение. Изгибающий момент M –это внутренний момент, численно равный
алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих
по одну сторону от сечения относительно центра тяжести попереч-
ного сечения.
Правило знаков. Поперечная сила в поперечном сечении балки положительная
(Q>0), если внешние силы (Fвнеш) направлены так, как показано на рис.13.
Изгибающий момент в поперечном сечении балки положителен(M >0), если
моменты внешних сил (Mвнеш) направлены так, как показано на рис.13.
Поперечная сила и изгибающий момент отрицательны, если направления внешних сил и моментов внешних сил противоположны направлениям, указанным на рис.13.
Рис.13
Проводим сечение на первом участке и рассматриваем правую от сечения часть балки (рис.14), т.к. слева от сечения опорные реакции неизвестны.
I участок (сечение перемещается от правой до левой границы).
Составляем выражение для поперечной силы с учетом правила знаков справа от сечения
Q(x1)= - F + qx1= - 15 + 10x1(уравнение прямой линии).
Здесь qx1 - равнодействующая сила распределенной нагрузки q, расположенная справа от сечения посредине участка длиной x1.
Определяем значения Q на границах участка
Q(0)= - 15 + 10 · 0= - 15 кН (значение на правой границе участка);
Q(2)= -15 + 10 ·2=5 кН(значение на левой границе участка).
Поскольку поперечная сила меняет знак в пределах участка, определяем координату, при которой она обращается в нуль (в этом сечении изгибающий момент принимает экстремальное значение):
Q(x0)= - 15 + 10x0=0; x0=15/10=1,5 м.
Составляем выражение для изгибающего момента с учетом правила знаков справа от сечения
M(x1) = (уравнение квадратичной параболы).
Определяем значения M на границах участка и в найденной точке x0
M(0)=0 (значение на правой границе участка) ;
M(1,5)= 1,5·(15 – 5·1,5)=11,25 кНм=11,3 кНм(значениев точке x0);
M(2)=2·(15 – 5·2)=10 кНм (значение на левой границе участка).
II участок (сечение перемещается от правой до левой границы).
Составляем выражение для поперечной силы с учетом правила знаков справа от сечения
Q(x2)= - F + q·2= - 15 + 10·2= 5 кН (прямая линия параллельная оси x).
Составляем выражение для изгибающего момента с учетом правила знаков справа от сечения
M(x2) = = 15x2 - 20 (x2-1) – 8 = - 5x2 + 12 (уравнение прямой).
M(2)= - 5 ·2 + 12= 2 кНм (значение на правой границе);
M(4)= - 5 ·4 + 12= - 8 кНм (значение на левой границе).
Проверка прочности балки
Проверяем выполнение условия прочности. С этой целью вычисляем фактический момент сопротивления
= =
Находим максимальное нормальное напряжение 10 =10 МПа=[s ].
Условие прочности выполняется, окончательно принимаем d =22, 6см.
Схема б) Исходные данные:
a=2 м; b=3 м; c=1 м; q=15 кН/м;
m=20 кНм; F=30 кН;
[s ] = 160МПа=160 .
Рис.15 Решение
1.Определение поперечных сил (Q) и изгибающих моментов(M).
Построение их эпюр
а) нахождение опорных реакций
Обозначим опоры буквами A и B соответственно и заменим их действие опорными реакциями (рис.17). Составляем три уравнения
статики (равновесия), используя правило знаков, показанное на рис.16.
Сумма проекций всех сил на горизонтальную ось x
; .
Сумма моментов всех сил относительно точки A
m - q·3(2+1, 5) + RB·5- F·6 =0;
20- 15·3·3, 5 + RB·5- 30·6 =0; Рис.16
20- 157, 5 + RB·5- 180 =0;
-317, 5 + RB·5=0; RB= 63,5 кН.
Сумма моментов всех сил относительно точки B
- RA·5+ m + q·3·1, 5- F·1 =0;
- RA·5 + 20 +15·4, 5 -30 =0;
- RA·5 + 20 +67, 5 - 30 =0;
-RA·5 - 57, 5 =0; RA= 11, 5 кН.
Допускаемых напряжений
Из условия прочности (2) определяем требуемую величину момента сопротивления
.
По сортаменту прокатной стали для двутаврового сечения ближайшим к является значение момента сопротивления =184 см3 (двутавр №20).
Проверка прочности балки
Для двутавра №20 184см3=184·10-6 м3;
проверяем выполнение условия прочности:
163,049 МПа=163 МПа> [s ] =160 МПа.
На основании полученного результата устанавливаем, что балка перегружена. Определяем величину перегрузки
×100 % %=1,88 % <5%.
Условие выполняется, поэтому окончательно выбираем двутавр №20.
Задача 4
Чугунный короткий стержень, поперечное сечение которого изображено на рис.19, сжимается продольной силой F, приложенной в точке К. Требуется:
1.Вычислить величины роверить прочность балок. наибольших растягивающих и сжимающих напряжений в
поперечном сечении, выразив величины этих напряжений через F.
2. Из условий прочности найти допускаемую нагрузку [F] при заданных
значениях допускаемых нормальных напряжений для чугуна на сжатие [ sс] и
на растяжение [ sр].
Исходные данные:
a=4 см; b=6 см;
[ sс] = 160МПа=160 ;
[ sр] = 40МПа=40 .
Рис.19
Решение
Будем считать, что пластина - фигура I, а полукруг -фигура II. Используя справочные таблицы, выписываем данные для каждой фигуры.
Фигура I- прямоугольник 4см´6 см
b=4см;h=6 см; A1= b h= 4∙6см2=24 см2;
Фигура II - полукруг, диаметра d=2b=12см
z0=0, 212d =0, 212∙12см=2, 544=2, 54см;
.
Нормальные напряжения в случае внецентренного сжатия находятся по формуле:
. (5)
В этой формуле:s - величина нормального напряжения в любой точке сечения c координатами y, z;
F- величина внецентренной силы, приложенной в точке K; A - площадь поперечного сечения;
yK, zK - координаты точки приложения силы, взятые относительно главных
центральных осей заданного сечения;
, - квадраты радиусов инерции, которые определяются по формулам:
, .
Используя приведенные выше справочные данные, вычерчиваем сечение в масштабе с указанием всех осей и необходимых размеров в сантиметрах (рис.20). На рис.20 в рамках показаны размеры, взятые из справочных данных, остальные получены в ходе расчета.
Центральных осей
Составная фигура имеет ось симметрии y(рис.20), которая является главной центральной осью. Вторую главную центральную ось проведем после опреде-ления положения центра тяжести, который находится на оси симметрии y.
Определяем координаты точек С1 и С2 относительно системы z1C1y1.
Точка С1: =0. Точка С2 : .
Общая площадь фигуры
Координата центра тяжести по оси y
.
Проводим через точку С главную центральную ось z.
Теперь y, z - основная система координат (рис.20).
б) определение моментов инерции и квадратов радиусов инерции
Сжимающих напряжений
Определение. Опасными точками поперечного сечения являются точки, в кото-
рых возникают наибольшие напряжения.
Опасные -это точки, наиболее удаленные от нейтральной линии.
На рис.20 - это точки K(точка приложения силы) и D.
Определяем их координаты.
Точка K: yK= -5, 19см; zK =3см (см. рис.20).
Точка D: yD=4, 3см; zD =-2, 5см (см. рис.20).
Координаты точки D найдены графически, т.е. измерены расстояния от точки C до точки D по оси y и оси z. Полученный результат умножили на масштабный коэффициент (чертеж поперечного сечения должен быть выполнен в масштабе).
Нормальные напряжения в точке K
(сжатие).
Нормальные напряжения в точке D
(растяжение).
2. Определение допускаемой нагрузки [F] из условий прочности на растяжение и сжатие
Условие прочности на сжатие имеет следующий вид: .
;
Условие прочности на растяжение имеет следующий вид: .
;
Из двух неравенств и выбираем меньшее значение силы.
Допускаемая нагрузка .
Задача 5
Стальной стержень длиной l сжимается силой F (рис.21). Требуется:
1. Из условия устойчивости подобрать размеры поперечного сечения при
допускаемом напряжении [s ]=160МПа. Расчет проводить
последовательными приближениями, предварительно
задавшись величиной коэффициента j = 0,5. Если гибкость
стойки в первом приближении окажется меньше 50, необхо-
димо длину стойки увеличить в 2 раза, а при гибкости более
150- уменьшить в 2 раза. Проверить выполнение условия
устойчивости.
2. Определить величину критической силы.
3. Найти значения допускаемой нагрузки и коэффициента
запаса устойчивости.
Исходные данные:
l=2 м =200см; F=200 кН=0, 2 МН;
[ s ] = 160МПа=160 .
Рис.21 Решение
Условие устойчивости при центральном сжатии по методу допускаемых
напряжений имеет вид:
s , (6)
где s - нормальное напряжение;F - величина сжимающей силы;
A- площадь поперечного сечения стержня (рис.21);
[s] - допускаемое нормальное напряжение на центральное сжатие;
j - коэффициент продольного изгиба центрально-сжатых элементов (коэффици-ент понижения основного допускаемого напряжения).
Применяя условие устойчивости, можно выполнить три вида расчета:
1.Проектный расчет. По заданной нагрузке F